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2016届全国100所名校高考数学模拟示范卷(文科)(七)解析版


2016 年全国 100 所名校高考数学模拟示范卷(文科) (七)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|﹣1<x<2},A∩(?UB)={x|1<x<2},则集合 B 可 以是( ) A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|x≤1} D.{x|x>2} 2. (5 分)设复数 z= A. B. C.2 +(1﹣i) ,则 z 的模为( D.
x
﹣x

2



3. (5 分)已知命题 p:? x∈R,3 +3 >2,则¬p 为( x ﹣x x ﹣x A.? x∈R,3 +3 >2 B.? x∈R,3 +3 ≤2 x ﹣x x ﹣x C.? x∈R,3 +3 ≤2 D.? x∈R,3 +3 <2 4. (5 分)cos20°sin40°+cos70°sin50°等于( ) A.cos20° B.sin20° C.﹣ D.
|x|



5. (5 分) (2015?株洲一模)下列函数中与函数 y=﹣3 奇偶性相同且在(﹣∞,0)上单调 性也相同的是( ) A.y=﹣ B.y=log2|x| C.y=1﹣x
2

D.y=x ﹣1

3

6. (5 分) (2015 秋?桂林期末) 设 x, y 满足约束条件

, 则 z=3x+y 的最大值为 (



A.﹣8 B.3 C.5 D.7 7. (5 分)某工厂利用随机数表对生产的 500 个零件进行抽样测试,先将 500 个零件进行编 号 001、002、…、499、500,再从中抽取 50 个样本,如图提供随机数表的第 4 行到第 7 行, 若从表中第 5 行第 16 列的 8 开始向右读取数据,则得到的第 3 个样本编号是( )

A.443 B.328 C.206 D.864 8. (5 分)如图, 成立的是( ) 、 、 的终点 A、B、C 在一条直线上,且 =﹣3 ,则以下等式

A. C.

=﹣ = ﹣

+

B. D.

=﹣ =

+2 ﹣2

9. (5 分)如图是一个几何体的三视图,其侧(左)视图中的弧线是半圆,则该几何体的表 面积是( )

A.20+4π B.24+3π C.20+3π D.24+4π 10. (5 分) 执行如图所示的程序框图, 若输出值 x∈ (16, 25) , 则输入 x 的值可以是 (



A.1

B.2

C.3

D.4 )的图象如图所示,将

11. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 函数 f(x)的图象向左平移 式为( )

个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的解析

A.g(x)=sin(2x﹣

) B.g(x)=sin(2x+ )

) C.g(x)=﹣sin(2x﹣



D.g(x)=sin(4x+

12. (5 分) (2014 秋?黄山期末)已知直线

交于 P,Q 两点,若点 F

为该椭圆的左焦点,则 A.﹣ B.﹣

取最小值的 t 值为( C. D.



二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)不等式 x+ >1(a∈R)在 x∈(0,+∞)上恒成立的条件是 14. (5 分)若函数 f(x)=|3 ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 15. (5 分)已知双曲线 C: ﹣
x

. .

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过点

F1 并且垂直于 x 轴的直线为 l,若过原点 O 和 F2 并和直线 l 相切的圆的半径等于点 F2 到双 曲线 C 的两条渐近线的距离之和,则双曲线 C 的离心率为 . 16. (5 分)如图,已知四边形 ABCD 中,AB=CD=1,AD= BD 的长为 . BC=2,∠A+∠C= .则

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求数列{
* *

}的前 n 项和 Tn.

