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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解函数与方程(含解析)


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

第九节

函数与方程

[知识能否忆起] 1.函数的零点 (1)定义: 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与 x 轴交点间的关系: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那 么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方 程 f(x)=0 的根. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图象 与 x 轴的交点 零点个数 3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( ) (x1,0),(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个 Δ=0 Δ<0

答案:C 2.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( )

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A.0,2 1 C.0,- 2

1 B.0, 2 1 D.2,- 2

解析:选 C ∵2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为 0 和- . 2 3.(教材习题改编)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间 为( ) x ex x+2 A.(-1,0) C.(1,2) -1 0.37 1 0 1 2 B.(0,1) D.(2,3) 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5

解析:选 C 设函数 f(x)=ex-x-2,从表中可以看出 f(1)· f(2)<0,因此方程 ex-x-2= 0 的一个根所在的区间为(1,2). 4. 用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)上的近似解, 验证 f(2)· f(4)<0, 给定精确度 ε=0.01, 2+4 取区间(2,4)的中点 x1= =3,计算得 f(2)· f(x1)<0,则此时零点 x0∈________(填区间). 2 解析:由 f(2)· f(3)<0 可知 x0∈(2,3). 答案:(2,3) 5.已知函数 f(x)=x2+x+a 在区间(0,1)上有零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵函数 f(x)=x2+x+a 在(0,1)上有零点. ∴f(0)f(1)<0.即 a(a+2)<0,解得-2<a<0. 答案:(-2,0)

1.函数的零点不是点: 函数 y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根, 也就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交 点的横坐标,所以函数的零点是一个数,而不是一个点.在写函数零点时,所写的一定是一 个数字,而不是一个坐标. 2.对函数零点存在的判断中,必须强调: (1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)· f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点.

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这是零点存在的一个充分条件,但不必要. 3.对于定义域内连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

确定函数零点所在的区间

典题导入 [例 1] (2012· 唐山统考)设 f(x)=ex+x-4,则函数 f(x)的零点位于区间( A.(-1,0) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3) )

[自主解答] ∵f(x)=ex+x-4,∴f′(x)=ex+1>0.∴函数 f(x)在 R 上单调递增.f(-1)=e-
1

+(-1)-4=-5+e-1<0,f(0)=-3<0,f(1)=e+1-4=e-3<0,f(2)=e2+2-4=e2-2>0,

f(1)f(2)<0,故零点 x0∈(1,2). [答案] C

由题悟法 利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时,首先看函数 y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是否连续不断,再看是否有 f(a)· f(b)<0.若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零 点. 以题试法 1?x-2 1.(2013· 衡水模拟)设函数 y=x3 与 y=? ?2? 的图象交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间是 ( ) A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

1?x-2 解析:选 B 设函数 f(x)=x3-? f(2)<0,且 f(x)为单调函数,则 x0∈(1,2). ?2? ,f(1)·

判断函数零点个数

典题导入 1 1?x [例 2] (1)(2012· 北京高考)函数 f(x)=x -? 的零点的个数为( 2 ?2? )

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A.0 C.2

B.1 D.3

?x+1,x≤0, ? (2)(2012· 北京东城区模拟)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个 ?log2x,x>0, ?

数是( A.4 C.2

) B.3 D.1

1 [自主解答] (1)在同一平面直角坐标系内作出 y1=x 与 y2= 2

?1?x 的图象如图所示,易知,两函数图象只有一个交点,因此函 ?2?
1 1?x 数 f(x)=x -? 只有 1 个零点. 2 ?2? (2)由 f(f(x))+1=0 可得 f(f(x))=-1, 1? 又由 f(-2)=f? ?2?=-1. 1 可得 f(x)=-2 或 f(x)= . 2 1 若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ; 4 1 1 若 f(x)= ,则 x=- 或 x= 2, 2 2 综上可得函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点. [答案] (1)B (2)A 由题悟法 判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函 数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,看 其交点的个数,其中交点的个数,就是函数零点的个数. 以题试法 2.(2012· 湖北高考)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 )

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C.6

D.7 π kπ+ (k 2

π 解析:选 C 令 xcos x2=0,则 x=0,或 x2=kπ+ ,又 x∈[0,4],因此 xk= 2 =0,1,2,3,4),共有 6 个零点.

