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安徽省合肥市2015届高考数学三模试卷(文科)


安徽省合肥市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知复数 z 满足方程 z +3=0,则 z? ( 表示复数 z 的共扼复数)的值是() A.﹣3i B.3i C . ﹣3 D.3 2. (5 分)设集合 M={x∈R|y= },N

={y∈R|y=x ﹣1,x∈R},则集合 M 和 N 的关系是() A.M=N B.M∪N=R C.N?M D.M?N
2 2

3. (5 分)双曲线 为() A.

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2,则该双曲线的离心率

B.

C.

D.

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的结果是()

A.4

B. 8

C.16

D.216

5. (5 分)已知 a=sin2,b=log A.a>b>c

2,c=log

,则() C.a>c>b D.c>b>a

B.c>a>b

6. (5 分)等比数列{an}中,a2= ,a6=4,记{an}的前 n 项积为 Tn,则 T7=() A.1 B.1 或一 1 C. 2 D.2 或一 2

7. (5 分)

=()

A.

B.

C.

D.1

8. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥各面中,最小的面积为()

A.

B.

C. 1

D.

9. (5 分)在△ ABC 中,∠ABC=30°,AB= ,BC 边上的中线 AD=1,则 AC 的长度为() A.1 或 B. C. D.1 或

10. (5 分)已知函数 f(x)= 解的个数为() A.1

,则关于 x 的方程 f(x)=f(x﹣2)

B. 2

C. 3

D.4

二、填空题(本大题共 5}J 题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置) 11. (5 分)命题“若|x|=1,则 x=1”的否命题为.

12. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(a,4) ,向量 =(2,1) ,若

∥ ,则实数 a 的值为.

13. (5 分)已知实数 x,y 满足条件

,则 z=x﹣2y 的最大值与最小值之差为.

14. (5 分)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 f(1)≥2.若 2 存在整数 m,使得 f(﹣2)﹣m ﹣m+4=0,则 m 取值的集合为. 15. (5 分)已知 B,C 两点在圆 O:x +y =1 上,A(a,0)为 x 轴上一点,且 a>l.给出以 下命题: ① ? 的最小值为一 1;
2 2

②△ OBC 面积的最大值为 1;

③若 a= ④若 a= ⑤若 a=

,且直线 AB,AC 都与圆 O 相切,则△ ABC 为正三角形; ,且 ,且 =λ = (λ>0) ,则当△ OBC 面积最大时,|AB|= ,圆 O 上的点 D 满足 ; .

,则直线 BC 的斜率是

其中正确的是(写出所有正确命题的编号) .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinωx+cos(ωx+ (I)求 ω; (Ⅱ)当 x∈时,求函数:y=f(x)﹣ 的零点. ) (ω>0)的最小正周期 T=4π

17. (12 分)某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供,已知该管材的内径 设计标准为 500mm,内径尺寸满足 20. (13 分)已知函数 f(x)= (e 是自然对数的底数,其中常数 a,n 满足 a>b,且

a+b=1,函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线斜率是 2﹣ . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间.

21. (13 分)已知动直线 l:y=kx+k 恒过椭圆 E:

=1(a>b>0)的一个顶点 A,顶点

B 与 A 关于坐标原点 O 对称, 该椭圆的一个焦点 F 满足∠FAB=30°. (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ) 如果点 C 满足 3 +2 = , 当 k= 时, 记直线 l 与椭圆 E 的另一个公共点为 P, 求∠BPC

平分线所在直线的方程.