18. (12 分) (2015?朝阳区模拟)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传 志愿者. 现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组[20, 25) , 第 2 组[25, 30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所 示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ) 在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传 经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19. (12 分) (2015?哈尔滨校级模拟)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

20. (12 分)已知抛物线 C:x =4y,F 为抛物线 C 的焦点,设 P 为直线 l:x﹣y﹣2=0 上的 点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB. (1)在直线 l 上取点 P(4,2) ,求直线 AB 的方程; (2)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|+|BF|的最小值. 21. (12 分)已知函数 f(x)= ax +2x,g(x)=lnx. (1)如果函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在正实数 a,使得函数 F(x)= ﹣f′(x)+2a+1 在区间( ,2)内有两个
2

2

不同的零点;若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲]

22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,F 为 BA 延长线 上一点,且满足 BD?BE=BA?BF.求证: (1)△ADB∽△EFB; (2)∠DFB+∠DBC=90°.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 +θ)=2

轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(

(1)将曲线 C 上各点的纵坐标伸长为原来的两倍,得到曲线 C1,写出曲线 C1 的极坐标方 程. (2)若射线 θ= 积. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2014?兴庆区校级四模)已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|. (1)若 a=2,解不等式 f(x)≥2; (2)若 a>1,? x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1,求实数 a 的取值范围. 与 l 的交点分别为 A,射线 θ=﹣ 与 l 的交点分别为 B,求△OAB 的面

2016 年全国 100 所名校高考数学模拟示范卷 (文科) (七)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|﹣1<x<2},A∩(?UB)={x|1<x<2},则集合 B 可 以是( ) A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣1<x<1} C.{x|x≤1} D.{x|x>2} 【分析】在画出数轴标出集合关系,即可判断选项. 【解答】解:设全集 U=R,集合 A={x|﹣1<x<2},A∩(?UB)={x|1<x<2}, 可知集合 B={x|x≤1}.

故选:C. 【点评】本题考查集合的基本运算,基本知识的考查.
2

2. (5 分)设复数 z=

+(1﹣i) ,则 z 的模为(



A. B. C.2 D. 【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数 z 为 i,从而求得它的模. 【解答】解:z= ∴|z|= +(1﹣i) = = ,
2

+1﹣1﹣2i=1﹣i﹣2i=1﹣3i,

故选:A. 【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 3. (5 分)已知命题 p:? x∈R,3 +3 >2,则¬p 为( ) x ﹣x x ﹣x A.? x∈R,3 +3 >2 B.? x∈R,3 +3 ≤2 x ﹣x x ﹣x C.? x∈R,3 +3 ≤2 D.? x∈R,3 +3 <2 【分析】利用全称命题的否定是特称命题,直接写出命题的否定即可. 【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题 p:? x∈R,3 +3 >2,则¬p 为? x∈R,3 +3 ≤2, 故选:C 【点评】本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,注意量词的变化. 4. (5 分)cos20°sin40°+cos70°sin50°等于( )
x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

A.cos20°

B.sin20°

C.﹣

D.

【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案. 【解答】 解: cos20°sin40°+cos70°sin50°=cos20°sin40°+sin20°cos40°=sin (20°+40°) =sin60°= 故选:D. 【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,属于基础题. 5. (5 分) (2015?株洲一模)下列函数中与函数 y=﹣3 奇偶性相同且在(﹣∞,0)上单调 性也相同的是( ) A.y=﹣ B.y=log2|x| C.y=1﹣x
|x| 2 |x|

D.y=x ﹣1

3

【分析】先判定函数 y=﹣3 的奇偶性以及在(﹣∞,0)上的单调性,再对选项中的函数进 行判断,找出符合条件的函数. |x| 【解答】解:∵函数 y=﹣3 是偶函数,且在(﹣∞,0)上是增函数, ∴对于 A,y=﹣ 是奇函数,不满足条件; 对于 B,y=log2|x|是偶函数,在(﹣∞,0)上是减函数,∴不满足条件; 2 对于 C,y=1﹣x 是偶函数,且在(﹣∞,0)上是增函数,∴满足条件; 3 对于 D,y=x ﹣1 是非奇非偶的函数,∴不满足条件. 故选:C. 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性问题,解题时应对选项中的函数进行判定,从而 得出正确的结论,是基础题.

