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陕西省榆林一中等四校联考2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


陕西省榆林一中等四校联考 2015 届高三上学期第一次月 考数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={1,2,4,6},B={2,3,5},则韦恩图中阴影部分表示的集合( )

A.{2}

B.{3,5}


C.{1,4,6}

D.{3,5,7,8}

考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 分析:根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于 B 但不属于 A 的元素,根据已知的 A、 B,分析可得答案. 解答: 解:根据题意,分析可得,阴影部分的元素为属于 B 但不属于 A 的元素, 即阴影部分表示(CUA)∩B, 又有 A={1,2,4,6},B={2,3,5}, 则(CUA)∩B={3,5}, 故选 B. 点评:本题考查集合的图示表示法,一般采取数形结合的标数法或集合关系分析法. 2.复数 A.第一象限 表示复平面内的点位于( B.第二象限 ) C.第三象限 D.第四象限

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi 的形式,即可推出结果. 解答: 解: . 故选 A. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算, 复数的代数表示法及其几何意义, 考查计算能力. = ,故它所表示复平面内的点是

3.函数

的零点所在区间(

)

A.

B.

C. (1,2)

D. (2,3)

考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题. 分析:由题意可知函数在(0,+∞)单调递增,且连续 f(1)?f(2)<0,由根的存在性定 理可求 解答: 解:由题意可知函数在(0,+∞)单调递增,且连续 f( )= ,f(1)=log21﹣1<0,

由根的存在性定理可得,f(1)?f(2)<0 故选:C 点评:本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理:若函数 f(x)在区间[a,b]上连 续,且 f(a)?f(b)<0,则函数 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点,函数与方程的思 想得到了很好的体现.

4.已知正数 x、y 满足 A.8 B.16

,则 z=2

2x+y

的最大值为(

) D.64

C.32

考点:简单线性规划. 专题:计算题;数形结合. 分析:本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入 2x+y 中,即可 求出 z=2
2x+y

的最大值. 的平面区域如下图所示:

解答: 解:满足约束条件



得 A(1,2) ,
2x+y

由图可知:当 x=1,y=2 时 z=2 故选 B.

的最大值为 2 =16,

4

点评:在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可行 域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优解. 5.命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”是“﹣16≤a≤0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;特称命题. 专题:计算题. 分析:命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”,等价于命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a≥0 为真 2 2 命题”,故△ =a +16a≤0,由此得到﹣16≤a≤0;由﹣16≤a≤0,知△ =a +16a≤0,故命题“?x∈R, 2 2 使 x +ax﹣4a≥0 为真命题”,所以命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”.由此得到命题 2 “?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件. 2 解答: 解:∵命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”, 2 ∴命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a≥0 为真命题”, 2 ∴△=a +16a≤0, ∴﹣16≤a≤0, 2 即命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”?“﹣16≤a≤0”; ∵﹣16≤a≤0, ∴△=a +16a≤0, 2 ∴命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a≥0 为真命题”, 2 ∴命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”, 2 即命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”?“﹣16≤a≤0”. 2 故命题“?x∈R,使 x +ax﹣4a<0 为假命题”是“﹣16≤a≤0”的充要条件. 故选 C. 点评:本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用,是基础题.解题时要认真审 题,仔细解答. 6.已知函数 离等于 ,若将函数 y=f(x)的图象向左平移 ) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距 个单位长度得到函数 y=g(x)的图象,则
2 2 2 2

)

y=g(x)的解析式是(

A. D.y=2sin4x

B.y=2sin2x

C.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 求得 ω=2.图象向左平移 ) ,根据它的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 )﹣ ,

个单位长度得到函数 y=2sin[2(x+

)]=2sin(2x)的

图象,由此求得 y=g(x)的解析式. 解答: 解:∵函数 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 可得 = ,∴ω=2. 个单位长度得到函数 y=2sin[2 (x+ ) ﹣ ) ]=2sin (2x) , =2sin(ωx﹣ ) ,根据它

将函数 y=f (x) 的图象向左平移

的图象, 故 y=g(x)的解析式是 y=2sin2x, 故选 B. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin (ωx+?) 的部分图象求函数的解析式, 函数 y=Asin (ωx+?) 的图象变换,属于中档题. 7.某几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是

(

) A. B.2000cm (4000+1000π)cm 3 3 C. (8000﹣2000π)cm D.4000cm
3 3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图可知,该几何体为圆柱与长方体的组合体,圆柱的底面直径为 20cm,高为 10cm,长方体的长宽高分别为 20cm,20cm,10cm,即可求出这个几何体的体积.

