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高中数学人教A版选修4-5 3-3 排序不等式 同步测试3


第三节 解答题 排序不等式 1.若 a1≤a2≤…≤an,而 b1≥b2≥…≥bn 或 a1≥a2≥…≥an 而 b1≤b2≤…≤bn, a1b1+a2b2+…+anbn ?a1+a2+…+an? ?b1+b2+…+bn? ?· ? ?.当且仅当 a1 证明: ≤? n n n ? ?? ? =a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时等号成立. 证明 不妨设 a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn. 则由排序原理得: a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1 a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2 …… a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1. 将上述 n 个式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn) ≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn) 上式两边除以 n2,得: a1b1+a2b2+…+anbn n ?a1+a2+…+an??b1+b2+…+bn? ?? ?. ≤? n n ? ?? ? 等号当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时成立. 2.设 a1,a2,…,an 为实数,证明: a1+a2+…+an ≤ n 证明 2 2 a2 1+a2+…+an . n 不妨设 a1≤a2≤a3≤…≤an 由排序原理得 2 2 2 a2 1+a2+a3+…+an=a1a1+a2a2+a3a3+…+anan. 2 2 2 a2 1+a2+a3+…+an≥a1a2+a2a3+a3a4+…+ana1 2 2 2 a2 1+a2+a3+…+an≥a1a3+a2a4+a3a5+…+ana2 2 2 2 a2 1+a2+a3+…+an≥a1an+a2a1+a3a2+…+anan-1 以上 n 个式子两边相加 2 2 2 2 n(a2 1+a2+a3+…+an)=(a1+a2+a3+…+an) 两边同除以 n2 得 2 2 2 a2 ?a1+a2+a3+…+an?2 1+a2+a3+…+an ? ? ≥ n n ? ? 2 2 2 a2 a1+a2+a3+…+an 1+a2+a3+…+an ≥ n n 所以 结论得证. 2 an-1 a2 a2 1 a2 n 3.设 a1,a2,…,an 为正数,求证: + +…+ a + ≥a1+a2+…+an. a2 a3 a n 1 2 证明 不妨设 a1>a2>…>an>0, 2 2 则有 a2 1>a2>…>an 1 1 1 也有 < <…<a , a1 a2 n 由排序原理:乱序和≥反序和,得: 2 2 2 a2 a2 a2 a2 1 a2 n a1 n + +…+ ≥ + +…+a =a1+a2+…+an. a2 a3 a1 a1 a2 n 4.设 A、B、C 表示△ABC 的三个内角的弧度数,a,b,c 表示其对边,求证: aA+bB+cC π ≥ . 3 a+b+c 证明 法一 不妨设 A>B>C,则有 a>b>c 由排序原理:顺序和≥乱序和 ∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA aA+bB+cC≥aC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC 上述三式相加得 3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c) ∴ aA+bB+cC π ≥ . 3 a+b+c 不妨设 A>B>C,则有 a>b>c, aA+bB+cC A+B+C a+b+c


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