6. (5 分) (2015 秋?桂林期末) 设 x, y 满足约束条件

, 则 z=3x+y 的最大值为 (



A.﹣8 B.3 C.5 D.7 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数 z=3x+y 对应的直线进行平移,可得当 x=3,y=﹣2 时,z 取得最大值.

【解答】解:作出不等式组

表示的平面区域,

得到如图的△ABC 及其内部, 其中 A( 3,﹣2) , 设 z=F(x,y)=3x+y,将直线 l:z=3x+y 进行平移, 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F( 3,﹣2)=7 故选 D.

【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=3x+y 的最大值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 7. (5 分)某工厂利用随机数表对生产的 500 个零件进行抽样测试,先将 500 个零件进行编 号 001、002、…、499、500,再从中抽取 50 个样本,如图提供随机数表的第 4 行到第 7 行, 若从表中第 5 行第 16 列的 8 开始向右读取数据,则得到的第 3 个样本编号是( )

A.443 B.328 C.206 D.864 【分析】第 5 行第 16 列的 8 开始向右读取数据,确定符合条件的数,即可得出结论 【解答】解:第 5 行第 16 列的 8 开始向右读取数据,第一个符合条件的是 834,不符合条 件, 第二个数 297,符合条件 第三个数 864,不符合条件, 一些以此为 560,732,524,206,443, 所以得到的第 3 个样本编号是 443, 故选:A. 【点评】抽样方法,随机数表的使用,考生不要忽略.在随机数表中每个数出现在每个位置 的概率是一样的,所以每个数被抽到的概率是一样的.

8. (5 分)如图, 成立的是( )





的终点 A、B、C 在一条直线上,且

=﹣3

,则以下等式

A. C.

=﹣ = ﹣

+

B. D.

=﹣ =

+2 ﹣2

【分析】利用向量的三角形法则即可得出. 【解答】解:如图所示, ∵ ∴ 可得: =﹣3 , =﹣3 =﹣ + . ,

故选:A.

【点评】本题考查了向量的三角形法则、线性运算,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 9. (5 分)如图是一个几何体的三视图,其侧(左)视图中的弧线是半圆,则该几何体的表 面积是( )

A.20+4π B.24+3π C.20+3π D.24+4π 【分析】由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体,下半部分是半径 为 1,高为 2 的圆柱的一半,由此能求出该几何体的表面积. 【解答】解:由几何体的三视图,知该几何体的上半部分是棱长为 2 的正方体, 下半部分是半径为 1,高为 2 的圆柱的一半,

∴该几何体的表面积 S=5×2 +π×1 +

2

2

=20+3π.

故选:C. 【点评】 本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题, 解题的关键是根据三视图得出几 何体的结构特征,是基础题. 10. (5 分) 执行如图所示的程序框图, 若输出值 x∈ (16, 25) , 则输入 x 的值可以是 ( )

A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,n 的值,当 n=4 时,不满足条件 n≤3,退出循环,输出 x 的值,由 x=2[2(2x+1)+1]+1=8x+7∈(16,25) ,结合各个选项 即可得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 n=1 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2x+1,n=2 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2(2x+1)+1,n=3 满足条件 n≤3,执行循环体,x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4 不满足条件 n≤3,退出循环,输出 x 的值. ∵由题意可得:x=2[2(2x+1)+1]+1=8x+7∈(16,25) , ∴可解得: <x< ,对比各个选项,则输入 x 的值可以是 2. 故选:B. 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法的应用, 模拟执行程序框图, 得到退出循环时 x=2[2 (2x+1)+1]+1=8x+7 是解题的关键,属于基础题. 11. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 函数 f(x)的图象向左平移 式为( ) )的图象如图所示,将

个单位长度得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的解析

A.g(x)=sin(2x﹣

) B.g(x)=sin(2x+ )

) C.g(x)=﹣sin(2x﹣



D.g(x)=sin(4x+

【分析】由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数 f(x) 的解析式,再利用 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式. 【解答】解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,|φ|< 可得 A=1, = ﹣ ,求得 ω=2. +φ=π,∴φ= ,f(x)=sin(2x+ ) . )+ ] )的图象,

再根据五点法作图可得 2?

