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河南省郑州四十七中2014-2015学年高二数学上学期10月月考试卷 理(含解析)


文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com

河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一个符合要求) 1. (5 分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=() A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 2. (5 分)在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是() A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 3. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a3=5,a5=9,则 S7 等于() A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 4. (5 分)已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144, 则 S5 的值是() A. B. 69 C. 93 D. 189
2 2 2

5. (5 分)在△ABC 中,已知 a= ,b=2,B=45°,则角 A=() A. 30°或 150° B. 60°或 120° C. 60°

D. 30°

6. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.

7. (5 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列且 c=2a,则 sinB=() A. B. C. D.

8. (5 分)若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1) (3n﹣2) ,则 a1+a2+?+a10=() A. 15 B. 12 C. ﹣12 D. ﹣15

n

9. (5 分)△ABC 中,BC=2,角 B= A. B.

,当△ABC 的面积等于 C.

时,sinC=() D.

-1-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 10. (5 分)定义 的前 n 项的“平均倒数”为 A. 3n+2 B. 6n﹣1 为 n 个正数 x1,x2,?,xn 的“平均倒数”.若正项数列{an} ,则数列{an}的通项公式为 an=() C. (3n﹣1) (3n+2) D. 4n+1 (n>1) ,则 a2014 的值为() C. D. 以上都不对

11. (5 分)在数列{an}中,a1=﹣ ,an=1﹣ A. ﹣ B. 5

12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A. O B. ﹣9 C. 9

*

若函数 f (x) =sin2x+2cos ,

2

D. 1

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴

棒的根数为. 14. (5 分)△ABC 中三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 a=8,B=60°,C=75°,则边 b 的长为. 15. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大 值,则 d 的取值范围为. 16. (5 分)△ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=°.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)在△ABC 中,已知 sinB= ,cosA= ,试求 cosC 的值.

18. (12 分)设 f(x)=



(1)求证:f(x)+f(1﹣x)=1; (2)求和 f( )+f( )+?+f( ) .

-2-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (12 分)叙述并证明余弦定理. 20. (12 分)已知数列{an}中,a1≠0,2an=a1(1+Sn) (n∈N ) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
*

21. (12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB=b. (1)求 A 的值; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值及此时 b 的值.

22. (12 分)数列{an}满足 a1=2,an+1=

(n∈N )

*

(1)设 bn=

,求数列{bn}的通项公式;

(2) 设 cn= 求 m 得范围.

, 数列{cn}的前 n 项和为 Sn, 不等式 m ﹣ m>Sn 对一切 n∈N 成立,

2

*

河南省郑州四十七中 2014-2015 学年高二上学期 10 月月考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一个符合要求) 1. (5 分)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则 a7=() A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列{an}中,a1=2,且有 a3+a5=10,利用等差数列的通项公式先求出公差 d, 再求 a7. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10, ∴a1+a7=a3+a5=10, ∴a7=10﹣a1=8. 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等差数列通 项公式的合理运用. 2. (5 分)在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是()
2 2 2

-3-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 钝角三角形 考点: 专题: 分析: 可. 解答: B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定

三角形的形状判断. 三角函数的图像与性质. 2 2 2 2 2 2 利用正弦定理将 sin A+sin B<sin C,转化为 a +b <c ,再结合余弦定理作出判断即 解:∵在△ABC 中,sin A+sin B<sin C, = = =2R 得,
2 2 2

由正弦定理 a +b <c ,
2 2 2

又由余弦定理得:cosC= ∴ <C<π .

<0,0<C<π ,

故△ABC 为钝角三角形. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与余弦定理的应用,属于基础题. 3. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,已知 a3=5,a5=9,则 S7 等于() A. 13 B. 35 C. 49 D. 63 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a3+a5=14,进而可得 a1+a7=a3+a5=14,而 S7= 答案. 解答: 解:由题意可得 a3+a5=14, 由等差数列的性质可得 a1+a7=a3+a5=14, 故 S7= = = =49, ,代入即可得

故选 C 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 4. (5 分)已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn 表示 an 的前 n 项的和,若 a1=3,a2a4=144, 则 S5 的值是() A. B. 69 C. 93 D. 189

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题.