函数零点的应用

典题导入 [ 例 3] ________. [自主解答] ∵f(x)=ex-x+a, ∴f′(x)=ex-1.令 f′(x)=0,得 x=0. 当 x<0 时,f′(x)<0,函数 f(x)在(-∞,0)上是减函数; 当 x>0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 故 f(x)min=f(0)=1+a. 若函数 f(x)有零点,则 f(x)min≤0, 即 1+a≤0,得 a≤-1. [答案] (-∞,-1] (2011· 辽宁高考改编 ) 已知函数 f(x) = ex - x + a 有零点,则 a 的取值范围是

若函数变为 f(x)=ln x-2x+a,其他条件不变,求 a 的取值范围. 1 解:∵f(x)=ln x-2x+a,∴f′(x)= -2. x 1 令 f′(x)=0,得 x= . 2 1 当 0<x≤ 时 f′(x)≥0,∴f(x)为增函数; 2 1 当 x> 时,f′(x)<0,∴f(x)为减函数. 2 1? 1 ∴f(x)max=f? = ln -1+a. 2 ? ? 2 1 若 f(x)有零点,则 f(x)max≥0,即 ln -1+a≥0. 2 1 解得 a≥1-ln ,a 的取值范围为 1+ln 2,+∞ . 2

[

)

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由题悟法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后 数形结合求解. 以题试法 3.已知函数 f(x)满足 f(x+1)=f(x-1),且 f(x)是偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在 区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是______. 解析:由 f(x+1)=f(x-1)得,f(x+2)=f(x),则 f(x)是周期为 2 的函数.∵f(x)是偶函数, 当 x∈[0,1]时,f(x)=x,∴当 x∈[-1,0]时,f(x)=-x,易得当 x∈[1,2]时,f(x)=-x+2,当 x∈ [2,3]时,f(x)=x-2.

在区间[-1,3]上函数 g(x)=f(x)-kx-k 有 4 个零点,即函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象 在区间[-1,3]上有 4 个不同的交点.作出函数 y=f(x)与 y=kx+k 的图象如图所示,结合图 1? 形易知,k∈? ?0,4?. 1? 答案:? ?0,4?

?2x-1,x≤1, ? 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点为( ?1+log2x,x>1, ?

)

1 A. ,0 2 1 C. 2

B.-2,0 D.0

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解析:选 D

当 x≤1 时,由 f(x)=2x-1=0,解得 x=0;当 x>1 时,由 f(x)=1+log2x

1 =0,解得 x= ,又因为 x>1,所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0. 2 1? ?1? 2.设 f(x)=x3+bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f? f?2?<0,则方程 f(x)=0 在[-1,1] ?-2?· 内( ) A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根 B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根

1? ?1? 1 1? 解析:选 C 由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f? f?2?<0,知 f(x)在? ?-2?· ?-2,2?上有唯一 零点,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根. 3.(2012· 长沙模拟)已知函数 f(x)的图象是连续不断的,x、f(x)的对应关系如下表: x f(x) 1 136.13 2 15.552 ) 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488 6 -232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有( A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

解析:选 C 因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以在区间[2,3],[3,4],[4,5]内有零 点. 4.(2013· 北京西城二模)执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y=2x; ②y=-2x; ③f(x)=x+x 1;④f(x)=x-x 1.
- -

则输出函数的序号为(

)

A.① C.③

B.② D.④

解析:选 D 由图可知输出结果为存在零点的函数,因 2x>0,所以 y=2x 没有零点,同

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样 y=-2x 也没有零点;f(x)=x+x 1,当 x>0 时,f(x)≥2,当 x<0 时,f(x)≤-2,故 f(x)没


有零点;令 f(x)=x-x 1=0 得 x=± 1,故选 D.


2 5.(2012· 北京朝阳统考)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取 x 值范围是( A.(1,3) C.(0,3) ) B.(1,2) D.(0,2)

解析:选 C 由条件可知 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0,解之得 0<a<3. 6.(2013· 哈师大模拟)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1]时,f(x) lg x,x>0, ? ?0,x=0, =1-x ,函数 g(x)=? ,x<0, ?-1 ? x
2

则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数是

(

) A.5 C.8 B.7 D.10

解析: 选 C 依题意得, 函数 f(x)是以 2 为周期的函数, 在同一坐标系下画出函数 y=f(x) 与函数 y=g(x)的图象,结合图象得,当 x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有 8 个,即函 数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点个数是 8.

