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浙江省杭州市学军中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=() A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}
x

2. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 平移是() A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

)的图象平移后所得的图象对应的函数为 y=cos2x,则进行的

B. 向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

3. (5 分)已知 f(x)= A.f(sinα)>f(cosβ) B. D.f(cosα)>f(cosβ)

,又 α,β 为锐角三角形的两内角,则() f(sinα)<f(cosβ) C. f(sinα)>f(sinβ)

4. (5 分)已知 , 为两个非零向量,则下列命题不正确的是() A.若| ? |=| |?| |,则存在实数 t0,使得 =t0 B. 若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |=| |?| | C. 若| + |=| |+| |,则存在实数 t0,使得 =t0 D.若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| + |=| |+| |

5. (5 分)若函数 f(x)满足

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣

1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. D.

6. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称,且 x∈(﹣1,0)时, f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1
2 x

D.﹣

7. (5 分)已知 a∈R,则“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 中最大的项为() A. B. C. D.

9. (5 分)设向量 =(cosα,sinα) , =(sinβ,cosβ)且 α+β=

,若向量 满足| ﹣ ﹣ |=2,



最小值等于() B.3﹣ C. ﹣1 D.3+

A.2﹣

10. (5 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[0,4],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a) 有三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是() A.(1, ) B.(1, ) C. ( , ) D.(1, )

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)点 E,F 是正△ ABC 的边 BC 上的点,且 BE=EF=FC,则 tan∠EAF=.

12. (4 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1) 且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是.
*

n+2012

?a,bn=2+



13. (4 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=4x+ 若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为.

+7,

14. (4 分)已知 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=2loga(2x+t) (a>1) ,若 x∈[0,1],t∈[4,6) 时,F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值 4,则 a 的值是.

15. (4 分)设 x,y∈R,且满足

,则 x+y=.

16. (4 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于点(3,0) 2 2 2 2 成中心对称图形,若实数 s,t 满足不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,当 1≤s≤4 时,t +s ﹣2s 的 取值范围是.

17. (4 分)在平面上, 的取值范围是.



,|

|=|

|=1,

=

+

,若|

|< ,则|

|

三、解答题(共 72 分) 18. (14 分)已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根,不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣ 2 x2|对任意实数 m∈[﹣1, 1]恒成立; 命题 q: 不等式 ax +2x﹣1>0 有解, 若 p∨q 为真命题, p∧ q 为假命题,求 a 的取值范围. 19. (14 分)已知向量 =(sin(A﹣B) ,sin( ﹣A) ) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,
2 2

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 + =0,且 S△ ABC= ,求边 c 的长.

20. (15 分)如图所示,边长为 a 的等边△ ABC 的中心是 G,直线 MN 经过 G 点与 AB、AC 分别交于 M、N 点,已知∠MGA=α( ≤α≤ ) .

(1)设 S1、S2 分别是△ AGM、△ AGN 的面积,试用 α 表示 S1、S2; (2)当线段 MN 绕 G 点旋转时,求 y= + 的最大值和最小值.

21. (15 分)设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=8,S2=48,数列{bn}满 足 bn=4log2an.

(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

22. (14 分)设函数 y=x +(a+1) +|x+a﹣1|(a∈R) . (1)若 a 为大于 2 的常数,求函数 y 的最小值; (2)若函数 y 的最小值大于 3,求实数 a 的取值范围.

2

2

浙江省杭州市学军中学 2015 届高三上学期第二次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) x 1. (5 分)已知全集 U=R,A={y|y=2 +1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=() A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}

考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 本题求集合的交集,由题设条件知可先对两个集合进行化简,再进行交补的运算, 集合 A 由求指数函数的值域进行化简,集合 B 通过求集合的定义域进行化简 x 解答: 解:由题意 A={y|y=2 +1}={y|y>1},B={x|lnx<0}={x|0<x<1}, 故 CUA={y|y≤1} ∴(CUA)∩B={x|0<x<1} 故选 D 点评: 本题考查补集的运算,解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算,运用指 数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简,本题是近几年 2015 届高考中的常见题型,一 般出现在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

2. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 平移是() A.向右平移 C. 向右平移 个单位 个单位