-4-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据等比数列的性质化简 a2a4=144,得到 a3 的值,又 a1 的值,利用等比数列的性质 即可求出 q 的值,由 a1 和 q 的值,利用等比数列的性质即可求出 S5 的值. 2 解答: 解:由 a2a4=a3 =144,又 a3>0, 得到 a3=12,由 a1=3,得到 q = 由 q>0,得到 q=2, 则 S5= = =93.
2

=4,

故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的前 n 项和公式化简求值,掌握等比数列的性质, 是一道基础题. 5. (5 分)在△ABC 中,已知 a= ,b=2,B=45°,则角 A=() A. 30°或 150° B. 60°或 120° C. 60° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由正弦定理 因此算出 A=30°. 解答: 解:∵a= ∴由正弦定理 可得 sinA= = 的式子,结合题中数据算出 sinA= ,根据 a<b 可得 A<B,

D. 30°

,b=2,B=45°, ,得

∴A=30°或 150° ∵a<b,可得 A<B,∴A=30° 故选:D 点评: 本题给出三角形两边和其中一边的对角,求另一角的大小.着重考查了运用正弦定 理解三角形的知识,属于基础题. 6. (5 分) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把 100 个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的 是较小的两份之和,问 最小 1 份为() A. B. C. D.

考点: 数列的应用. 专题: 计算题.

-5-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (d>0) ;则由五个人的面包 和为 100,得 a 的值;由较大的三份之和的 是较小的两份之和,得 d 的值;从而得最小的 1 分 a﹣2d 的值. 解答: 解:设五个人所分得的面包为 a﹣2d,a﹣d,a,a+d,a+2d, (其中 d>0) ; 则, (a﹣2d)+(a﹣d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20; 由 (a+a+d+a+2d)=a﹣2d+a﹣d,得 3a+3d=7(2a﹣3d) ;∴24d=11a,∴d=55/6; 所以,最小的 1 分为 a﹣2d=20﹣ = .

故选 A. 点评: 本题考查了等差数列模型的实际应用,解题时应巧设数列的中间项,从而容易得出 结果. 7. (5 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列且 c=2a,则 sinB=() A. B. C. D.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 直接利用等比数列求出 abc 的关系,结合已知条件利用余弦定理求出 B 的余弦函数 值,然后求解 sinB. 2 2 2 2 解答: 解:a、b、c 成等比数列,所以 b =ac,由余弦定理可知:b =a +c ﹣2accosB,又 c=2a, 2 2 2 2 ∴2a =a +4a ﹣4a cosB, ∴cosB= , sinB= .

故选:D. 点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力. 8. (5 分)若数列{an}的通项公式是 an=(﹣1) (3n﹣2) ,则 a1+a2+?+a10=() A. 15 B. 12 C. ﹣12 D. ﹣15 考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 通过观察数列的通项公式可知,数列的每相邻的两项的和为常数,进而可求解. 解答: 解:依题意可知 a1+a2=3,a3+a4=3?a9+a10=3 ∴a1+a2+?+a10=5×3=15 故选 A. 点评: 本题主要考查了数列求和.对于摇摆数列,常用的方法就是隔项取值,找出规律.
n

-6-

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 9. (5 分)△ABC 中,BC=2,角 B= A. B. ,当△ABC 的面积等于 C. 时,sinC=() D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 先利用三角形面积公式求得 AB,进而利用余弦定理求得 AC 的值,最后利用正弦定理 求得 sinC. 解答: 解:三角形面积为: sinB?BC?BA= × ∴AB=1 由余弦定理可知:AC= ∴由正弦定理可知 ∴sinC= ?AB= = ×2×AB=

故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.在解三角形问题中,正弦定理和余弦 定理是常用的方法,应强化训练和记忆. 10. (5 分)定义 的前 n 项的“平均倒数”为 A. 3n+2 B. 6n﹣1 为 n 个正数 x1,x2,?,xn 的“平均倒数”.若正项数列{an} ,则数列{an}的通项公式为 an=() C. (3n﹣1) (3n+2) D. 4n+1

考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由已知条件推导出正项数列{an}的前 n 项的前 n 项和 Sn=n(3n+2)=3n +2n,由此能 求出数列{an}的通项公式. 解答: 解:正项数列{an}的前 n 项的“平均倒数”为
2



∴正项数列{an}的前 n 项的前 n 项和 Sn=n(3n+2)=3n +2n, a1=S1=3+2=5, n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 2 =(3n +2n)﹣ =6n﹣1, n=1 时也成立, ∴an=6n﹣1. 故选:B. 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,解题时要认真审题,注意数列的前 n 项和公式的 合理运用.

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11. (5 分)在数列{an}中,a1=﹣ ,an=1﹣ A. ﹣ B. 5 C.

