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集合的概念与运算学案


集合的概念与运算
一、高考导航
(一)考纲要求 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系. (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算. (二)考情分析 集合是高中数学的基础内容,也是高考数学的必考内容,难度不大,一般是一道选择题 或填空题. 通过对近三年高考试题的统计分析可以看出, 对集合内容的考查一般以两种方式 出现:一是考查集合的概念、集合间的关系及集合的运算.集合的概念以考查集合中元素的 特性为重点,集合间的关系以子集、真子集、空集的定义为重点,集合的运算多以考查交、 并、补为主,多结合 Venn 图、数轴等工具.二是与其他知识相联系,以集合语言和集合思 想为载体,考查函数的定义域、值域,函数、方程与不等式的关系,直线与曲线的位置关系 等问题。

二、知识梳理
1.集合的概念与表示 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或 ? 表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. (4)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、空集. (5)常用数集及表示:自然数集 N;正整数集 N+(或 N*);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. 问题探究 1:集合{?}是空集吗?它与{0},? 有什么区别? 提示:集合{?}不是空集,因为它含有元素 ?,同理,{0}也不是空集,因为它含有元素 0, 但{?}与{0}不同,因为它们的元素不同,? 是不含任何元素的集合. 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A? B(或 B? A). 若 A? B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x ? A,则 A ? B(或 B ? A).? ? A;A? A;

A? B,B? C? A C.
问题探究 2:若 A 含有 n 个元素,则 A 的子集有____个,A 的非空子集有____个,A 的非空 真子集有____个. 提示:2n 2n-1 2n-2 (2)集合相等 若 A? B 且 B? A,则 A=B. 3.集合的运算及其性质
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(1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A 或 x∈B};交集:A∩B={x|x∈A 且 x∈B};补集: Cu UA={x|x∈ U 且 x ? A}.U 为全集, Cu UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B? A. 交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A? B. 补集的性质:A∪( Cu UA)=U;A∩( Cu UA)=?; Cu U( Cu UA)=A;

Cu (A∩B)=( Cu A)∪( Cu B); Cu (A∪B)=( Cu A)∩( Cu B).

三、自主检测
1.(2010 年全国新课标卷)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x≤4,x∈Z},则

A∩B=(

) B.[0,2] D.{0,1,2}

A.(0,2) C.{0,2}

解析:A={x||x|≤2,x∈R}=[-2,2],B={x| x≤4,x∈Z}={0,1,2,?,16},∴

A∩B={0,1,2}.
答案:D 2.(2011 年重庆八中第四次月考)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N ={x| x ? x =0}关系的韦恩(Venn)图是(
2

B )

解析:由 N={x| x ? x =0}={-1,0},故 N ? M,故选 B.
2

3.已知集合 A={-2,-1,0,1,2},集合 B={x∈Z||x|≤a},则满足 A ? B 的实数 a 可以取的一个值为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

解析: a=0 时, 当 B={0}; a=1 时, 当 B={-1,0,1}; a=2 时, 当 B={-2, -1,0,1,2}; 当 a=3 时,B={-3,-2,-1,0,1,2,3},显然只有 a=3 时满足条件,故选 D.
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答案:D 4.(2012 年山东诸城高三月考)设集合 A={x|y= x+1},集合 B={y|y=x ,x∈R}, 则 A∩B=( A.? C.[1,+∞) ) B.[0,+∞) D.[-1,+∞)
2 2

解析:A={x|y= x+1}={x|x≥-1},B={y|y=x ,x∈R}={y|y≥0},所以 A∩B =[0,+∞).答案:B 5.(2011 年北京高考)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析:P=[-1,1],M={a},∵P∪M=P,∴M? P,∴-1≤a≤1. 答案:C 6. (2011 年上海高考)若全集 U=R, 集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0}, Cu A=________. 则 解析:∵U=R,A={x|x≥1}∪{x|x≤0}={x|x≤0 或 x≥1},∴ Cu A={x|0<x<1}. 答案:{x|0<x<1}

四、核心突破导与练
考点 1 集合的基本概念 1.掌握集合的概念,关键是把握集合中元素的特性,要特别注意集合中元素的互异性, 一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕时,注意检 验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2. 用描述法表示集合时, 首先应清楚集合的类型和元素的性质. 如集合{y|y=2x}, {x|y =2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合. 例 1 (1)下列各组中各个集合的意义是否相同,为什么? ①{1,5},{(1,5)},{5,1},{(5,1)}; ②{x| x -ax-1=0}与{a|方程 x -ax-1=0 有实根} (2)已知集合 A={a-2,2 a +5a,12},且-3∈A,求 a. 【解】 (1)①{1,5}和{5,1}表示的意义相同, 都表示由数 1 和 5 两个元素构成的集合; {(1,5)} 和{(5,1)}表示的意义不同,它表示由一个有序实数对构成的单元素集合,所以与顺序有关 系. ②{x| x -ax-1=0}和{a|方程 x -ax-1=0 有实根}的意义不同.{x| x -ax-1=0}表 示由二次方程 x -ax-1=0 的解构成的集合,而集合{a|方程 x -ax-1=0 有实根}表示 方程 x -ax-1=0 有实数解时参数 a 的范围构成的集合. (2)∵-3∈A,则-3=a-2 或-3=2a +5a,
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