)的图象平移后所得的图象对应的函数为 y=cos2x,则进行的

B. 向左平移 D.向左平移

个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 利用诱导公式将 f(x)=sin(2x+ ]=cos(2x﹣

)转化为余弦形式,即 f(x)=cos[(2x+

)﹣

) ,利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得答案. )=cos[ ﹣(2x+ )]=cos[(2x+ )﹣ ]=cos(2x﹣

解答: 解:∵f(x)=sin(2x+ ) , ∴f(x+ )=cos[2(x+ )﹣

]=cos2x, )的图象向左平移 个单位,

∴要得到 y=cos2x 的图象,需将函数 y=sin(2x+

故选:B. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查诱导公式的应用,属于中档题.

3. (5 分)已知 f(x)= A.f(sinα)>f(cosβ) B. D.f(cosα)>f(cosβ) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用.

,又 α,β 为锐角三角形的两内角,则() f(sinα)<f(cosβ) C. f(sinα)>f(sinβ)

分析: 确定,函数在(0,1)上单调递减,α>

﹣β,即可得出结论.

解答: 解:由题意,函数在(0,1)上单调递减, ∵α,β 为锐角三角形的两内角, ∴α+β> ∴α> ﹣β ﹣β)=cosβ>0

∴sinα>sin(

∴f(sinα)<f(cosβ) 故选:B. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,以及三角函数的性质的应用,综合性较强.

4. (5 分)已知 , 为两个非零向量,则下列命题不正确的是() A.若| ? |=| |?| |,则存在实数 t0,使得 =t0 B. 若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |=| |?| | C. 若| + |=| |+| |,则存在实数 t0,使得 =t0

D.若存在实数 t0,使得 =t0 ,则| + |=| |+| | 考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积定义与向量共线定理即可得出. 解答: 解:A.∵| ? |=| |?| |≠0,∴ ∴ =±1. = ,

因此存在实数 t0,使得 =t0 .故正确. B.存在实数 t0,使得 =t0 ,则| ? |= 因此正确. C.∵| + |=| |+| |,∴ 与 同向共线,则存在实数 t0,使得 =t0 ,因此正确. D. 若存在实数 t0, 使得 =t0 , 则| + |=| |+| |或 综上可知:只有 D 错误. 故选:D. 点评: 本题考查了数量积定义与向量共线定理,属于基础题. 5. (5 分)若函数 f(x)满足 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(﹣ , 因此 D 不正确. = = =| |?| |,

1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A. B. C. D.

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 根据 ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,求出 x∈(﹣1,0)时,f(x)

的解析式,由在区间(﹣1,1]上,g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点,转化为两函数图象 的交点,利用图象直接的结论. 解答: 解:∵ ∴x∈(﹣1,0)时, ∴f(x)= , ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ,

因为 g(x)=f(x)﹣mx﹣m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+m 的图象有两个交点,

函数图象如图,由图得,当 0<m 故选 D.

时,两函数有两个交点

点评: 此题是个中档题.本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求 函数解析式,体现了转化的思想,以及利用函数图象解决问题的能力,体现了数形结合的思 想.也考查了学生创造性分析解决问题的能力. 6. (5 分)定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称,且 x∈(﹣1,0)时, f(x)=2 + ,则 f(log220)=() A.1 B. C . ﹣1 D.﹣
x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和对称性,得到函数的周期,利用对数的基本运算法则进行转化 即可得到结论. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数,且 f(x)关于 x=1 对称, ∴f(1+x)=f(1﹣x)=﹣f(x﹣1) , 即 f(x+2)=﹣f(x) , 则 f(x+4)=f(x) ,即函数的周期为 4, 则 4<log220<5, ∴0<log220﹣4<1, 即﹣1<4﹣log220<0, 则﹣1< <0,

则 f(log220)=f(log220﹣4)=﹣f(4﹣log220)=﹣f(



= 故选:C.