安徽省合肥市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)已知复数 z 满足方程 z +3=0,则 z? ( 表示复数 z 的共扼复数)的值是() A.﹣3i B.3i C . ﹣3 D.3
2

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接计算即可. 2 解答: 解:∵z +3=0,∴z=± i, 2 ∴z? =﹣3i =3, 故选:D. 点评: 本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于基础题. 2. (5 分)设集合 M={x∈R|y= },N={y∈R|y=x ﹣1,x∈R},则集合 M 和 N 的关系是() A.M=N B.M∪N=R C.N?M D.M?N 考点: 函数的值域;集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数的大电影与值域,即可判断两个集合的关系. 解答: 解:集合 M={x∈R|y= }={x|x≥﹣1}= 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线的渐近线,转化求解离心率即可. 解答: 解:双曲线
2 2 2

=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 2,
2

可得

,即 b=2a,c ﹣a =4a ,可得 e=



故选:C. 点评: 本题考查双曲线的简单性质的应用,离心率的求法,考查计算能力. 4. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的结果是()

A.4 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 8 程序框图. 算法和程序框图. 根据程序框图进行模拟运算即可. 解:第一次 1≤6,b=2,a=1+2=3,

C.16

D.216

第二次 3≤6,b=4,a=3+2=5, 第三次 5≤6,b=2 =16,a=5+2=7, 第四次 7≤6 不成立,输出 b=16, 故选:C 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查
4

5. (5 分)已知 a=sin2,b=log A.a>b>c

2,c=log

,则() C.a>c>b D.c>b>a

B.c>a>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数、三角函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<a=sin2<1,b=log 2<0,c=log =log23>1,

∴c>a>b. 故选:B. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数、三角函数的单调性,属于基础题.

6. (5 分)等比数列{an}中,a2= ,a6=4,记{an}的前 n 项积为 Tn,则 T7=() A.1 B.1 或一 1 C. 2 D.2 或一 2

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比中项的性质计算即得结论. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,则 q= ∴a4= =1, =1, =2 或﹣2,

∴a1a7=a2a6=a3a5=

∴T7=1, 故选:A. 点评: 本题考查等比数列的前几项的积,利用等比中项的性质是解决本题的关键,注意解 题方法的积累,属于中档题.

7. (5 分)

=()

A.

B.

C.

D.1

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由倍角公式和和差化积公式化简后即可求值.

解答: 解:

=

=

=1.

故选:D. 点评: 本题主要考查了倍角公式和 和差化积公式的应用,熟记相关公式是解题的关键,属 于基础题. 8. (5 分)某三棱锥的三视图如图所 示,则该三棱锥各面中,最小的面积为()

A.

B.

C. 1

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是直三棱锥,根据图中的数据,求出该三棱锥 的 4 个面的面积,得出面积最大的三角形的面积. 解答: 解: 根据几何体的三视图, 得该几何体是如图所示的直三棱锥, 且侧棱 PA⊥底面 ABC, PA=1,AC=2,点 B 到 AC 的距离为 1, ∴底面△ ABC 的面积为 S1= ×2×1=1, 侧面△ PAB 的面积为 S2= × ×1= ,

侧面△ PAC 的面积为 S3= ×2×1=1, 在侧面△ PBC 中,BC= ∴△PBC 是 Rt△ , ∴△PBC 的面积为 S4= × ,PB= ,PC= ,

×

=



∴三棱锥 P﹣A BC 的所有面中,面积最小的是△ PAB,为 故选:B.



点评: 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题,也考查了空间中的位置关系与距离的 计算问题,是基础题目. 9. (5 分)在△ ABC 中,∠ABC=30°,AB= ,BC 边上的中线 AD=1,则 AC 的长度为() A.1 或 B. C. D.1 或 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 在三角形 ABD 中,利用余弦定理列出关系式,把 AB 与 AD,cos∠ABC 的值代入求 出 BD 的长,进而确定出 BC 的长,在三角形 ABC 中,利用余弦定理求出 AC 的长即可. 解答: 解:在△ ABD 中,∠ABC=30°,AB= ,AD=1, 2 2 2 2 由余弦定理得:AD =AB +BD ﹣2AB?BD ?cos∠ABC,即 1=3+BD ﹣3BD, 解得:BD=1 或 BD=2, 若 BD=1,则 BC=2CD=2, 在△ ABC 中,由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=3+4﹣6=1, 解得:AC=1; 若 BD=2,则 BC=2CD=4, 在△ ABC 中,由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=3+16﹣12=7, 解得:AC= , 综上,AC 的长为 1 或 . 故选:A.
2 2 2 2 2 2