将函数 f(x)的图象向左平移 =sin(2x+ )=sin(﹣2x+

个单位长度得到函数 g(x)=sin[2(x+ )=﹣sin(2x﹣ )的图象,

故选:C. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,由函数的最值求出 A, 由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,还考查了 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属 于基础题.

12. (5 分) (2014 秋?黄山期末)已知直线

交于 P,Q 两点,若点 F

为该椭圆的左焦点,则 A.﹣ B.﹣

取最小值的 t 值为( C. D.



【分析】确定 F 的坐标,设出 P,Q 的坐标,表示出 【解答】解:由题意,F(﹣4,0) 由椭圆的对称性,可设 P(t,s) ,Q(t,﹣s) ,则 =(t+4,s)?(t+4,﹣s)=(t+4) ﹣s = ∴t=﹣ 故选 B. 时, 取最小值
2 2

,即可求得结论.

【点评】本题考查椭圆的性质,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. (5 分)不等式 x+ >1(a∈R)在 x∈(0,+∞)上恒成立的条件是 【分析】x∈(0,+∞) ,则不等式 x+ >1 化为:a>x﹣x ,由于 x﹣x = ,即可得出. 【解答】解:∵x∈(0,+∞) , ∴不等式 x+ >1 化为:a>x﹣x , ∵x﹣x =
2 2 2 2

. + ≤

+ ≤ ,当 x= 时取等号,

不等式 x+ >1(a∈R)在 x∈(0,+∞)上恒成立, ∴a> . 故答案为: .

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题. 14. (5 分)若函数 f(x)=|3 ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数 b 的取值范围是 0<b<2. . x x 【分析】由函数 f(x)=|3 ﹣2|﹣b 有两个零点,可得|3 ﹣2|=b 有两个零点,从而可得函 x 数 y=|3 ﹣2|函数 y=b 的图象有两个交点,结合函数的图象可求 b 的范围. x 【解答】解:由函数 f(x)=|3 ﹣2|﹣b 有两个零点, x 可得|3 ﹣2|=b 有两个零点, x 从而可得函数 y=|3 ﹣2|函数 y=b 的图象 有两个交点, 结合函数的图象可得,0<b<2 时符合条件, 故答案为:0<b<2.
x

【点评】 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法, 数形结合是数学解题中常用的思想方 法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.

15. (5 分)已知双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过点

F1 并且垂直于 x 轴的直线为 l,若过原点 O 和 F2 并和直线 l 相切的圆的半径等于点 F2 到双 曲线 C 的两条渐近线的距离之和,则双曲线 C 的离心率为 .

【分析】 求出双曲线的焦点和渐近线方程, 运用点到直线的距离公式和直线与圆相切的条件: d=r,可得 4b=3c,由 a,b,c 的关系和离心率公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:双曲线 C: ﹣ =1 焦点为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,

渐近线方程为 y=± x, 可得点 F2 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的和为 2? =2b,

过原点 O 和 F2 并和直线 l 相切的圆的半径为 r= +c= 由题意可得 2b= 可得 c = 故答案为:
2 2



,即 9c =16b =16(c ﹣a ) , .

2

2

2

2

a ,即有 e= = .