=﹣(

)=﹣1,

点评: 本题主要考查函数值的计算,利用条件求出函数的周期,以及利用对数的基本运算 关系是解决本题的关键,综合考查函数的性质. 7. (5 分)已知 a∈R,则“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 化函数为分段函数,分别由二次函数的单调性可得 a 的范围,可得答案. 解答: 解:∵f(x)=x +|x﹣a|=
2 2 2



由二次函数可知 y=x +x﹣a 在(﹣∞, ∴必有 a≥0,

)单调递减, (

,+∞)单调递增,

同理可得 y=x ﹣x+a 在(﹣∞, )单调递减, ( ,+∞)单调递增, ∴亦必有 a≥0, 综合可得 a≥0, 故“a≥0”是“函数 f(x)=x +|x﹣a|在(﹣∞,0]上是减函数”的充要条件 故选:C. 点评: 本题考查充要条件的判定,涉及二次函数的单调性,属基础题.
2

2

8. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 S17>0,S18<0,则 中最大的项为() A. B. C. D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a9>0,a10<0,由此可知 >0, >0,…, <0, <0,…,

<0,即可得出答案. 解答: 解:∵等差数列{an}中,S17>0,且 S18<0 即 S17=17a9>0,S18=9(a10+a9)<0 ∴a10+a9<0,a9>0,∴a10<0, ∴等差数列{an}为递减数列, 故可知 a1,a2,…,a9 为正,a10,a11…为负; ∴S1,S2,…,S17 为正,S18,S19,…为负,



>0,

>0,…,

<0,

<0,…,

<0,

又∵S1<S2<…<S9,a1>a2>…>a9, ∴ 中最大的项为

故选 D 点评: 本题考查学生灵活运用等差数列的前 n 项和的公式化简求值,掌握等差数列的性质, 属中档题.

9. (5 分)设向量 =(cosα,sinα) , =(sinβ,cosβ)且 α+β=

,若向量 满足| ﹣ ﹣ |=2,



最小值等于() B.3﹣ C. ﹣1 D.3+

A.2﹣

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 为 2 的圆周上,可得结论. 解答: 解:∵ =(cosα,sinα) , =(sinβ,cosβ) , ∴ ∴ =cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α+β)= = =1,同理 =1 , ,可得 的终点在以向量 的终点为圆心,半径



,∴



∴ 又

=

= =2,

=



可知 的终点在以向量 故可得 ,

的终点为圆心,半径为 2 的圆周上,

∴ 故选:A



点评: 本题考查平面向量的数量积的运算,涉及模长公式和向量减法的几何意义,属中档 题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x|x﹣a|+2x,若存在 a∈[0,4],使得关于 x 的方程 f(x)=tf(a) 有三个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是() A.(1, ) B.(1, ) C. ( , ) D.(1, )

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当﹣2≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有三 个不等的实数根存在 a∈(2,4],方程 f(x)=tf(a)=2ta 有三个不相等的实根,则 2ta∈(2a, ) ,即存在 a∈(2,4],使得 t∈(1, 范围为(1, ) . 解答: 解:当 0≤a≤2 时,f(x)在 R 上是增函数,则关于 x 的方程 f(x)=tf(a)不可能有 三个不等的实数根; 则当 a∈(2,4]时,由 f(x)=
2

)即可,由此可证出实数 t 的取值



得 x≥a 时,f(x)=x +(2﹣a)x 对称轴 x=

<a,

则 f(x)在 x∈[a,+∞)为增函数,此时 f(x)的值域为[f(a) ,+∞)=[2a,+∞) , x<a 时,f(x)=﹣x +(2+a)x 对称轴 x=
2

<a,

则 f(x)在 x∈(﹣∞,

)为增函数,此时 f(x)的值域为(﹣∞,

) ,

f(x)在 x∈[

,a)为减函数,此时 f(x)的值域为(2a,

) ;

由存在 a∈(2,4],方程 f(x)=tf(a)=2ta 有三个不相等的实根,则 2ta∈(2a,

) ,

即存在 a∈(2,4],使得 t∈(1,

)即可,令 g(a)=



只要使 t<(g(a) )max 即可,而 g(a)在 a∈(2,4]上是增函数,g(a)max=g(4)= , 故实数 t 的取值范围为(1, ) . 点评: 本题考查函数性质的综合应用,解题时要认真审题.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)点 E,F 是正△ ABC 的边 BC 上的点,且 BE=EF=FC,则 tan∠EAF= .

