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2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题26 不等式的性质与一元二次不等式 理(含解析)新人教A版


2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 26 不等式的性质与一元 二次不等式 理(含解析)新人教 A 版
【高频考点解读】 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景; 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; 3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系; 4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 【热点题型】 题型一 不等式的性质及应用

1 1 1 1 1 1 【例 1】 若 < <0,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④ a b a+b ab a b ln a >ln b .其中正确的不等式是( A.①④ B.②③ C.①③ 【答案】 C 【解析】
2 2

)

D.②④

【提分秘籍】 判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特 殊法排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式
-1-

时,考察所乘的代数式是正数、负数或 0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时 平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数 后不等号方向不变等. 【举一反三】 (1)若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是( A. C. 1 )

a-b b

1 >

B.a <ab

2

|b| |b|+1 n n < D.a >b |a| |a|+1

(2)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ;②a <b ;③logb(a-c)>loga(b-

c c a b

c

c

c).其中所有的正确结论的序号是(

)

A.① B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】 (1)C (2)D 【解析】

题型二

一元二次不等式的解法
2 2

【例 2】 (1)关于 x 的不等式 x -2ax-8a <0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则

a=(
A.

) 5 7 B. 2 2 15 C. 4 15 D. 2

【答案】 A 【解析】 法一 由 x -2ax-8a <0,得(x+2a)(x-4a)<0,因为 a>0,所以不等式的 解集为(-2a,4a). 又不等式的解集为(x1,x2),
2 2

-2-

所以 x1=-2a,x2=4a. 从而 x2-x1=6a=15, 5 解得 a= . 2 法二 由条件知,x1 和 x2 是方程 x -2ax-8a =0 的两根,则 x1+x2=2a,x1x2=-8a , 5 2 2 2 2 2 2 所以(x2-x1) =(x2+x1) -4x1x2=4a +32a =36a =15 .又 a>0,所以 a= ,故选 A. 2
2 2 2

【提分秘籍】 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对

-3-

判别式进行分类讨论;(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二 次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小, 以便写出解集. 【举一反三】 解关于 x 的不等式:ax -2≥2x-ax(a∈R).
2

题型三

不等式恒成立问题
2

【例 3】 设函数 f(x)=mx -mx-1. (1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【解析】 (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立,若 m=0,显然-1<0; 若 m≠0,
2

-4-

则?

?m<0, ? ? ?Δ =m +4m<0? -4<m<0.
2

所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在 x∈[1,3]上恒成立, 2 ? 1? 3 即 m?x- ? + m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立. ? 2? 4 有以下两种方法: 2 ? 1? 3 2 法一 因为 x -x+1=?x- ? + >0, ? 2? 4 又因为 m(x -x+1)-6<0,所以 m< 因为函数 y= 6 = x -x+1
2 2

6 . x -x+1
2

6 6 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需 m< 即可. 2 7 7 ?x-1? +3 ? 2? 4 ? ?

6

? 6? 所以,m 的取值范围是?m|m< ?. 7? ?

【提分秘籍】 (1)不等式 ax +bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c>0;
?a>0, ? 2 当 a≠0 时,? 不等式 ax +bx+c<0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,b ? Δ < 0. ?
2

-5-

=0,c<0;当 a≠0 时,?

?a<0, ? ? ?Δ <0.

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:一是利用二次 函数在区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较 简单. 【举一反三】

x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取 x
值范围. 【解析】 因为 x∈[1, +∞)时, f(x)=
2

x2+2x+a 2 >0 恒成立, 即 x +2x+a>0 恒成立. 即 x
2 2 2

当 x≥1 时,a>-(x +2x)恒成立.设 g(x)=-(x +2x),而 g(x)=-(x +2x)=-(x+1) +1 在[1,+∞)上单调递减, 所以 g(x)max=g(1)=-3,故 a>-3. 所以,实数 a 的取值范围是{a|a>-3}. 【高考风向标】 1.【2015 高考山东,理 5】不等式 x ?1 ? x ? 5 ? 2 的解集是( (A) (- ,4) 【答案】A 【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集; (B) (- ,1) )

(C) (1,4)

(D) (1,5)

?x ? 1 ?1 ? x ? 5 ?x ? 5 (I ) ? ( II ) ? ( III ) ? ?1 ? x ? x ? 5 ? 2 ? x ?1 ? x ? 5 ? 2 ? x ?1 ? x ? 5 ? 2
【解析】 (I)得: x ? 1 ,解(II)得: 1 ? x ? 4 ,解(III)得: x ? ? , 所以,原不等式的解集为 x x ? 4 2.【2015 高考江苏,7】不等式 2 【答案】 (?1, 2). 【解析】由题意得: x 2 ? x ? 2 ? ?1 ? x ? 2 ,解集为 (?1, 2). 3.【2015 高考四川,理 9】如果函数 f ? x ? ?

