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四川省遂宁市2016届高三上学期零诊数学(文)试题


遂 宁 市 高 中 2016 届 零 诊 考 试

数学(文科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题

目要求的。 1.若全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 2? , B ? ? x | x ? 1? ,则 A ? CU B = A. x 1 ? x ? 2

?

?

B. ? x | x ? 1?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. x x ? 0

?

?

2.设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. 1 ? i

2 = z
C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

2 3.命题“? x ? R , | x | ? x ? 0 ”的否 定是 .

A.? x ? R , | x | ? x 2 ? 0 C.? x0 ? R ,| x0 | ? x02 ? 0 4. 对一批产品的长度 ( 单位 : mm ) 进 检测结果的频率分布直方图 . 根据 间 [20,25) 上 的 为 一 等 品 , 在 区 间 上 的 为 二 等 品 , 在 区 间 [10,15) 和 用频率估计概率 , 现从该批产品中 为二等品的概率为 A.0.09 C.0.25 B.0.20 D.0.45

B.? x ? R , | x | ? x 2 ? 0 D.? x0 ? R ,| x0 | ? x02 ? 0 行抽样检测, 下图为 标准, 产品长度在区 [15,20) 和区间 [25,30) [30,35)上的为三等品. 随机抽取一件, 则其

? x ? y ? 5 ? 0, ? 5.已知 x, y满足 ? x ? 3, ? x ? y ? 0, ?
则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为 A.5 B. ? 5 C.6 D. ? 6

6.若程序框图如图示,则该程序运行后输出

k 的值是
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.已知 a, b, c 分别为方程 x ? log3 x ? 3, x ? log4 x ? 3, x ? log3 x ? 1 的解,则 a, b, c 的大 小关系为 A. c ? a ? b B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. c ? b ? a

8.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=2, AD=1,∠A=60° ,点 M 在 AB 边上, 且 AM=

???? ? ??? ? 1 AB,则 DM ?DB 等于 3
B.1 C.-

A.-1

3 3

D.

3 3

9.将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )( ? ? 函数,则函数 f ( x ) 在 ?0, A. ?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位长度后,所得函数 g ( x) 为奇 6

? ?? 上的最小值 ? 2? ?

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

10.已知数列 {an } ,若点 (n, an )(n ? N * ) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列 {an } 的前 9 项和 S9 = A.9 B.10 C.18 D.27

11.一天,小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯,桶和玻璃杯的形状都是圆柱 形,桶口的半径是杯口半径的 2 倍,其主视图如左图所示.小亮决定做个试验:把塑料桶 和玻璃杯看作一个容器,对准杯口匀速注水, 注水过程中杯子始终竖直放置,则下列能反 映容器最高水位 h 与注水时间 t 之间关系的大致图象是

A.

B.

C.

D.

12. f ? x ? 是定义在 (0, ??) 上的非负可导函数,且满足

xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,对任意正数 a , b ,若 a ? b ,则必有

A. af ?b? ? bf ? a ? C. af ? a ? ? f ? b ?

B. bf ? a ? ? af ?b? D. bf ? b ? ? f ? a ?

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分)
注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a ? (8, ) , b =( x, 1) ,其中 x ? 0 ,若 a // b ,则 x 的 值为 ▲ . 14.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列, 若 a1 ? 1 ,则 S4 = ▲ . 15.在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足 ?AMB 为锐角的概率为 ▲

?

x 2

?

?

?

2 sin( x ? ) ? 2 x 2 ? x 4 16.已知 a , b 分别是函数 f ( x) ? 的最大值、最小值,则 a ? b ? 2 x 2 ? cos x
▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)
2 已知命题:“ ?x ? x 1 ? x ? 2 ,使等式 x ? x ? m ? 0 成立”是真命题.

?

?

?

(1)求实数 m 的取值集合 M ; (2)设不等式 ( x ? a)( x ? a ? 4) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ? M 的必要不充分条 件,求 a 的取值范围. ▲

18. (本小题满分 12 分) 如图,以 ox 为始边作角 ? 与 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ? ,它们的终边分别与单位圆交于点 P、Q,

已知点 P 的坐标为 (? , ) 。

3 4 5 5 sin 2? ? cos 2? ? 1 的值; (1) 求 1 ? tan ?
(2) 若OP ? OQ ? 0,求sin ?? ? ? ?的值。

??? ? ????