解答: 解:由三视图可知,该几何体为圆柱与长方体的组合体,圆柱的底面直径为 20cm, 高为 10cm,长方体的长宽高分别为 20cm,20cm,10cm, ∴这个几何体的体积是 20×20×10+π×10 ×10=4000+1000πcm . 故选:A. 点评:本题主要考查三视图的应用,以及空间几何体的体积,要求熟练掌握空间几何体的体 积公式. 8.给出下列五个命题: ①净 A,B,C 三种个体按 3:1:2 的比例分层抽样调查,如果抽取的 A 个体为 9 个,则 样本容易为 30; ②一组数据 1、2、3、4、5 的平均数、众数、中位数相同; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据为 5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲; ④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1﹣2x.则 x 每增加 1 个单 位,y 平均减少 2 个单位; ⑤统计的 10 个样本数据为 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本 数据落在[114.5,124.5)内的频率为 0.4 其中真命题为( ) A.①②④ B.②④⑤ C.②③④ D.③④⑤ 考点:命题的真假判断与应用. 专题:规律型;概率与统计. 分析:根据统计的相关知识和有关概念分别进行判断即可. 解答: 解:①样本容易为 ②数据 1、2、3、4、5 的平均数为 正确; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据的平均数为 ,方差为 = 小于甲的方差,∴乙稳定,∴③错误; ④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1﹣2x.则 x 每增加 1 个单 位,y 平均减少 2 个单位,∴④正确; ⑤样本数据落在[114.5,124.5)内的有 120,122,116,120 共 4 个,∴所求频率为 ∴⑤正确. 故选:B. 点评:本题主要考查统计的有关知识,要求熟练掌握统计的有关概念,比较基础. =0.4, ,∴①错误; ,众数、中位数都是 3,∴②
2 3

9.已知函数 f(x)= 是( ) B. (0, ]

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,则 a 的取值范围

A. (0, ]

C. (0,1)

D. (0,2)

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题意可得 ,化简求得 a 的取值范围.

解答: 解:由 f(x)是(﹣∞,+∞)上的减函数,可得

,化简





故选 B. 点评:本题主要考查函数的单调性的性质,属于中档题.

10.已知 P 是边长为 4 的正△ ABC 边 BC 上的动点,则 A.最大值为 8 C.定值 24 B.最小值为 12 D.与 P 的位置有关

?(

+

)(

)

考点:平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:令 BC 的中点为 D,则 ?( + )= ,由此能求出结果.

解答: 解:令 BC 的中点为 D, 则 ?( + )= =2| | =2(
2

) =24.

2

故选 C. 点评:本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算.2015 届高考对向量的考查一般 不会太难,以基础题为主,而且经常和三角函数练习起来考查综合题,平时要多注意这方面 的练习. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填在答题卡对应题号的位 置上. 11.阅读下面的流程图,若输入 a=6,b=1,则输出的结果是 2.

考点:设计程序框图解决实际问题. 专题:操作型. 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用 是利用循环计算并输出变量 x 的值, 模拟程序的运行, 并将运行过程的各变量的值列表进行 分析,不难得到最终输出的结果. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: a b x 是否继续循环 循环前 6 1∥ 第一圈∥5 是 第二圈 4 6 2 否 故输出的结果为:2 故答案为:2.

点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 12.已知 =1,且 a>0,b>0,则 a+b 的最小值为 9.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵ ∴a+b=(a+b) =1,且 a>0,b>0, =5+ =9,当且仅当 b=2a=6 时取等号.