(n>1) ,则 a2014 的值为() D. 以上都不对

考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用递推公式推导出数列{an}是周期为 3 的周期数列,由此能求出结果. 解答: 解:在数列{an}中,a1=﹣ ,an=1﹣ ∴ =5, (n>1) ,

= , =﹣ ,

∴数列{an}是周期为 3 的周期数列, ∵2014=671×3+1, ∴a2014=a1=﹣ . 故选:A. 点评: 本题考查数列的第 2014 项的求法,是基础题,解题时要认真审题上,注意递推思想 的合理运用.
* 2

12. (5 分) 已知数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an, n∈N , 且 a5= 记 yn=f(an) ,则数列{yn}的前 9 项和为() A. O B. ﹣9 C. 9

若函数 f (x) =sin2x+2cos ,

D. 1

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 确定数列{an}是等差数列,利用等差数列的性质,可得 f(a1)+f(a9)=f(a2)+f (a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2,由此可得结论. * 解答: 解:∵数列{an}满足 an+2﹣an+1=an+1﹣an,n∈N , ∴数列{an}是等差数列, ∵a5= ,∴a1+a9=a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5=π
2

∵f(x)=sin2x+2cos , ∴f(x)=sin2x+cosx+1, ∴f(a1)+f(a9)=sin2a1+cosa1+1+sin2a9+cosa9+1=2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 同理 f(a2)+f(a8)=f(a3)+f(a7)=f(a4)+f(a6)=2 ∵f(a5)=1 ∴数列{yn}的前 9 项和为 9 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查数列与函数的联系,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴

棒的根数为 6n+2. 考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 观察给出的 3 个例图,注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多 6 根,图 ③的火柴棒比图②的多 6 根,而图①的火柴棒的根数为 2+6. 解答: 解:由题意知:图②的火柴棒比图①的多 6 根,图③的火柴棒比图②的多 6 根,而 图①的火柴棒的根数为 2+6, ∴第 n 条小鱼需要(2+6n)根, 故答案为:6n+2. 点评: 本题考查了规律型中的图形变化问题,本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法 (归纳法) ,先观察特例,找到火柴棒根数的变化规律,然后猜想第 n 条小鱼所需要的火柴棒 的根数. 14. (5 分)△ABC 中三内角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,若 a=8,B=60°,C=75°,则边 b 的长为 4 . 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由三角形内角和定理算出 A=45°, 然后在△ABC 中利用正弦定理, 列出关于 A、 B、a、 b 的等式,解之即可得到边 b 的长度. 解答: 解:∵△ABC 中,B=60°,C=75°, ∴A=180°﹣(B+C)=45° 由正弦定理,得 = ,

即 b=

=

=4

故答案为:4 点评: 本题给出三角形的两个角和一条边的长,求另外的边长,着重考查了三角形内角和 定理和利用正余弦定理解三角形的知识,属于基础题.

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15. (5 分)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和为 Sn,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大 值,则 d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) .

考点: 等差数列的性质. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据题意当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,得到 S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组, 求解得 d 的取值范围. 解答: 解:∵Sn =7n+ ,当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,



,即

,解得:



综上:d 的取值范围为(﹣1,﹣ ) . 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式,解不等式方程组,属于中档题. 16. (5 分)△ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=30°. 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理将边的关系转化为正弦的关系,再将 B=A+60°去代换消去 B,得到 A 的关系,最后根据两角和与差的正弦公式可求出角 A 的正弦值,进而得到答案. 解答: 解:利用正弦定理, ∵b=2a∴sinB=2sinA∴sin(A+60°)﹣2sinA=0 ∴ cosA﹣3sinA=0∴sin(30°﹣A)=0 ∴30°﹣A=0°(或 180°)∴A=30°. 故答案为:30° 点评: 本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式,三角函数公式比较多不容易记, 要给予重视,强化记忆. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (10 分)在△ABC 中,已知 sinB= ,cosA= ,试求 cosC 的值.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 sinB 的值求出 cosB 的值,由 cosA 的值求出 sinA 的值,利用诱导公式及两角和 与差的余弦函数公式化简 cosC,把各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵在△ABC 中,sinB= ,cosA= ∴cosB=± =± ,sinA= , = ,

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 cosB= 时,cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣ 当 cosB=﹣ 时,cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB= + + = = ; .

点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,诱导公式,以及两角和与差的余弦函数公 式,熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键.

18. (12 分)设 f(x)=



(1)求证:f(x)+f(1﹣x)=1; (2)求和 f( )+f( )+?+f( ) .

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由已知得 f(x)+f(1﹣x)= =1. (2)由(1)得 f( )+f( )+?+f( )=++f( ) ,由此能求出结果. ,由此能证明 f(x)+f(1﹣x)

解答: 解: (1)∵f(x)=



∴f(x)+f(1﹣x)=

=

=

=1.