▲ 19.(本小题满分 12 分) 已知正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n (n ? N ) ,且 a1a2 ? a3 , S2 ? 20 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ,
?

Tn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,求使 Tn ? ? 对任意 n ? N ? 恒成立的实数 ? 的取值范围。 c1 c2 cn


20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? m ? n, 其中向量 m ? (2cos x,1),

?? ?

??

? n ? (cos x, 3sin 2x), x ? R.
(1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,已知 f ( A) ? 2, b ? 1 ,△ ABC 的

面积为

3 b?c 的值。 ,求 2 sin B ? sin C


21.(本小题满分 12 分) 在淘宝网上,某店铺专卖当地某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每 日的销售量 y (单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克,1 ? x ? 5 )满足:当 1 ? x ? 3 时,

y ? a( x ? 3) 2 ?

b , ;当 3 ? x ? 5 时, y ? -70x ? 490.已知当销售价格为 (a, b为常数) x ?1

2 元/千克时,每日可售出该特产 700 千克;当销售价格为 3 元/千克时,每日可售出 150 千克. (1)求 a , b 的值,并确定 y 关于 x 的函数解析式; (2)若该特产的销售成本为 1 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使店铺每日销售该特产 所获利润 f ( x) 最大( x 精确到 0.01 元/千克). ▲ 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax

(0, f (0)) (1)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求函数 y ? f ( x) 在点 处的切线方程
(2)当 x ? 0, f ( x) ? f (? x) ? 0 恒成立,求 a 的最大值 (3)当 a ? 1, 解关于 x 的不等式: ?

? f ( x) ? f (1) ? f (? x) ? f (1)



遂 宁 市 高 中 2016 届 零 诊 考 试

数学(文科)试题参考答案及评分意见
一、选择题(5×12=60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 D 6 A 7 C 8 B 9 A 10 D 11 C 12 A

二、填空题(4 ? 5=20 分) 13.4 14.15 15. 1 ?

? 8

16.2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 17.(10 分) 解: (1) 由题意知,方程 x ? x ? m ? 0 在 (1,2) 上有解,即 m 的取值范围就为函数
2

y ? x2 ? x 在(1,2)上的值域,易得 M ? ?m 0 ? m ? 2? .

?????4 分

(2) x ? N 是 x ? M 的必要不充分条件,所以 M ? N ,且 M ? N ?????6 分 集合 M ? x a ? x ? 4 ? a? , 则?

?

?????8 分 ?????10 分

?a ? 0 ,解得 ?a ? 2 ? a ? 0? 。 ?4 ? a ? 2

18.(12 分) (1)三角函数的定义,得 cos ? ? ? , sin ? ?

3 5

4 , 5

?????2 分

则原式=

2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? 18 ? 2 cos2 ? ? 。 sin ? 25 1? cos?
?

?????6 分

(2)

? OP? OQ ? 0,即OP ? OQ,
?? ? ? ?

?

?????7 分

?
2

,即? ? ? ?

?
2

,

? sin ? ? sin(? ?

?
2

) ? ? cos ? ?

3 ? 4 , cos ? ? cos( ? ? ) ? sin ? ? , 5 2 5
?????10 分

? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?
19.(12 分)

7 25

?????12 分

解: (I)由 a1a2 ? a3 , S2 ? 20 可得 a1 ? 4 ,公比 q=4, ∴ an ? 4n ? 22 n .

?????4 分 ?????5 分

(Ⅱ) cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ? 2 ? 4 ? ? ? 2(n ? 1) ? 2n ? n( n ? 1) ?????7 分 ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 n ? ??? ? ? ??? ? c1 c2 cn 1 ? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ? 1

???10 分

由 Tn ? ? 对任意 n ? N ? 恒成立, ? ? 1 ? 20.(12 分)

1 1 ,得 ? ? 2 n ?1

????12 分

解: (1) f ( x) ? m ? n ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?

) ? 1. 6 ?????3 分

?

?函数 f ( x)的最小正周期 T ?

2? ? ?. 2

?????4 分



?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

3? ? 2? ? 2k? , k ? Z, 解得 ? k? ? x ? ? k? . 2 6 3

?函数 f ( x)的单调递减区间是 [

?
6

? k? ,

2? ? k? ], k ? Z. 3

????5 分

(2)由 f ( A) ? 2, 得2 sin( 2 A ?