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的焦点和渐近线方程,以及直线 和圆相切的条件:d=r,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 16. (5 分)如图,已知四边形 ABCD 中,AB=CD=1,AD= BD 的长为 . BC=2,∠A+∠C= .则

【分析】利用两次余弦公式,求得 3cosA+sinA=1,将∠C=

∠A,代入求得 cosA= 的

值,可求得 BD. 2 2 2 【解答】解:在△ABD 中由余弦定理可知:BD =AB +AD ﹣2AB?AD?cosA, 2 2 2 在△CDB 中与余弦定理可知:BD =DC +BC ﹣2AB?AD?cosC,

将 AB=CD=1,AD= 2cosA﹣ cos(

BC=2 代入,整理得:2cosA﹣ ﹣A)=1,

cosC=1,∠A+∠C=



整理得:3cosA+sinA=1, 2 2 2 2 2 两边平方(3cosA+sinA) =9cos A+6cosAsinA+sin A=cos A+sin A, 整理得:sinA=﹣ cosA= , BD= BD= , . , ,

故答案为:

【点评】本题考查余弦定理及三角恒等变换,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求数列{
* *

}的前 n 项和 Tn.

【分析】 (1)当 n=1 时可求得 a1= ,当 n≥2 时,化简可得 an= an﹣1,从而求通项公式; (2)化简 bn= 法求其和. 【解答】解: (1)当 n=1 时,S1+ a1=1, 故 a1= ; 当 n≥2 时,Sn+ an=1,Sn﹣1+ an﹣1=1, 故 an+ an﹣ an﹣1=0, 故 an= an﹣1, 故数列{an}是以 为首项, 为公比的等比数列, (1﹣Sn+1)=n+1,从而化简 = ﹣ ,从而利用裂项求和

故 an= ?( )

n﹣1

=

; ,

(2)由(1)知,1﹣Sn+1= ?an+1= 故 bn= 故 = (1﹣Sn+1)=n+1, = ﹣

, ﹣ )

故 Tn=( ﹣ )+( ﹣ )+…+( = ﹣ = .

【点评】 本题考查了分类讨论的思想应用及等比数列的性质应用, 同时考查了对数运算的应 用. 18. (12 分) (2015?朝阳区模拟)某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传 志愿者. 现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组[20, 25) , 第 2 组[25, 30) ,第 3 组[30,35) ,第 4 组[35,40) ,第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所 示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ) 在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传 经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【分析】 (Ⅰ)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (Ⅱ)从 5 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 10 种情况,其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少 有一名志愿者被抽中有 7 种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【解答】解: (Ⅰ) 第 3 组的人数为 0.3×100=30,第 4 组的人数为 0.2×100=20,第 5 组 的人数为 0.1×100=10. 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者, 所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组: ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1.

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人; (Ⅱ) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2, .则从 5 名 志愿者中抽取 2 名志愿者有:

(A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2)共有 10 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) ,共有 7 种 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 .

【点评】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件 及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键. 19. (12 分) (2015?哈尔滨校级模拟)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥 的体积.

【分析】 (1)欲证 EF∥平面 ABC1D1,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 EF 与平 面 ABC1D1 内一直线平行,连接 BD1,在△DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点,根据 中位线定理可知 EF∥D1B,满足定理所需条件; (2)先根据线面垂直的判定定理证出 B1C⊥平面 ABC1D1,而 BD1? 平面 ABC1D1,根据 线面垂直的性质可知 B1C⊥BD1,而 EF∥BD1,根据平行的性质可得结论; (3)可先证 CF⊥平面 EFB1,根据勾股定理可知∠EFB1=90°,根据等体积法可知 =VC﹣B1EF,即可求出所求. 【解答】解: (1)证明:连接 BD1,如图,在△DD1B 中,E、F 分别为 D1D,DB 的中点, 则

平面 ABC1D1.