?

?

.故选 A.

x2 ? x

? 4 的解集为________.

1 n ? 0? 在 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2

-6-

区间 ? , 2 上单调递减,则 mn 的最大值为( 2 ? (A)16 【答案】B 【解析】 (B)18 (C)25

?1 ?

? ?



(D)

81 2

4.【2015 高考陕西,理 9】设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ), 2

r?

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是( 2
A. q ? r ? p B. q ? r ? p

) C. p ? r ? q

D. p ? r ? q 【答案】C 【解析】 p ? f ( ab ) ? ln ab , q ? f (

a?b a?b ) ? ln , 2 2

r?

1 1 ( f (a) ? f (b)) ? ln ab ? ln ab ,函数 f ( x) ? ln x 在 ? 0, ??? 上单调递增,因为 2 2 a?b a?b ? ab ,所以 f ( ) ? f ( ab ) ,所以 q ? p ? r ,故选 C. 2 2
【高考押题】 1.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是 A. 1 ( ) 1 > 1 1 B. >

a-b a

a b
D.a >b
2 2

C.|a|>|b| 【答案】 A

【解析】 取 a=-2,b=-1,则
2

1 1 > 不成立,选 A. a-b a ( )

2.设 a,b∈R,则“(a-b)·a <0”是“a<b”的

-7-

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】

3.若集合 A={x|ax -ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是 A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} 【答案】 D 【解析】 由题意知 a=0 时,满足条件.
? ?a>0, a≠0 时,由? 得 0<a≤4,所以 0≤a≤4. 2 ?Δ =a -4a≤0, ?

2

(

)

B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4}

4.若不等式 f(x)=ax -x-c>0 的解集为{x|-2<x<1},则函数 y=f(-x)的图象为 ( )

2

【答案】 B 1 c 【解析】 由题意知 a<0,由根与系数的关系知 =-2+1,- =-2,得 a=-1,c=

a

a

-2.所以 f(x)=-x -x+2,f(-x)=-x +x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与 x 轴

2

2

-8-

交点为(-1,0),(2,0),故选 B. 5.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ( A.c≤3 C.6<c≤9 【答案】 C 【解析】 B.3<c≤6 D.c>9
3 2

)

6.函数 y= x +x-12的定义域是________. 【答案】 (-∞,-4]∪[3,+∞) 【解析】 由 x +x-12≥0 得(x-3)(x+4)≥0, ∴x≤-4 或 x≥3.
? 1 1? 2 2 7.若不等式 ax +bx+2>0 的解集为?x|- <x< ?,则不等式 2x +bx+a<0 的解集是 2 3? ?
2

2

________. 【答案】 {x|-2<x<3} 1 1 2 【解析】 由题意,知- 和 是一元二次方程 ax +bx+2=0 的两根且 a<0, 2 3 1 1 b ? ?-2+3=-a 所以? . 1 1 2 ? ?-2×3=a 解得?
?a=-12, ? ? ?b=-2.
2 2

则不等式 2x +bx+a<0,即 2x -2x-12<0,其解集为{x|-2<x<3}. 8.已知函数 f(x)=x +mx-1,若对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,则实数
2

m 的取值范围是________.
【答案】 ?-

? ?

2 ? ,0? 2 ?

【解析】 二次函数 f(x)对于任意 x∈[m,m+1],都有 f(x)<0 成立,

-9-

则?

?f(m)=m +m -1<0, ? ? ?f(m+1)=(m+1) +m(m+1)-1<0,
2

2

2

解得-

2 <m<0. 2
2 2

9.求不等式 12x -ax>a (a∈R)的解集.

10.已知 f(x)=x -2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的取 值范围.

2

- 10 -

- 11 -


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