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【高优指导】2016届高考数学二轮复习 专题能力训练10 等差数列、等比数列 文


专题能力训练 10

等差数列、等比数列
)

一、选择题 1.在等差数列{an}中,若 a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7-a8 的值为(

A.4 B.6 C.8 D.10 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( ) n-1 A.2 B. C. D.

* 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),若当首项 a1 和公差 d 变化时,a5+a8+a11 是一个定值,则下列 选项中为定值的是( ) A.S17 B.S18 C.S15 D.S14 4.(2014 陕西高考,文 4)根据下边框图,对大于 2 的整数 N,输出的数列的通项公式是( )

A.an=2n B.an=2(n-1) n n-1 C.an=2 D.an=2 5.一个正整数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍): 第1 1 行 第2 2 3 行 第3 4 5 6 行 7

?

?

则第 9 行中的第 4 个数是( ) A.132 B.255 C.259 D.260 * 6.已知数列{an}是各项均为正数且公比不等于 1 的等比数列(n∈N ).对于函数 y=f(x),若数列{ln f(an)}为等差数列,则称函数 f(x)为“保比差数列函数”.现有定义在(0,+∞)上的如下函数: 2 x ①f(x)=,②f(x)=x ,③f(x)=e ,④f(x)=,则为“保比差数列函数”的所有序号为( ) A.①② B.③④ C.①②④ D.②③④ 二、填空题 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则= . 8.在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,则 d 的取值范围 为 .

1

9.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n∈N ),若数列{bn}有连续四项在集合{-1,5,7,12,17}中,则 q= . 三、解答题 * * 10.已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N ),数列{bn}满足 bn=(n∈N ). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

*

11.已知数列{an}(n∈N )是首项为 a,公比为 q≠0 的等比数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 12S3,S6,S12-S6 成等比数列.问当公比 q 取何值时,a1,2a7,3a4 成等差数列.

*

12.已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,且满足 S2n-1=,n∈N . (1)求{an}的通项公式; (2)数列{bn}满足 bn=Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 T2n.

*

答案与解析 专题能力训练 10 等差数列、等比数列

2

1.C 解析:由 a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,解得 a6=16.所以 a7-a8==8. 故选 C. 2.B 解析:因为 an+1=Sn+1-Sn,所以由 Sn=2an+1,得 3Sn=2Sn+1,所以,所以数列{Sn}是以 S1=a1=1 为首项, 公比 q=的等比数列,所以 Sn=,选 B. 3.C 解析:由 a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8 是定值,可知 a8 是定值,所以 S15==15a8 是定值. 4.C 解析:由程序框图可知 a1=2×1=2,a2=2×a1=2×2=4,a3=2a2=2×4=8,?,因此在{an}中满足 a1=2,an=2an-1. n-1 n 所以{an}是首项和公比均为 2 的等比数列,故 an=2·2 =2 ,故选 C. 7 5.C 解析:依题意,知前 8 行共有 1+2+4+?+2 ==255 个数,同时 255 也是第 8 行的最后一个数, 故第 9 行中的第 4 个数为 259. n-1 6.C 解析:对于①,ln f(an)=ln=-ln an=-ln(a1q )=-ln a1-(n-1)ln q 为等差数列,故① n-1 是,B,D 均错;对于④,ln f(an)=lnln(a1q )=ln a1+(n-1)ln q 为等差数列,故④是,A 错,故选 C. 7.4 解析:显然公比 q≠1,设首项为 a1, 则由 S3+3S2=0,得=-3×, 3 2 3 2 2 2 2 2 即 q +3q -4=0,即 q -q +4q -4=q (q-1)+4(q -1)=0,即(q-1)(q +4q+4)=0, 2 2 所以 q +4q+4=(q+2) =0, 2 解得 q=-2,所以=q =4. 8. 解析:由题意知当 d<0 时,Sn 存在最大值, ∵a1=7>0,∴数列{an}中所有非负项的和最大. 又∵当且仅当 n=8 时,Sn 取最大值, ∴ 解得-1≤d<-. 9.-2 解析:易知{an}有四项在集合{-2,4,-8,11,16}中,四项-2,4,-8,16 成等比数列,公比为2. * 10.(1)证明:因为 an=2-(n≥2,n∈N ),bn=, 所以当 n≥2 时,bn-bn-1==1. 又 b1==-,所以数列{bn}是以-为首项,以 1 为公差的等差数列. (2)解:由(1)知,bn=n-, 则 an=1+=1+. 设函数 f(x)=1+,易知 f(x)在区间内均为减函数, 所以当 n=3 时,an 取得最小值-1; 当 n=4 时,an 取得最大值 3. 11.解:由题意可知,a≠0. (1)当 q=1 时,则 12S3=36a,S6=6a,S12-S6=6a, 此时不满足条件 12S3,S6,S12-S6 成等比数列; (2)当 q≠1 时,则 12S3=12×,S6=, S12-S6=, 由题意,得 12×, 3 3 3 6 化简整理,得(4q +1)(3q -1)(1-q )(1-q )=0, 3 3 解得 q =-,或 q =,或 q=-1. 当 q=-1 时,a1+3a4=-2a,2a7=2a, ∴a1+3a4≠2(2a7),不满足条件; 3 3 6 当 q =-时,a1+3a4=a(1+3q )=,2(2a7)=4aq =,即 a1+3a4=2(2a7), 所以当 q=-时,满足条件. 3 3 6 3 当 q =时,a1+3a4=a(1+3q )=2a,2(2a7)=4aq =,∴a1+3a4≠2(2a7),从而当 q =时,不满足条件. 综上,当 q=-时,使得 a1,2a7,3a4 成等差数列. 12.解:(1)设{an}首项为 a1,公差为 d,在 S2n-1=中,令 n=1,2,得 解得 a1=2,d=4 或 d=-2(舍去). ∴an=4n-2. (2)由(1)得 bn=

3

∴T2n=1+2×2-3+2 +2×4-3+2 +?+2 =1+22+24+?+22n-2+4(1+2+?+n)-3n =+4·-3n=+2n2-n.

2

4

2n-2

+2×2n-3

4


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