(2)

(3)∵CF⊥平面 BDD1B1,∴CF⊥平面 EFB1 且 ∵ ,

, ,

∴EF +B1F =B1E 即∠EFB1=90°, ∴ = =

2

2

2

【点评】本题主要考查了线面平行的判定,以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算,同时 考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想,属于中档题. 20. (12 分)已知抛物线 C:x =4y,F 为抛物线 C 的焦点,设 P 为直线 l:x﹣y﹣2=0 上的 点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB. (1)在直线 l 上取点 P(4,2) ,求直线 AB 的方程; (2)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|+|BF|的最小值. 【分析】 (1)设切线斜率为 k,联立方程组,令判别式△=0 解出 k,利用导数的几何意义得 出切线方程,求出切点 A,B 的坐标,从而得到直线 AB 的方程; (2)设 P(x0,y0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据(1)的结论得出 AB 的方程,联立抛 物线方程得出 y1+y2,于是 AF|+|BF|=y1+y2+2,得出|AF|+|BF|关于 x0 的函数,求出函数 的最小值即可. 【解答】解: (1)设切线方程为 y﹣2=k(x﹣4) , 联立方程组
2 2

,消元得 x ﹣4kx+16k﹣8=0, ,k2=2﹣ .

2

∴△=16k ﹣4(16k﹣8)=0,解得 k1=2+ 由 x =4y 得 y=
2

,∴y′= . ,x2=2k2=4﹣2 ) . .

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1=2k1=4+2 ∴A(4+2 ,6+4 ) ,B(4﹣2 ,6﹣4 ∴直线 AB 的斜率为 kAB= =2,

∴直线 AB 的方程为 y﹣6﹣4 =2(x﹣4﹣2 ) ,即 2x﹣y﹣2=0. (2)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1. 设 P(x0,y0) ,由(1)可知直线 AB 方程为 x0x﹣2y﹣2y0=0. 联立方程组
2

,消元得 y +(2y0﹣x0 )y+y0 =0.

2

2

2

∴y1+y2=x0 ﹣2y0, 2 ∴|AF|+|BF|=x0 ﹣2y0+2, ∵P(x0,y0)在直线 l:x﹣y﹣2=0 上, ∴y0=x0﹣2. 2 2 ∴|AF|+|BF|=x0 ﹣2(x0﹣2)+2=(x0﹣1) +5.

∴当 x0=1 时,|AF|+|BF|取得最小值 5. 【点评】本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,属于中档题.
2

21. (12 分)已知函数 f(x)= ax +2x,g(x)=lnx. (1)如果函数 y=f(x)在[1,+∞)上是单调函数,求 a 的取值范围; (2)是否存在正实数 a,使得函数 F(x)= ﹣f′(x)+2a+1 在区间( ,2)内有两个

不同的零点;若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)分 a=0 与 a≠0 两种情况讨论函数 f(x)的单调性, (2)先求函数函数 F(x)的表达式,把函数 F(x)的零点转化为求方程 F(x)=0 的根, 再构造函数,用导数研究单调性求解. 【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)=2x 在[1,+∞)上是单调增函数,符合题意. 当 a≠0 时,y=f(x)的对称轴方程为 x=﹣ , 由于 y=f(x)在[1,+∞)上是单调函数,所以﹣ ≤1,解得 a≤﹣2 或 a>0, 综上,a 的取值范围是 a≥0,或 a≤﹣2. (2)F(x)= ﹣(ax+2)+(2a+1) ,函数 T(x)在区间( ,2)内有两个不同的零点,
2

∴F(x)=0,即方程 ax +(1﹣2a)x﹣lnx=0 在区间( ,2)内有两个不同的实根, 设 H(x)=ax +(1﹣2a)x﹣lnx (x>0) H′(x)=2ax+(1﹣2a)﹣ = 令 H′(x)=0,因 a 为正数,解得 x=1 或 x=﹣ , (舍)
2

当 x∈( ,1)时,H′(x)<0,H(x)是减函数, 当 x∈(1,2)时,H′(x)>0,H(x)是增函数, 为满足题意,只需 H(x)在( ,2)内有两个不相等的零点,





解得:1<a<



【点评】本题主要考查函数与导数的关系,函数的零点与方程的根之间的关系,关键是相互 转化. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修 4-1: 几何证明选讲]

22. (10 分)如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,F 为 BA 延长线 上一点,且满足 BD?BE=BA?BF.求证: (1)△ADB∽△EFB; (2)∠DFB+∠DBC=90°.