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 解三角形. 分析: 设出 BE,则 AB 可表示,进而利用余弦定理求得 AE,AF,进而根据余弦定理求得 cos∠EAF,利用同角三角函数基本关系求得 sin∠EAF 和 tan∠EAF. 解答: 解:设 BE=t,则 AB=3t, ∴由余弦定理知 AE=AF= = t,

∴cos∠EAF=

=

=



∵∠EAF< ∴sin∠EAF= ∴tan∠EAF= 故答案为:

, = = . . ,

点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.已知三边求角,一般采用余弦定理.

12. (4 分)若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(﹣1)
*

n+2012

?a,bn=2+



且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,则实数 a 的取值范围是[﹣2, ) .

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 计算题;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 讨论 n 取奇数和偶数时,利用不等式恒成立,即可确定 a 的取值范围. 解答: 解:∵an=(﹣1)
n+2012

?a,bn=2+

,且 an<bn 对任意 n∈N 恒成立,

*

∴(﹣1)

n+2012

?a<2+



若 n 为偶数,则不等式等价为 a<2﹣ ,即 a<2﹣ ,即 a< ; 若 n 为奇数,则不等式等价为﹣a<2 综上,﹣2≤a< . 即实数 a 的取值范围是[﹣2, ) . 故答案为:[﹣2, ) . 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题,讨论 n 取奇数和偶数是解决本题的关键. ,即有﹣a≤2,即 a≥﹣2.

13. (4 分)设 a 为实常数,y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=4x+ 若 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立,则 a 的取值范围为 a≤﹣8. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用奇函数的性质可得:x>0 时,f(x)= 时,
2 2

+7,

﹣7;x=0 时,f(x)=0.当 x>0
2 2

﹣7≥a+1 恒成立,可得:4x ﹣(a+8)x+a ≥0 恒成立.令 g(x)=4x ﹣(a+8)x+a ,

可得当 x>0 时,g(x)≥0 恒成立?

,或△ ≤0.解出即可.

解答: 解:设 x>0,则﹣x<0. ∵当 x<0 时,f(x)=4x+ ∴f(﹣x)= +7. +7,

∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)= ﹣7.

∵f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立, ∴当 x>0 时, ﹣7≥a+1 恒成立;且当 x=0 时,0≥a+1 恒成立.

①由当 x=0 时,0≥a+1 恒成立,解得 a≤﹣1. ②由当 x>0 时,
2

﹣7≥a+1 恒成立,可得:4x ﹣(a+8)x+a ≥0 恒成立.
2

2

2

令 g(x)=4x ﹣(a+8)x+a , 则当 x>0 时,g(x)≥0 恒成立? ,或△ ≤0,

解得 a≤﹣ . 综上可得:a≤﹣ . 因此 a 的取值范围是:a≤﹣ . 故答案为:a≤﹣ . 点评: 本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法,考查 了推理能力与计算能力,属于难题. 14. (4 分)已知 f(x)=loga(x+1) ,g(x)=2loga(2x+t) (a>1) ,若 x∈[0,1],t∈[4,6) 时,F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值 4,则 a 的值是 2. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把 f(x)和 g(x)代入到 F(x) ,然后利用对数的运算性质化简,转化为关于 a 的 不等式,再运用基本不等式即可. 解答: 解:∵f(x)=loga(x+1) ,g(x)=2loga(2x+t) (a>1) ,x∈[0,1) ,t∈[4,6)时, F(x)=g(x)﹣f(x)有最小值是 4, ∴F(x)=g(x)﹣f(x)= ∵a>1, ∴令 h(x)= ∵0≤x<1,4≤t<6, ∴h(x)=4(x+1)+
2

,x∈[0,1) ,t∈[4,6) ,

=

=4(x+1)+4(t﹣2)+



+4(t﹣2)在[0,1)上单调递增,
2 2

∴h(x)min=h(0)=4+(t﹣2) +4(t﹣2)=[(t﹣2)+2] =t , 2 ∴F(x)min=logat =4, 4 2 ∴a =t ; ∵4≤t<6, ∴a =16, ∴a=2. 故答案为:2. 点评: 此题考查对数的运算性质,要求学生灵活运用对数运算的性质,熟练运用化归思想 解决恒成立问题,易错点转化为 a ≤在于 h(x)=4(x+1)+ 小值解出,再令它等于 4,转化为在 t∈[4,6)上有解,属于难题.
4 4