∴a+b 的最小值为 9. 故选:9. 点评:本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质,属于基础题. 13.已知函数 f(x)= ,则 f(lg2)+f(lg )=2.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数函数 F(x)= 可. 解答: 解:函数 f(x)= 则 f(lg2)+f(lg )=f(lg2)+f(﹣lg2) 令 F(x)= F(﹣x)= ∴F(x)+F( (﹣x)=0 ∴F(x)= ∴f(lg2)﹣1+f(﹣lg2)﹣1=0 ∴f(lg2)+f(﹣lg2)=2, 即 f(lg2)+f(lg )=2 故答案为:2 点评:本题考查函数的奇偶性,考查分析问题解决问题的能力. =f(x)﹣1 是奇函数, , , , 是奇函数以及对数值,直接化简求解即

14.设当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx﹣2cosx 取得最大值,则 cosθ=﹣



考点:两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题:压轴题;三角函数的求值.

分析:f(x)解析式提取 ,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由 2 2 x=θ 时, 函数 f (x) 取得最大值, 得到 sinθ﹣2cosθ= , 与 sin θ+cos θ=1 联立即可求出 cosθ 的值. 解答: 解:f(x)=sinx﹣2cosx= sinα= ) , ( sinx﹣ cosx)= sin(x﹣α) (其中 cosα= ,

∵x=θ 时,函数 f(x)取得最大值, ∴sin(θ﹣α)=1,即 sinθ﹣2cosθ= , 2 2 又 sin θ+cos θ=1, 联立得(2cosθ+ 故答案为:﹣ 点评:此题考查了两角和与差的正弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及正弦函数 的定义域与值域,熟练掌握公式是解本题的关键. 三.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. (选修 4-5 不等式选讲) 15.若任意实数 x 使 m≥|x+2|﹣|5﹣x|恒成立,则实数 m 的取值范围是[7,+∞) . 考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:令 g(x)=|x+2|﹣|5﹣x|,利用绝对值不等式可得 g(x)max=7,从而可得答案. 解答: 解:g(x)=|x+2|﹣|5﹣x|, ∵|x+2|﹣|5﹣x|≤|x+2+5﹣x|=7, ∴g(x)max=7, ∵实数 x 使 m≥|x+2|﹣|5﹣x|恒成立, ∴m≥g(x)max=7, ∴实数 m 的取值范围是[7,+∞) . 故答案为:[7,+∞) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,求得 g(x)|x+2|﹣|5﹣x|的最大值是关键,考查构造 函数思想与恒成立问题,属于中档题. B. (选修 4-1 几何证明选讲) 16.若直角△ ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D,且 AD=1,BD=2,则△ ABC 的面积为 2. 考点:三角形的面积公式;圆的切线方程. 专题:计算题. 2 2 2 分析: 设内切圆半径为 r, 由勾股定理可得 (1+r) + (2+r) =9, 可得 r +3r=2, 再根据△ ABC 的面积为 ×(1+r) (2+r) ,运算求得结果. ) +cos θ=1,解得 cosθ=﹣
2 2



解答: 解:由于直角△ ABC 的内切圆与斜边 AB 相切于点 D,且 AD=1,BD=2,设内切 圆半径为 r, 则由勾股定理可得(1+r) +(2+r) =9,∴r +3r=2. △ ABC 的面积为 ×(1+r) (2+r)= (r +3r+2)=2,
2 2 2 2

故答案为 2. 点评:本题考查圆的切线性质,以及三角形中的几何计算,考查转化思想以及计算能力. C. (选修 4-4 坐标系与参数方程) 17. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系下,直线 公共点个数是 1. 考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系. 专题:计算题. 分析:把极坐标方程化为普通方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,根据 此距离正好等于半径,可得直线和圆相切. 解答: 解:直线 圆
2 2

与圆



,即

x+

y= 的圆.

,即 x+y﹣2=0.

,即 x +y =2,表示圆心在原点,半径等于 = ,

圆心到直线的距离等于

故直线和圆相切, 故答案为 1. 点评:本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆 的位置关系. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18.某数学老师对本校 2013 届 2015 届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1:50 进行分层抽样抽取 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如下: 得到的频率分布表如下: 分数段(分) [50,70] [70,90] [90,110] [110,130] [130,150] 合计 频数 b 频率 a (Ⅰ)表中 a,b 的值,并估计这次考试全校学生数学成绩及格率(分数在[90,150]范围为 及格) ; (Ⅱ)从大于等于 100 分的学生随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率.