【分析】 (1)利用 BD?BE=BA?BF,可得

=

,从而可知△ADB∽△EFB,即可得到结

论; (2)先证明 E、F、A、D 四点共圆,从而可得∠DFB=∠AEB,利用 AB 是⊙O 的直径,可 证结论成立. 【解答】证明: (1)连接 AD,则∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90° 在△ADB 和△EFB 中, ∵BD?BE=BA?BF, ∴ = …(2 分)

又∠DBA=∠EBF, ∴△ADB∽△EFB.…(5 分) (2)在△ADB 中,∠ADB=∠ADE=90° 又∠EFB=90°∴E、F、A、D 四点共圆; ∴∠DFB=∠AEB,…(9 分) 又 AB 是⊙O 的直径,则∠ACB=90°, ∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.…(10 分)

…(7 分)

【点评】本题考查三角形的相似,考查四点共圆,掌握三角形相似的判定方法是关键,属于 中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 +θ)=2

轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(

(1)将曲线 C 上各点的纵坐标伸长为原来的两倍,得到曲线 C1,写出曲线 C1 的极坐标方 程. (2)若射线 θ= 积. 【分析】 (1)设曲线 C1 上的任意一点(x,y) ,则 在曲线 C 上,可得参数方程: 与 l 的交点分别为 A,射线 θ=﹣ 与 l 的交点分别为 B,求△OAB 的面

,消去参数可得直角坐标方程,利用互化公式可得极坐标方程. (2)射线 θ= 与射线 θ=﹣ 分别代入直线 l 的极坐标方程可得 ρ1,ρ2,利用△OAB 的

面积 S= ρ1?ρ2sin

即可得出. 在曲线 C 上,

【解答】解: (1)设曲线 C1 上的任意一点(x,y) ,则



,可得参数方程:
2 2



消去参数可得直角坐标方程:x +y =4. 2 化为极坐标方程:ρ =4,即 ρ=2. (2)射线 θ= 可得 ρ1= 代入直线 l 的极坐标方程 ρsin( = =4 . +θ)=2 ,

射线 θ=﹣ 可得 ρ2=

代入直线 l 的极坐标方程为 ρsin( = =4

+θ)=2 .



∠AOB=

. = × ×4( +1)× =8 .

∴△OAB 的面积 S= ρ1?ρ2sin

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其 应用、极坐标的应用、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2014?兴庆区校级四模)已知函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|. (1)若 a=2,解不等式 f(x)≥2; (2)若 a>1,? x∈R,f(x)+|x﹣1|≥1,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)通过分类讨论,去掉绝对值函数中的绝对值符号,转化为分段函数,即可求得 不等式 f(x)≥2 的解集;

(2)通过分类讨论,去掉绝对值函数中的绝对值符号,转化为分段函数,根据一次函数的 单调性可得函数在 R 上先减后增, 得到函数的最小值为 f(1)+|1﹣1|=f(1)=a﹣1,而不等式 f(x)+|x﹣1|≥1 解集为 R 即 a﹣1≥1 恒成立,解之即可得到实数 a 的取值范围.

【解答】解: (1)当 a=2 时,



由于 f(x)≥2, 则①当 x<1 时,﹣2x+3≥2,∴x≤ ; ②当 1≤x≤1 时,1≥2,无解; ③当 x>2 时,2x﹣3≥2,∴x≥ . 综上所述,不等式 f(x)≥2 的解集为: (﹣∞, ]∪[ ,+∞) ;

(2)令 F(x)=f(x)+|x﹣1|,则



所以当 x=1 时,F(x)有最小值 F(1)=a﹣1, 只需 a﹣1≥1,解得 a≥2,所以实数 a 的取值范围为[2,+∞) . 【点评】 本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题, 考查学生的分类讨论思想和 转化能力.第一问,利用零点分段法进行求解;第二问,利用函数的单调性求出最小值证明 恒成立问题.


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