点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 解的个数为()

,则关于 x 的方程 f(x)=f(x﹣2)

A.1

B. 2

C. 3

D.4

考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得本题即求函数 y=f(x)的图象和 y=f(x﹣2)的图象的交点个数,数形结 合可得结论. 解答: 解: 由函数 f (x) = , 可得 f (x﹣2) = ,

关于 x 的方程 f(x)=f(x﹣2)解的个数,即函数 y=f(x)的图象和 y=f(x﹣2)的图象的交 点个数, 如图所示:

数形结合可得函数 y=f(x)的图象和 y=f(x﹣2)的图象的交点个数为 3, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数的图象特征,方程根的存在性以及个数判断,体现了数形结合、 转化的数学思想,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5}J 题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置) 11. (5 分)命题“若|x|=1,则 x=1”的否命题为若|x|≠1,则 x≠1. 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用四种命题的逆否关系,写出结果即可. 解答: 解:有否命题的定义可知:命题“若|x|=1,则 x=1”的否命题为:“若|x|≠1,则 x≠1”. 故答案为:若|x|≠1,则 x≠1. 点评: 本题考查四种命题的逆否关系,基本知识的考查.

12. (5 分)已知点 A(1,2) ,B(a,4) ,向量 =(2,1) ,若

∥ ,则实数 a 的值为 5.

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平面向量平行的坐标表示,列出方程,求出 a 的值.

解答: 解:∵点 A(1,2) ,B(a,4) ,向量 =(2,1) , ∴ 又 =(a﹣1,2) ; ∥ ,

∴(a﹣1)﹣2×2=0, 解得 a=5, ∴实数 a 的值为 5. 故答案为:5. 点评: 本题考查了平面向量的坐标表示与平面向量的平行问题,是基础题目.

13. (5 分)已知实数 x,y 满足条件

,则 z=x﹣2y 的最大值与最小值之差为 3.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ ,z 相当于直线的纵截距,由几何 意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域,

将 z=x﹣2y 化为 y= x﹣ z, 显然直线过(1,0)时,z 最大,z 最大值=1, 直线过(0,1)时,z 最小,z 最小值=﹣2, 故答案为:3. 点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 14. (5 分)已知函数 f(x)对任意实数 x,y 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且 f(1)≥2.若 2 存在整数 m,使得 f(﹣2)﹣m ﹣m+4=0,则 m 取值的集合为{﹣1,0}. 考点: 抽象函数及其应用.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据抽象函数,判断函数的奇偶性,结合一元二次不等式的性质进行求解即可. 解答: 解:令 x=y=0 得 f(0)=f(0)+f(0) , 解得 f(0)=0, 令 y=﹣x,则 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x)=f(0)=0, 即 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴函数 f(x)是奇函数, 若存在整数 m,使得 f(﹣2)﹣m ﹣m+4=0, 2 则﹣f(2)﹣m ﹣m+4=0, 即 f(2)=﹣m ﹣m+4=﹣(m+ ) + , 令 x=y=1,则 f(1+1)=f(1)+f(1) , 即 f(2)=2f(1)≥4, 2 即﹣m ﹣m+4≥4, 2 即﹣m ﹣m≥0. 2 则 m +m≤0, 解得﹣1≤m≤0, ∵m 是整数,∴m=﹣1 或 0, 故 m 取值的集合为{﹣1,0}, 故答案为:{﹣1,0}. 点评: 本题主要考查抽象函数的应用,根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键.综 合考查函数的性质. 15. (5 分)已知 B,C 两点在圆 O:x +y =1 上,A(a,0)为 x 轴上一点,且 a>l.给出以 下命题: ① ? 的最小值为一 1;
2 2 2 2 2

②△ OBC 面积的最大值为 1; ③若 a= ,且直线 AB,AC 都与圆 O 相切,则△ ABC 为正三角形; ④若 a= ⑤若 a= ,且 ,且 =λ = (λ>0) ,则当△ OBC 面积最大时,|AB|= ,圆 O 上的点 D 满足 ; .