考点:古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 专题:计算题;图表型. 分析: (Ⅰ)由茎叶图查出分数在[50,70)及[110,130)范围内的人数,则 a,b 的值可求; (Ⅱ)查出大于等于 100 分的学生数,由组合知识得到选取 2 名学生的基本事件数,查出和 大于等于 260 的情况数,然后直接由古典概型概率计算公式求解. 解答: 解: (Ⅰ)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130)范围内 的有 3 人, ∴a= =0.1,b=3.

从茎叶图可知分数在[90,150]范围内的有 13 人, ∴估计全校数学成绩及格率为 =65%;

(Ⅱ) 设 A 表示事件“大于等于 100 分的学生中随机选 2 名学生得分, 平均得分大于等于 130 分”, 由茎叶图可知大于等于 100 分的有 9 人,记这 9 人分别为 a,b,c,d,e,f,g,h,k, 则选取学生的所有可能结果为 种.

事件“2 名学生的平均得分大于等于 130 分”,也就是“这两个学生的分数之和大于等于 260”, ∴可能结果为: (118,142) , (128,136) , (128,142) , (136,142)共 4 种情况,基本事 件数为 4 ∴P(A)= = .

点评:本题考查了茎叶图,考查了古典概型及其概率计算公式,是基础的计算题. 19.等差数列{an}中,a7=4,a19=2a9, (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点:数列的求和;等差数列的通项公式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (I)由 a7=4,a19=2a9,结合等差数列的通项公式可求 a1,d,进而可求 an (II)由 = = ,利用裂项求和即可求解

解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d ∵a7=4,a19=2a9, ∴

解得,a1=1,d= ∴ =

(II)∵ ∴sn= =

=

=

=

点评:本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易 20.如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=2,BB1=2 ,D 为 AC 上的动点. (Ⅰ)求五面体 A﹣BCC1B1 的体积; (Ⅱ)当 D 在何处时,AB1∥平面 BDC1,请说明理由; (Ⅲ)当 AB1∥平面 BDC1 时,求证:平面 BDC1⊥平面 ACC1A1.

考点:平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (I)由已知可得五面体是四棱锥 A﹣BCC1B1,且正三角形 ABC 的高就是这个四棱锥 A﹣BCC1B1 的高,代入棱锥体积公式,可得答案. (II)连接 B1C 交 BC1 于 O,连结 DO,由三角形中位线定理可得 OD∥AB1,进而由线面 平行的判定定理,可得 AB1∥平面 BDC1,即当点 D 为 AC 中点时,AB1∥BDC1 平面 (III)由(Ⅱ)可知当 AB1∥平面 BDC1 时,D 为 AC 的中点,结合等腰三角三线合一,及 正棱柱的几何特征,可分别得到⊥AC,CC1⊥BD,进而由线面垂直的判定定理和面面垂直 的判定定理得到平面 BDC1⊥平面 ACC1A1. 解答: 解: (I)如图可知五面体是四棱锥 A﹣BCC1B1, ∵侧面 BCC1B1 垂直于底面 ABC, ∴正三角形 ABC 的高 h= 就是这个四棱锥 A﹣BCC1B1 的高, 又 AB=2,BB1=2 , . 于是 V = S ×h= ×2 ×2× =4.…4 分

(Ⅱ)当点 D 为 AC 中点时,AB1∥BDC1 平面. 证明:连接 B1C 交 BC1 于 O,连结 DO, ∵四边形 BCC1B1 是矩形, ∴O 为 B1C 中点,点 D 为 AC 中点 ∴OD∥AB1, ∵AB1?平面 BDC1,OD?平面 BDC1, ∴AB1∥平面 BDC1, 故 D 为 AC 的中点时满足要求. …8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当 AB1∥平面 BDC1 时,D 为 AC 的中点.