+4(t﹣2) ,该先把最

15. (4 分)设 x,y∈R,且满足

,则 x+y=4.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将原不等式组化为:
3

,根据不等

式构造函数 f(t)=t +2t+sint,根据函数的奇偶性的定义和导数符号判断出函数的奇偶性、单 调性,再利用函数 f(t)的奇偶性和单调性解方程即可. 解答: 解:因为 ,所以

设 f(x)=x +2x+sinx,x∈R, 3 所以 f(﹣x)=﹣x ﹣2x﹣sinx=﹣f(x) ,则 f(x)为奇函数, 2 又 f'(x)=3x +2+cosx>0,即函数 f(x)在 R 上单调递增, 由题意可知,f(x﹣2)=﹣2,f(y﹣2)=2, 所以 f(x﹣2)+f(y﹣2)=2﹣2=0, 即 f(x﹣2)=﹣f(y﹣2)=f(2﹣y) , 因为函数 f(t)单调递增,所以 x﹣2=2﹣y, 即 x+y=4, 古答案为:4. 点评: 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,以及导数与函数性质的关系,利用条件 构造函数 f(x)是解决本题的关键,综合考查了函数的性质. 16. (4 分)定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于点(3,0) 成中心对称图形,若实数 s,t 满足不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,当 1≤s≤4 时,t +s ﹣2s 的 取值范围是[﹣ ,24].
2 2 2 2

3

考点: 简单线性规划的应用;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知中定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x﹣3)的图象关于(3, 2 2 0)成中心对称,易得函数 y=f(x)是奇函数,根据函数单调性和奇偶性的性质可得 s ﹣2s≥t 2 2 2 2 ﹣2t,进而得到 s 与 t 的关系式,最后找到目标函数 z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1,利用线性 规划问题进行解决; 解答: 解:y=f(x﹣3)的图象相当于 y=f(x)函数图象向右移了 3 个单位. 又由于 y=f(x﹣3)图象关于(3,0)点对称, 向左移回 3 个单位即表示 y=f(x)函数图象关于(0,0)点对称,函数是奇函数. 2 2 所以 f(2t﹣t )=﹣f(t ﹣2t)

即 f(s ﹣2s)≥f(t ﹣2t) 2 2 因为 y=f(x)函数是增函数,所以 s ﹣2s≥t ﹣2t 2 2 移项得:s ﹣2s﹣t +2t≥0 即: (s﹣t) (s+t﹣2)≥0 得:s≥t 且 s+t≥2 或 s≤t 且 s+t≤2 转化为线性规划问题: 已知 s≥t 且 s+t≥2,且 1≤s≤4,目标函数:z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1, 画出可行域:
2 2 2 2

2

2

z=t +s ﹣2s 的最值,转化为可行域中的点到点(0,1)距离的平方减去 1, 2 2 2 2 z=t +s ﹣2s=t +(s﹣1) ﹣1, ∴z 的最小值为点(0,1)到直线 s+t=2 距离的平方减去 1, ∴zmin= =﹣ ,

2

2

z 的最大值为点(0,1)到点(4,4)距离的平方减去 1, 2 2 zmax=(﹣4) +(﹣3) ﹣1=24, ∴﹣ ≤z≤24; 当 s≤t 且 s+t≤2,且 1≤s≤4,可行域不存在,舍去; ∴t +s ﹣2s 的取值范围是[﹣ ,24] 故答案为[﹣ ,24]. 点评: 本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数单调性的性质,其中根据已知条件得 到函数为奇函数,进而将不等式 f(s ﹣2s)≥﹣f(2t﹣t ) ,转化为 s ﹣2s≥t ﹣2t,最后转化到 线性规划问题上解决,就比较简单了;
2 2 2 2 2 2

17. (4 分)在平面上, 的取值范围是( , ].