7.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其 中一个零点 x0∈______,第二次应计算________. 解析:因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数,且 f(0)<0,f(0.5)>0,则 f(x)在 x∈(0,0.5) 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25) 8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 解析:函数 f(x)的零点个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 的图象交点的个数,易知当 a>1 时,两图象有两个交点;当 0<a<1 时,两图象有一个交点. 答案:(1,+∞) 9.(2013· 南通质检)已知函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数 k 的取

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值范围是________. 解析:因为 Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x)的零点 x=-1?(2,3),故要使函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则必有 f(2)· f(3)<0,即 2<k<3. 答案:(2,3) x 1 10.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1? 证明:存在 x0∈? ?0,2?,使 f(x0)=x0. 证明:令 g(x)=f(x)-x. 1? ?1? 1 1 1 ∵g(0)= ,g? ?2?=f?2?-2=-8, 4 1? ∴g(0)· g? ?2?<0. 1 0, ?上连续, 又函数 g(x)在? ? 2? 1? ∴存在 x0∈? ?0,2?,使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. 11.关于 x 的二次方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有 f(2)<0, 3 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,∴m<- . 2 ②若 f(x)=0 在区间[0,2]上有两解,则 , ?Δ≥0m 1 <2, ?0<- - 2 ?f?2?≥0, m≥3或m≤-1, ? ?-3<m<1, ∴? 3 ? ?m≥-2. ?m-1? -4≥0, ? ? ∴?-3<m<1, ? ?4+?m-1?×2+1≥0.
2

3 ∴- ≤m≤-1. 2

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由①②可知 m 的取值范围(-∞,-1]. 12.若函数 f(x)=ax2-x-1 有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,函数 f(x)=-x-1 为一次函数,则-1 是函数的零点,即函数仅有 一个零点. (2)当 a≠0 时,函数 f(x)=ax2-x-1 为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程 1 1 ax2-x-1=0 有两个相等实根.则 Δ=1+4a=0,解得 a=- .综上,当 a=0 或 a=- 时, 4 4 函数仅有一个零点.

1.(2012· “江南十校”联考)已知关于 x 的方程|x2-6x|=a(a>0)的解集为 P,则 P 中所 有元素的和可能是( A.3,6,9 C.9,12,15 ) B.6,9,12 D.6,12,15

解析:选 B 如图,函数 y=|x2-6x|的图象关于直线 x=3 对称,将直 线 y=a 从下往上移动可知:P 中所有元素的和可能是 6,9,12.
? ?x-2,x>0, 2.已知函数 f(x)=? 2 满足 f(0)=1,且 f(0)+2f(- ?-x +bx+c,x≤0 ?

1)=0,那么函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为________. 1 1 解析: ∵f(0)=1, ∴c=1.又∵f(0)+2f(-1)=0, ∴f(-1)=-1-b+1=- , 得 b= .∴当 x>0 2 2 3 时,g(x)=2x-2=0 有唯一解 x=1;当 x≤0 时,g(x)=-x2+ x+1,令 g(x)=0,得 x=2(舍 2 1 去)或 x=- ,即 g(x)=0 有唯一解.综上可知,g(x)=f(x)+x 有 2 个零点. 2 答案:2 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证 2 明必有一个实根属于(x1,x2). 证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0,又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根,∴函数 f(x)有两个零

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点. f?x1?-f?x2? 1 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 2 f?x2?-f?x1? 1 g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 f?x1?-f?x2? f?x2?-f?x1? ∴g(x1)· g(x2)= · = 2 2 1 - [f(x1)-f(x2)]2. 4 ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)· g(x2)<0. ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 1 即 f(x)= [f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根. 2

1.对于定义域为 D 的函数 f(x),若存在区间 M=[a,b]?D(a<b),使得{y|y=f(x),x∈ M}=M,则称区间 M 为函数 f(x)的“等值区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=2x;②f(x)=x3;③f(x)=sin x;④f(x)=log2x+1. 则存在“等值区间”的函数是________.(把正确的序号都填上) 解析:问题等价于方程 f(x)=x 在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根,由 于 2x>x,故函数 f(x)=2x 不存在等值区间;由于 x3=x 有三个不相等的实根 x1=-1,x2=0, x3=1,故函数 f(x)=x3 存在三个等值区间[-1,0],[0,1],[-1,1];由于 sin x=x 只有唯一的 实根 x=0,结合函数图象,可知函数 f(x)=sin x 不存在等值区间;由于 log2x+1=x 有实根 x1=1,x2=2,故函数 f(x)=log2x+1 存在等值区间[1,2]. 答案:②④ 2.m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比-1 大. 解:(1)若函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点, 则等价于 Δ=4m2-4(3m+4)=0, 即 m2-3m-4=0,

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解得 m=4 或 m=-1. (2)设两零点分别为 x1,x2,且 x1>-1,x2>-1,x1≠x2. 则 x1+x2=-2m,x1· x2=3m+4, Δ=4m -4?3m+4?>0, ? ? 故只需??x +1?+?x +1?>0, ? ??x +1??x +1?>0
2 1 1 2 2

m -3m-4>0, ? ? ??-2m+2>0, ? ?3m+4+?-2m?+1>0
2

m<-1或m>4, ? ? ??m<1, ? ?m>-5.

故 m 的取值范围是{m|-5<m<-1}.


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