∵△ABC 为正三角形,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC, 由 CC1⊥平面 ABC,BD?平面 ABC ∴CC1⊥BD 又∵AC∩CC1=C,AC,CC1?平面 ACC1A1. ∴BD⊥平面 ACC1A1. 又 BD?平面 BDC1, ∴平面 BDC1⊥平面 ACC1A1. …12 分

点评:本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定,棱锥的体积公式,直线与平面平行的判 定,熟练掌握空间线面垂直及线面平行的判定定理,性质及几何特征是解答的关键. 21. 在城 A 的西南方向上有一个观测站 B, 在城 A 的南偏东 15°的方向上有一条笔直的公路, 一辆汽车正沿着该公路上向城 A 驶来. 某一刻, 在观测站 B 处观测到汽车与 B 处相距 31km, 在 10 分钟后观测到汽车与 B 处相距 21km. 若汽车速度为 120km/h, 求该汽车还需多长时间 才能到达城 A? 考点:解三角形的实际应用;已知三角函数模型的应用问题. 专题:综合题. 分析:先确定 A,求出 CD,从而可求得 ,故

,再利用正弦定理可求 AC、AD,进而可求汽车要到 达城 A 还需要的时间. 解答: 解:如图,由题意知 A=60°,CD=120×10÷60=20(km) . 则 ,从而 .

故 在△ ABC 中,由正弦定理可得

. ,

代入已知数据可求得 AC=35,故 AD=15. 所以,汽车要到达城 A 还需要的时间为 15÷120×60=7.5 小时.

点评:本题考查解三角形的实际运用,解题的关键是正确运用余弦定理、正弦定理,从而可 求角与边. 22.已知椭圆的一个顶点为 A(0,﹣1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x﹣y+2 =0 的 距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M、N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取 值范围. 考点:椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)依题意可设椭圆方程为 ,由题设 解得 a =3,故
2

所求椭圆的方程为



(2)设 P 为弦 MN 的中点,由
2 2

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0,由于直线

2

2

2

与椭圆有两个交点,∴△>0,即 m <3k +1.由此可推导出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)依题意可设椭圆方程为 ,

则右焦点 F(

)由题设

解得 a =3 故所求椭圆的方程为

2



(2)设 P 为弦 MN 的中点,由
2 2 2

得(3k +1)x +6mkx+3(m ﹣1)=0 2 2 由于直线与椭圆有两个交点,∴△>0,即 m <3k +1① ∴ 从而



又|AM|=||AN|,∴AP⊥MN,
2



即 2m=3k +1②
2

把②代入①得 2m>m 解得 0<m<2 由②得 故所求 m 的取范围是( ) .

解得



点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.

23.已知函数 (1)若 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y﹣3=0,求 f(x)在区间[﹣2, 4]上的最大值; (2)当 a≠0 时,若 f(x)在区间(﹣1,1)上不单调,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:综合题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)先求 f(1) ,利用(1,f(1) )在 y=f(x)上,及 f'(1)=﹣1,建立方程,即可 求得函数解析式,进而可得函数的极值,利用函数的最值在极值与端点处取得,可得结论; (2)因为函数 f(x)在区间(﹣1,1)不单调,所以函数 f'(x)在(﹣1,1)上存在零点, 利用 f'(﹣1)f'(1)<0,即可求得 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵(1,f(1) )在 x+y﹣3=0 上,∴f(1)=2 ∵(1,2)在 y=f(x)上, ∴ 又 f'(1)=﹣1,∴1﹣2a+a ﹣1=﹣1 ∴a ﹣2a+1=0,解得 ∴ 由 f'(x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点.
2 2

∵ ∴f(x)在区间[﹣2,4]上的最大值为 8. (2)因为函数 f(x)在区间(﹣1,1)不单调,所以函数 f'(x)在(﹣1,1)上存在零点. 而 f'(x)=0 的两根为 a﹣1,a+1,区间长为 2, ∴在区间(﹣1,1)上不可能有 2 个零点. 所以 f'(﹣1)f'(1)<0,即 a (a+2) (a﹣2)<0. 2 ∵a >0,∴(a+2) (a﹣2)<0,﹣2<a<2. 又∵a≠0, ∴a∈(﹣2,0)∪(0,2) . 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的最值,考查函数的单调性,考查学生分析解决 问题的能力,函数 f(x)在区间(﹣1,1)不单调,转化为函数 f'(x)在(﹣1,1)上存 在零点是解题的关键.
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