(2)由(1)得 f( =++f( =1011+ )

)+f(

)+?+f(



=1011.5. 点评: 本题考查等式成立的证明,考查函数值的求法,解题时要认真审题,注意函数性质 的合理运用.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19. (12 分)叙述并证明余弦定理. 考点: 余弦定理. 专题: 证明题. 分析: 先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容,并画出图形,写出已知与求证,然后 开始证明. 方法一:采用向量法证明,由 a 的平方等于 示出
2

的平方,利用向量的三角形法则,由
2 2 2





,然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后,即可得到 a =b +c ﹣2bccosA,同理
2 2 2 2 2

可证 b =c +a ﹣2cacosB,c =a +b ﹣2abcosC; 方法二:采用坐标法证明,方法是以 A 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系, 2 2 2 表示出点 C 和点 B 的坐标, 利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方, 化简后即可得到 a =b +c 2 2 2 2 2 2 ﹣2bccosA,同理可证 b =c +a ﹣2cacosB,c =a +b ﹣2abcosC. 解答: 解:余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹 2 2 2 2 2 2 角的余弦之积的两倍; 或在△ABC 中, a, b, c 为 A, B, C 的对边, 有 a =b +c ﹣2bccosA, b =c +a 2 2 2 ﹣2cacosB,c =a +b ﹣2abcosC. 证法一:如图, = =
2 2 2 2

= =b ﹣2bccosA+c
2

即 a =b +c ﹣2bccosA 2 2 2 2 2 2 同理可证 b =c +a ﹣2cacosB,c =a +b ﹣2abcosC; 证法二:已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴建立 直角坐标系, 则 C(bcosA,bsinA) ,B(c,0) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a =|BC| =(bcosA﹣c) +(bsinA) =b cos A﹣2bccosA+c +b sin A=b +c ﹣2bccosA, 2 2 2 2 2 2 同理可证 b =a +c ﹣2accosB,c =a +b ﹣2abcosC.

点评: 此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理,以及对命题形式出现的证明题, 要写出已知求证再进行证明,是一道基础题. 20. ( 12 分)已知数列{an}中,a1≠0,2an=a1(1+Sn) (n∈N ) ,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式 an;
*

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件推导出 a1=1,2an﹣2an﹣1=(1+Sn)﹣(1+Sn﹣1)=an,从而得到{an}是 首项 a1=1、公比 q=2 等比数列,由此求出 (2)由(1)得 .

,由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn.

解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)当 n=1 时,2a1=a1(1+S1)=a1(1+a1) , ∵a1≠0,∴a1=1, 当 n>1 时,则 2an=1+Sn, ∴2an﹣2an﹣1=(1+Sn)﹣(1+Sn﹣1)=an, ∴an=2an﹣1,∴{an}是首项 a1=1、公比 q=2 等比数列, ∴ .?(6 分) ,

(2)由(1)得 ∴ ,?(7 分)



,①



,②?(9 分)

①﹣②得 ∴ .?(12 分)

,?(10 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意错位相减法的合理运用. 21. (12 分)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB=b. (1)求 A 的值; (2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值及此时 b 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,根据 sinB 不为 0 求出 sinA 的值,即可确定出 A 的度数;

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)由 a,cosA 的值,利用余弦定理列出关系式,再利用基本不等式变形求出 bc 的最大值, 即可确定出三角形面积的最大值,并求出此时 b 的值即可. 解答: 解: (1)由正弦定理得 ∵sinB≠0, ∴sinA= , ∵△ABC 是锐角三角形, ∴A=30°; (2)∵A=30°,a=2, 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:4=b +c ﹣2bccos30°=b +c ﹣ ∴bc≤4(2+ ) , ∴S△ABC= bcsinA≤ ×4(2+ )=2+ , = 化简 2asinB=b,得 2sinAsinB=sinB,

bc≥(2﹣

)bc,

当且仅当 b=c= + 时,△ABC 的面积取最大值 2+ . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的关 键.

22. (12 分)数列{an}满足 a1=2,an+1=

(n∈N )

*

(1)设 bn=

,求数列{bn}的通项公式;

(2) 设 cn= 求 m 得范围.

, 数列{cn}的前 n 项和为 Sn, 不等式 m ﹣ m>Sn 对一切 n∈N 成立,

2

*

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)根据递推关系求出 bn= ,即可求数列{bn}的通项公式;

(2)求出 cn=

,利用累加法,即可求出{cn}的前 n 项和为 Sn,即可解不等式.

解答: 解: (1)∵an+1=



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取倒数得

=

=

+n+ ,

即 bn+1﹣bn=n+ , 则 b2﹣b1=1+ , b3﹣b2=2+ , ? bn﹣bn﹣1=(n﹣1)+ , 累加得 bn= .

(2)cn=

=

=

+

=

+(



) ,

故 Sn=c1+c2+?+cn=

+ ﹣

= ﹣(

+





故: m ﹣ m≥ . 则 m≥2 或 m≤﹣1. 点评: 本题主要考查递推数列的应用,根据条件构造数列是解决本题的关键.考查学生的 运算能力,综合性较强.

2

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