,则直线 BC 的斜率是

其中正确的是⑤(写出所有正确命题的编号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: ①设 C(cosθ,sinθ) (θ∈(cosθ,sinθ) ,θ∈时,求函数:y=f(x)﹣ 的零点.

考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: (I)由条件利用三角恒等变换函数 f(x)的解析式,为 f(x)=sin(ωx+ 数 f(x)的最小正周期 T= (Ⅱ)当条件求得 sin( x+ x 的值. 解答: 解: (I)函数 f(x)=sinωx+cos(ωx+ = sinωx++ cosωx=sin(ωx+ ) , =4π, )=sinωx+ cosωx﹣ sinωx =4π,求得 ω= 的值. )= ,可得 x+ =2kπ+ 或 x+ =2kπ+

) ,由函

,由此求得

且函数 f(x)的最小正周期 T= ∴ω= ,f(x)=sin( x+ ) .

(Ⅱ)当 x∈时,由 f(x)﹣ , 可得 sin( x+ ∴ x+ =2kπ+ )= , 或 x+ =2kπ+ ,

求得 x=4kπ﹣ ∵x∈, ∴x=﹣

,或 x=4kπ+π,k∈z,

,或 x=π.

点评: 本题主要考查三角恒等变换,根据三角函数的值求角,属于中档题. 17. (12 分)某集团公司生产所需原材料中的一种管材由两家配套厂提供,已知该管材的内径 设计标准为 500mm,内径尺寸满足 ∴AD∥MF,AD=MF, ∴四边形 ADFM 是平行四边形, ∴AM∥DF, ∵AM?面 ABE,DF?面 ABE, ∴DF∥面 ABE; (Ⅱ)解:由△ BCE 为等边三角形,面 BCE⊥面 ABCD,BC=2, 可得点 E 到平面 ABCD 的距离为 , ∴点 F 到平面 ABCD 的距离为 ,

∵ABCD 为等腰梯形,且 AB=AD=DC=1,BC=2, ∴S△ BCD= ,

∴VB﹣CDF=VF﹣BCD= .

点评: 本题考查线面平行的判定,考查求三棱锥 B 一 CDF 的体积,证明四边形 ADFM 是 平行四边形是关键. 19. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn=n(an+4) (n∈N ) (I)设 a2=5,求 a4; (Ⅱ)设 a2=t,若当且仅当 n=5 时 Sn 取得最大值,求实数 t 的取值范围. 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. * 分析: (I)通过对 2Sn=n(an+4) (n∈N )中令 n=1,3,4,结合 a2=5 计算即得结论; * * (Ⅱ)通过 2Sn=n(an+4) (n∈N )可得当 n≥2 时,有 2Sn﹣1=(n﹣1) (an﹣1+4) (n∈N ) ,两 者相减可得(n﹣2)an=(n﹣1)an﹣1﹣4,进而有(n﹣1)an+1 =nan﹣4,两者相减可得数列{an} 为等差数列,计算即得结论. * 解答: 解: (I)∵2Sn=n(an+4) (n∈N ) ,a2=5, ∴当 n=1 时,可得 a1=4; 当 n=3 时,2(a1+a2+a3)=2(4+5+a3)=3(a3+4) ,即 a3=6; 当 n=4 时,可得 2(a1+a2+a3+a4)=2(4+5+6+a4)=3(4+a4) ,即 a4=7; * (Ⅱ)∵2Sn=n(an+4) (n∈N ) , * ∴当 n≥2 时,有 2Sn﹣1=(n﹣1) (an﹣1+4) (n∈N ) , 两式相减可得:2an=nan﹣(n﹣1)an﹣1+4, 即(n﹣2)an=(n﹣1)an﹣1﹣4, 又∵(n﹣1)an+1=nan﹣4, 两式相减可得: (n﹣1)an+1+(n﹣1)an﹣1=(2n﹣2)an(n≥2) , ∴an+1+an﹣1=2an(n≥2) , 即 an+1﹣an=an﹣an﹣1(n≥2) ,即数列{an}为等差数列, 在 2Sn=n(an+4)中令 n=1 可得 a1=4, 又 a2=t,∴数列{an}的公差为 t﹣4, ∴an=(t﹣4)n+8﹣t, 当且仅当 n=5 时,Sn 取得最大值,等价于 a5>0 且 a6<0, 即 t>3,且 t< ,故 t∈(3, ) .
*