2

3 ∴a=-1 或 a=- . 2

当 a=-1 时,a-2=-3,2a +5a=-3, ∴a=-1 舍去;
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3 7 2 3 当 a=- 时,a-2=- ,2a +5a=-3, ∴a=- . 2 2 2 方法归纳: (1)在解决两个数集关系问题时,合理运用数轴分析与求解可避免出错.在解含有参数的不 等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每 一类情况都要给出问题的解答. (2)对于两集合 A,B,当 A? B 时,别忘记 A=? 的情况. 变式训练 1 (1)下面各个集合的意义是否相同,为什么? {x|x=0},{0},{(x,y)|x=0,y∈R} (2)(2011 年东北三校)有三个实数的集合,既可以表示为{a, ,1},也可以表示为{a ,

b a

2

a+b,0},则 a

2011

+b

2011

=________.

解析: (1)集合{x|x=0}和{0}表示的意义相同, {x|x=0}和{(x, y)|x=0, y∈R}的意义不同. {x|x =0}表示以 x=0 为元素的单元素集合;{(x,y)|x=0,y∈R}表示 y 轴上的点构成的集合. (2)由已知得=0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1.又根据集合中元素的互 异性 a=1 应舍去,因而 a=-1,故 a2011+b2011=(-1)2011=-1. 答案:(1)见解析 (2)-1 考点 2 集合的基本关系 1.判断集合间关系往往转化为元素与集合间关系, 对描述法表示的集合要抓住元素及属 性, 可将元素列举出来或通过元素特征, 对连续数集和抽象集合, 常借助数形结合的思想(借 助数轴,韦恩图及函数图象等)解决. 2.子集与真子集的区别与联系:集合 A 的真子集一定是其子集,而集合 A 的子集不一 定是其真子集.若集合 A 有 n 个元素,则其子集个数为 2n,真子集个数为 2n-1. 例 2 (1)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S? P,求由 a 的可能取值组成 的集合. (2)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B? A,求由 m 的可能取值 组成的集合. 【解】 (1)由题意得,P={-3,2}.当 a=0 时,S=?,满足 S? P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解为 x=- , a 1 1 1 1 为满足 S? P,可使- =-3,或- =2,即 a= ,或 a=- . a a 3 2 1 1 故所求集合为{0, ,- }. 3 2 (2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B? A;若 B≠?,且满足 B? A,如图所示,则

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?m+1≤2m-1, ? ?m+1≥-2, ?2m-1≤5, ?
方法归纳:

?m≥2, ? 即?m≥-3, ?m≤3. ?

∴2≤m≤3.故 m<2,或 2≤m≤3,

即所求集合为{m|m≤3}. 在解决两个数集关系问题时, 合理运用数轴分析与求解可避免出错. 在解含有参数的不 等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论,分类时要遵循“不重不漏”的原则,然后对于每 一类情况都要给出问题的解答. 变式训练 2 (1)(2010 年浙江高考)设 P={x|x<4},Q={x|x <4},则( A.P? Q C.P? ?RQ
2

2

)

B.Q? P D.Q? ?RP

(2)设 A={x|x -8x+15=0},B={x|ax-1=0}. 1 ①若 a= ,试判定集合 A 与 B 的关系; 5 ②若 B? A,求实数 a 组成的集合 C. 解析:(1)由已知可得 Q={x|-2<x<2},易知 Q? P,故选 B. (2)解:①由 x -8x+15=0,得 x=3,或 x=5,∴A={3,5}. 1 1 若 a= ,由 ax-1=0,得 x-1=0,即 x=5,∴B={5}.∴B ? A. 5 5 ②∵A={3,5},又 B? A,故若 B=?,则方程 ax-1=0 无解,有 a=0;若 B≠?,则 a≠0, 1 1 1 1 1 1 1 由 ax-1=0,得 x= ,∴ =3,或 =5,即 a= ,或 a= .故 C={0, , } a a a 3 5 3 5 1 1 答案:(1)B (2)①B ? A ②{0, , }. 3 5 考点 3 集合的基本运算 在进行集合的运算时, 先看清集合的元素和所满足的条件, 再把所给集合化为最简形式, 并合理转化求解,必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化,并会运用分类 讨论、数形结合等思想方法,使运算更加直观,简洁. 例 3 (1)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x| x -3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}, 则集合 Cu (A∪B)中元素的个数为( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个
2
2

(2)(2011 年辽宁)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M、N 不相等,若 N∩( CI M)=

?,则 M∪N=(
A.M

) B.N C.I D.?