,|

|=|

|=1,

=

+

,若|

|< ,则|

|

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 平面向量及应用. 分析: 根据 ⊥ ,| |=| |=1, = + ,可知:四边形 AB1PB2 是一个

矩形.以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系.设|AB1|=a,|AB2|=b.点 O 的坐标为 (x,y) ,点 P(a,b) .根据向量的坐标运算、模的计算公式、不等式的性质即可得出. 解答: 解:根据 ⊥ , = + ,可知:四边形 AB1PB2 是一个矩形.

以 AB1,AB2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系.设|AB1|=a,|AB2|=b. 点 O 的坐标为(x,y) ,点 P(a,b) . ∵| |=| |=1,





变形为
2


2

∵|

|< ,∴(x﹣a) +(y﹣b) < ,
2 2

∴1﹣x +1﹣y
2 2



∴x +y > .① ∵(x﹣a) +y =1,∴y ≤1. 2 同理, x ≤1. 2 2 ∴x +y ≤2.② 由①②可知: <x +y ≤2. ∵| ∴ |= < ≤ , , . ].
2 2 2 2 2

故答案为(

点评: 本题考查了向量的平行四边形法则、矩形的定义、向量的坐标运算、模的计算公式、 不等式的性质,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题(共 72 分) 2 2 18. (14 分)已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根,不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣ 2 x2|对任意实数 m∈[﹣1, 1]恒成立; 命题 q: 不等式 ax +2x﹣1>0 有解, 若 p∨q 为真命题, p∧ q 为假命题,求 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 化简命题 p,q;由 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题知 p 与 q 有且仅有一个为真.从而 得出 a 的取值范围. 解答: 解:∵x1,x2 是方程 x ﹣mx﹣2=0 的两个实根, ∴x1+x2=m,x1?x2=﹣2, |x1﹣x2|= = ,
2

∴当 m∈[﹣1,1]时,|x1﹣x2|max=3. 2 由不等式 a ﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数 m∈[﹣1,1]恒成立, 2 可得:a ﹣5a﹣3≥3; ∴a≥6 或 a≤﹣1; ∴命题 p 为真命题时 a≥6 或 a≤﹣1,命题 p 为假命题时﹣1<a<6; 2 命题 q:不等式 ax +2x﹣1>0 有解, ①当 a>0 时,显然有解, ②当 a=0 时,2x﹣1>0 有解, ③当 a<0 时,∵ax +2x﹣1>0 有解, ∴△=4+4a>0,∴﹣1<a<0; 2 从而命题 p:不等式 ax +2x﹣1>0 有解时 a>﹣1 ∴命题 q 是假命题时 a>﹣1,命题 q 是假命题时 a≤﹣1. ∵p∨q 真,p∧q 假, ∴p 与 q 有且仅有一个为真. (1)当命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时 a≤﹣1; (2)当命题 p 是假命题且命题 q 是真命题时﹣1<a<6; 综上所述:a 的取值范围为 a<6. 点评: 本题考查了复合命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及分类讨论的思想, 属于中档题.
2

19. (14 分)已知向量 =(sin(A﹣B) ,sin(

﹣A) ) , =(1,2sinB) ,且 ? =﹣sin2C,

其中 A、B、C 分别为△ ABC 的三边 a、b、c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 + =0,且 S△ ABC= ,求边 c 的长.

考点: 同角三角函数基本关系的运用;平面向量数量积的运算.

专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由两向量的坐标及两向量数量积,利用平面向量的数量积运算法则列出关系 式,利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据 sinC 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出角 C 的大小; (Ⅱ)利用正弦定理化简已知等式,得到 a+b= c,再利用三角形面积公式表示出三角形 ABC 面积,将 sinC 以及已知面积代入求出 ab 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公 式变形,将 a+b 与 ab,cosC 的值代入即可求出 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得 ? ═sin(A﹣B)+2sinBsin( =sin(A﹣B)+2sinBcosA =sinAcosB﹣cosAsinB+2sinBcosA =sinAcosB+cosAsinB =sin(A+B) =sinC ∴sinC=﹣sin2C=﹣2sinCcosC, ∴cosC=﹣ , ∴C=120°; (Ⅱ)由题意得 化简可得:2sinA+2sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:2a+2b=3c,即有 a+b= c. ∵S△ ABC= absinC= ab×
2 2 2

﹣A)

=

,即 ab=4,
2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣ab,即 3c =ab=4, 解得:c= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及平面向量的数量积运算,熟练掌握定理是解本题 的关键,属于中档题. 20. (15 分)如图所示,边长为 a 的等边△ ABC 的中心是 G,直线 MN 经过 G 点与 AB、AC 分别交于 M、N 点,已知∠MGA=α( ≤α≤ ) .