?
6

) ?1 ? 2,

即 sin(2 A ?

?
6

)?

1 , 在?ABC中, 2 ? 2A ?

? 0 ? A ? ? ,?

?
6

?
6

?

?
6

? 2? .

? 2A ?

?
6

?

5? ? , 解得 A ? . 6 3

????7 分

1 1 3 3 又? S?ABC ? bc sin A ? ?1? c ? ? , 解得c ? 2, 2 2 2 2

????8 分

?在?ABC中由余弦定理得 , : a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 3,

? a ? 3.


?????10 分

b c a ? ? ? sin B sin C sin A

3 3 2

, 得b ? 2 sin B, c ? 2 sin C ,

?

b?c ? 2. sin B ? sin C

?????12 分

21. (12 分)

?b ? ? 150 解: (1)因为 x=2 时,y=700;x=3 时,y=150,所以 ? 2 解得 a ? 400, b ? 300 ? ? a ? b ? 700
300 ? 2 (1 ? x ? 3) ?400( x ? 3) ? 每日的销售量 y ? ? x ?1 ? ??70 x ? 490(3 ? x ? 5)
(2)由(1)知,当 1 ? x ? 3 时: 每日销售利润 f ( x) ? [400( x ? 3) 2 ? ; ?????4 分

300 ]( x ? 1) ? 400( x ? 3)2 ( x ?1) ? 300 x ?1

? 400( x3 ? 7 x2 ? 15x ? 9) ? 300 ( 1 ? x ? 3 ) ???5 分
5 5 f '( x) ? 400(3x2 ?14 x ? 15) 当 x ? , 或 x ? 3 时 f '( x) ? 0 当 x ? (1, ) 时 f '( x) ? 0 , 3 3 5 5 f ( x) 单增;当 x ? ( ,3) 时 f '( x) ? 0 , f ( x) 单减. ? x ? 是函数 f ( x) 在 (1,3] 上 3 3
的唯一极大值点, ?????7 分 ?????8 分

5 32 f ( ) ? 400 ? ? 300 ? 700 ; 3 27

2 当 3 ? x ? 5 时:每日销售利润 f ( x) ? (?70 x ? 490)( x ? 1) = ?70( x ? 8x ? 7) ?9 分

5 f ( x) 在 x ? 4 有最大值,且 f (4) ? 630 ? f ( ) . 3
综上,销售价格 x ? 22. (12 分)

?????11 分

5 ? 1.67 元/千克时,每日利润最大. 3

?????12 分

x 解: (1)由题意知 f ?( x) ? e ? a ? f ?(1) ? e ? a ? 0 ? a ? e ,所以曲线 y ? f ( x) 在

(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (1 ? e) x ? 1

?????3 分

(2)令 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? e x ? e? x ? 2 ax ,则 g?( x) ? ex ? e? x ? 2a , (ⅰ)若 a ≤ 1 ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? ex ? e? x ? 2a ? 2 ? 2a ≥ 0 , 故 g ( x) 在 (0,∞ ? ) 上为增函数, 所以, x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (? x) ≥ 0 .
2 (ⅱ)若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln( a ? a ? 1) ,

此时,若 x ? (0,x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以, x ? (0,x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (? x) < 0 ,与题设

f ( x) ? f (? x) ≥ 0 相矛盾.
综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?∞, 1? ,所以 a 的最大值为 1 ?????7 分 (3) ?
x ? ?e ? x ? e ? 1, ?x ? ?e ? x ? e ? 1,



设函数 g (t ) ? et ? t ? e ? 1,则 g ?(t ) ? et ? 1 当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ;当 t ? 0 时, g ?(t ) ? 0 ,故 g (t ) 在 ( ??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单 调递增。 又 g (1) ? 0, g (?1) ? e ? 2 ? e ? 0 ,故当 t ? [?1,1] 时, g (t ) ? 0 当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 0, g (? x) ? 0 ,即①式成立; 当 x ? 1 时,由 g (t ) 的单调性, g ( x) ? 0 ,即 e x ? x ? e ? 1; 当 x ? ?1 时, g (? x) ? 0 ,即 e? x ? x ? e ? 1 综上, x 的取值范围是[-1,1] ?????12 分
?1


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