【解析】 (1)∵A={1,2},∴B={x|x=2a,a∈A}={2,4},∴A∪B={1,2,4},所以
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?U(A∪B)={3,5},因此集合?U(A∪B)中元素的个数为 2 个,故选 B. (2)用韦恩图可知 N ? M,∴M∪N=M.

【答案】 (1)B (2)A 变式训练 3 (1)(2010 年江苏高考)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a 的 值为________. (2)(2010 年辽宁高考)已知 A,B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},( Cu B) ∩A={9},则 A=( A.{1,3} C.{3,5,9} ) B.{3,7,9} D.{3,9}
2

解析:(1)∵A∩B={3}, a +4≥4,∴a+2=3,∴a=1.故填 1. (2)由题意知集合 A 中含有 3,9 两元素,集合 B 中不含 9,由题设条件,集合 B 最多含有元 素 1,3,5,7,故集合 A={3,9},选 D. 答案:(1)1 (2)D 考点 4 与集合有关的新概念问题 与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题, 它是化归思想的具体运用, 是近几年高 考的热点问题. 在新给出的运算法则的前提下, 将题目中的条件转化成符合新的运算法则的 形式,是解答此类问题的关键. 例 4 已知集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4}. (1)试定义一种新的集合运算Δ ,使 AΔ B={x|1<x<2}; (2)按(1)的运算,求 BΔ A. 【解】 A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4}. (1)∵AΔ B={x|1<x<2},

由上图可知 AΔ B 中的元素都在 A 中但不在 B 中,∴定义 AΔ B={x|x∈A,且 x ? B}. (2)由(1)可知 BΔ A={x|x∈B,且 x ? A}={x|3≤x≤4}. 变式训练 4 (2011 年杭州五校质检)设全集 U={x∈N*|x<10},对集合 A,B,定义运算“?” ,A?B= Cu (A ∪B),若集合 M={1,2,3,4,5},N={1,2,3,5,7,9},则 M?N=( A.{4,6,7,8,9} B.{1,2,3,5} C.{0,6,8} D.{6,8} )

解析:根据题意,M∪N={1,2,3,4,5,7,9},而 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},∴M?N= Cu (M∪ N)={6,8},故选 D.
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答案:D 五、易错盘点

易错点

忽略隐含条件的挖掘

典例 (2010 年天津高考改编)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若 B ? A,则 a 的取值范围为________. 【错解】 由|x-a|<1 得-1<x-a<1.即 a-1<x<a+1,由 A ? B 得?
?a-1>1 ? ?a+1<5 ?

,∴2<a<4.

【错因分析】 本题的错误在于漏掉了端点值,事实上 a=2 时,A={x|1<x<3}也满足 A ? B,同理 a=4 时也适合. 【正确解答】 由|x-a|<1 得-1<x-a<1, a-1<x<a+1, A ? B 得? ∴ 由
? ?a-1>1 ? ?a+1<5

, ∴2<a<4.

又当 a=2 时,A={x|1<x<3}满足 A ? B,a=4 时,A={x|3<x<5}也满足 A ? B,∴2≤a≤ 4.

误区警示
利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时,要注意端点是实心还是空心,在含有参 数时,要注意验证区间端点是否符合题意,如本节易错盘点例题.在集合的概念与运算中还 要注意: (1)要注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系,二是集合与集合的包含关系. (2)在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时, 要注意利用集合中元素的互异性这一 性质进行检验,忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一.如本节例 1 中的(2). (3)遗忘空集的存在性也是常见的致误原因,在 A? B,A∪B=B,A∩B=A,A∩B=? 中容 易忽视集合 A=? 这一情况,预防出现错误的方法是要注意分类讨论.如本节例 2. 纠错补练: 已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, 若 A? B, a), 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________. 解析:由 log2x≤2 得 0<x≤4,即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A? B,如图所示,则 a>4,即 c=4. 答案:4

六、归纳提升
1.解答集合问题注意“四看” 一看代表元素:代表元素反映了集合中元素的特征,解题时分清是点集、数集还是其他 的集合. 二看元素组成:集合是由元素组成的,从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法. 三看能否化简:有些集合是可以化简的,如果先化简再研究其关系,可使问题变得简单 明了、易于解决. 四看能否数形结合:常运用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图. 2.注意五个等价关系式 A? B?A∩B=A?A∪B=B? Cu A? Cu B?A∩ Cu B=?.
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3.集合作为工具经常渗透到函数、不等式等知识中,同时新型集合的概念及运算问题是近 几年新课标高考的热点问题.

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