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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案3.1.1两角差的余弦公式


3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标 掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用,使学生初步理解公式的结构及 其功能,为建立其它和(差)公式打好基础. 二、教学重、难点 1. 教学重点:通过探索得到两角差的余弦公式; 2. 教学难点:探索过程的组织和适当引导,这里不仅有学习积极性的问题,还有探索过 程必用的基础知识是否已经具备的问题,运用已学知识和方法的能力问题,等等. 三、教学设想: (一)导入:问题 1: 我们在初中时就知道 cos 45 ?
?

2 3 ? , cos 30 ? ,由此我们能否得到 2 2

cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? ? 大家可以猜想,是不是等于 cos 45? ? cos30? 呢?
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的!下面我们就一起探讨两角差 的余弦公式 cos ?? ? ? ? ? ? (二)探讨过程: 在第一章三角函数的学习当中我们知道, 在设角 ? 的终边与单位圆的交点为 P ,cos? 1 等于角 ? 与单位圆交点的横坐标,也可以用角 ? 的余弦线来表示。

角函数线来探求公式 ? 思考 1. 怎样联系单位圆上的三
怎样构造角 ? 和角 ? ? ? ?(注意:要与它们的正弦线、余弦线联系起来.)

(1)

( 2) 怎样作出角 、 ?的正弦线 余弦线, 和? ? ?的余弦线? ? 、
思考 2:怎样联系向量的数量积探求公式?

(1)结合图形,明确应该选择哪几个向量,它们是怎样表示的?
(2)怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果? 两角差的余弦公式: cos( ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ? (三)例题讲解 例 1、利用和、差角余弦公式求 cos 75 、 cos15 的值.
? ?

1

解:分析:把 75 、 15 构造成两个特殊角的和、差.

?

?

cos 75? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

cos15? ? cos ? 45? ? 30? ? ? cos 45? cos30? ? sin 45? sin 30? ?

2 3 2 1 6? 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 4

点评:把一个具体角构造成两个角的和、差形式,有很多种构造方法,例如:

cos15? ? cos ? 60? ? 45? ? ,要学会灵活运用.
例 2、 已知 sin ? ?

4 5 ?? ? ,? ? ? , ? ? , cos ? ? ? , ? 是第三象限角, cos ?? ? ? ? 的值. 求 13 5 ?2 ?
2

3 4 ? 4? ?? ? 2 解:因为 ? ? ? , ? ? , sin ? ? 由此得 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ?5? ?2 ? 12 5 ? 5? 2 又因为 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,所以 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 13 13 ? 13 ?
所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? ? 点评:注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题.
2

33 ? 3 ? ? 5 ? 4 ? 12 ? ? ? ??? ? ? ? 65 ? 5 ? ? 13 ? 5 ? 13 ?

思考:本题中没有 ? ? ?

?? , ? ) ,呢? ?2

(四)练习:1.不查表计算下列各式的值:

() 80? cos 20? ? sin 80? sin 20? 1 cos 1 3 (2) cos15? ? sin15? 2 2

1) 解:( cos80? cos 20? ? sin 80? sin 20? ? cos(80? ? 20?) ? cos60? ?

1 2

2.教材 P127 面 1、2、3、4 题 (五)小结:两角差的余弦公式,首先要认识公式结构的特征,了解公式的推导过程,熟知 由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角 ? 、 ? 的象限,也就是符号问题,学会 灵活运用. (1)牢记公式 C (? ? ? ) ? C ? C ? S ? S.

2

(2)在“给值求值”题型中,要能灵活处理已、未知关系. (六)作业:《习案》作业二十九

3



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