(1)设 S1、S2 分别是△ AGM、△ AGN 的面积,试用 α 表示 S1、S2; (2)当线段 MN 绕 G 点旋转时,求 y= + 的最大值和最小值.

考点: 不等式的实际应用. 专题: 综合题;解三角形. 分析: (1)根据 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,可求得 AG,进而利用正弦定理求 得 GM,然后利用三角形面积公式求得 S1,同理可求得 S2 (2)把(1)中求得 S1 与 S2 代入求得函数的解析式,进而根据 α 的范围和余切函数的单调性 求得函数的最大和最小值. 解答: 解: (1)因为 G 是边长为 a 的正三角形 ABC 的中心, 所以 AG= a,∠MAG= ,

由正弦定理得 GM=

则 S1= GM?GA?sinα=

同理可求得 S2=

(2)y=

+
2

=

[

]

=

(3+cot α) ≤α≤ , 或 a= 时,y 取得最大值 ymax= .

因为

所以当 a= 当 a=

时,y 取得最小值 ymin=

点评: 本题主要考查了解三角形问题.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力. 21. (15 分)设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=8,S2=48,数列{bn}满 足 bn=4log2an. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,由 a3=8,S2=48 求出 q 的值,进而求出首项,从而求出数 列{an}和{bn}的通项公式.

(Ⅱ)化简



,令 t=4﹣m(t≤3,t∈Z) ,则

化为

.如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有 ,那么 为小于等于 5 的整数,由此求得正整数 m 的值.

解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,则有

,解得 q= ,或 q=﹣ (舍) .





,…(4 分)

.…(6 分) 即数列{an}和{bn}的通项公式为 ,bn=﹣4n+24. , 令 t=4﹣m (t≤3, t∈Z) ,

(Ⅱ)

所以

,…(10 分)

如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有 为小于等于 5 的整数, ,不合题意;



那么

所以 t∈{﹣2,﹣1,1,2}.当 t=1 或 t=2 时, 当 t=﹣1 或 t=﹣2 时, ,符合题意.

所以,当 t=﹣1 或 t=﹣2 时,即 m=5 或 m=6 时,

是数列{bn}中的项.…(14 分)

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 公式,属于中档题. 22. (14 分)设函数 y=x +(a+1) +|x+a﹣1|(a∈R) . (1)若 a 为大于 2 的常数,求函数 y 的最小值; (2)若函数 y 的最小值大于 3,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质.
2 2

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先去掉绝对值,分别求函数的最小值,然后比较大小即可得函数的最小值; (2)像(1)一样分别让最小值大于 3,求实数 a 的取值范围即可. 2 2 解答: 解: (1)设 f(x)=y=x +(a+1) +|x+a﹣

1|=



因为 a>2,所以 1﹣a<﹣1, 当 x>1﹣a 时,ymin=f(﹣ )=(a+1) +a﹣ , 当 x≤1﹣a 时,ymin=f(1﹣a)=2+2a , 又 2+2a ﹣[(a+1) +a﹣ ]=(a﹣ ) ≥0, ∴2+2a ≥(a+1) +a﹣ , ∴a 为大于 2 的常数,函数 y 的最小值为(a+1) +a﹣ ,
2 2 2 2 2 2 2 2

(2)设 f(x)=y=x +(a+1) +|x+a﹣1|=

2

2



∴当 x≥1﹣a 时, 即 x=﹣ , 此时 a 或 a> ∴a , ;

, ymin=f (﹣ ) = (a+1) +a﹣ >3, 解得: a<

2

当 x<1﹣a 时,即 x<1﹣a,此时 a< ,ymin=f( )=(a+1) ﹣a+ >3,解得:a<﹣ 或 a> ∴a<﹣ 综上:a<﹣ 或a . ,

2

点评: 本题主要考查二次函数的最值问题,借助二次函数的对称性和单调性求解.


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