点评: 本题考查是一道关于数列的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属 于中档题.

20. (13 分)已知函数 f(x)=

(e 是自然对数的底数,其中常数 a,n 满足 a>b,且

a+b=1,函数 y=f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线斜率是 2﹣ . (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导数,由条件可得 a,b 的方程,解方程可 得 a=e,b=1﹣e; (Ⅱ)求出 f(x)的导数,由 x=e,求得导数,再由 x>e,结合对数的性质可得减区间,由 0 <x<e 可得增区间. 解答: 解: (Ⅰ)f(x)= 的导数为 f′(x)= (x>0) ,

由 f′(1)=2﹣ ,得 即 =

=2﹣ ,由 a+b=1,可得 ,则 a=e,b=1﹣e;

=2﹣ ,

,由 a>b,a

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f′(x)=

(x>0) ,

即 f′(x)=

(x>0) ,

由 x=e 时,f′(e)=0,且 x>e,e﹣x>0,ex(1﹣lnx)<0, 故 f′(x)<0,同理 0<x<e,f′(x)>0, 于是函数的单调增区间为(0,e) ,减区间为(e,+∞) . 点评: 本题考查导数的 运用:求切线方程和单调区间,主要考查导数的几何意义,正确求 导和运用函数的性质是解题的关键,属于中档题.

21. (13 分)已知动直线 l:y=kx+k 恒过椭圆 E:

=1(a>b>0)的一个顶点 A,顶点

B 与 A 关于坐标原点 O 对称,该椭圆的一个焦点 F 满足∠FAB=30°. (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ) 如果点 C 满足 3 +2 = , 当 k= 时, 记直线 l 与椭圆 E 的另一个公共点为 P, 求∠BPC

平分线所在直线的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)先求出 b,再利用求∠FAB=30°,求出 c,可得 a,即可求出椭圆 E 的标准方 程;

(Ⅱ)当 k= 时,将直线 l:y= x+ 与椭圆 E 的方程联立并整理得 2x +x﹣1=0,求出 P,B, C 的坐标,可得直线 PB,PC 的方程,利用 Q 到 PB,PC 的距离相等,求出 Q 的坐标,即可 求出求∠BPC 平分线所在直线的方程. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,A(﹣1,0) ,所以 b=1, 因为 tan∠FAB= = 所以 c=
2

2





所以 a = , 所以椭圆 E 的标准方程为 ;

(Ⅱ)当 k= 时,将直线 l:y= x+ 与椭圆 E 的方程联立并整理得 2x +x﹣1=0, 所以 P 的横坐标为 ,即 P( ,1) . 因为 B(1,0) ,3 +2 =0,

2

所以 C(﹣1.5,0) , 所以直线 PB 的方程为 2x+y﹣2=0,直线 PC 的方程为 x﹣2y+1.5=0. 令Q (t, 0) 为∠BPC 平分线与 x 轴的交点, 则 Q 到 PB, PC 的距离相等, 即 所以 t= 或 t= . 考虑到 Q 在 B,C 之间,则 t= ,即 Q( ,0) , 所以∠BPC 平分线所在直线的方程为 6x﹣2y﹣1=0. 点评: 本题考查椭圆的方程与性质,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线方程,考查学 生的计算能力,属于中档题. ,


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安徽省黄山市2015届高考三模文科数学试卷及答案(扫描版)

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