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全国大联考2015届高三第三次联考数学文


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绝密★启用前

2015 年第

三次全国大联考统考【广东卷】

文科数学试卷
考试范围:高考全部内容;考试时间:120 分钟;命题人:

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. )
1.若集合 ? ? x ? ? ?1 ? x ? 2 ,则 ? 的真子集的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?

?



b?R ) 2. 已知 i 为虚数单位, 复数 z ? a ? bi( a , 的实部为 a 记作 Re ? z ? , 则 Re ?
( A. 4 ) B. ?4 C. 3 D. ? 3
2

? 3 ? 4i ? ?? ? i ?

3.已知函数 f ? x ? 是偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 2x ,则

f ? ?3? ? (
A. ?15 ( A. 4 )

) B. 15 C. ? 3 D. 3

4.执行如图所示的程序框图,若输出 s 的值是 11 ,则输入 n 的值是 B. 5 ) C. C. 6 D. 7

5. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上, 若该球的表面积是 16? , 则该正方体的棱长是( A. 2 2 B.

2 3 3

4 2 3

D.

4 3 3


6.已知向量 a ? ? x,2? , b ? ? 2, x ? ,则“ x ? 2 ”是“ a //b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?x ? 0 ? 7.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是( ?x ? y ? 1 ?
A. ? ?1,0? B. ?0,5? C. ? ?1,5? D. ? ?1, 2?



8.在 ??? C 中,角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a ? 6 , b ? 4 , ? ?

?
3

,则

cos ? ?
( )

A.

6 3

B. ?

6 3

C.

2 2 3

D. ?

2 2 3

9.已知双曲线 ? : 心率是 ( A. )

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在抛物线 y 2 ? ?20 x 的准线上,则双曲线 ? 的离 a 2 16

5 4

B.

5 3

C.

17 3

D.

34 4

10 . 设 函 数 f ? x ? 与 g ? x ? 是 定 义 在 同 一 区 间 ? a, b? 上 的 两 个 函 数 , 如 果 函 数

y ? f ? x? ? g ? x?
在区间 ? a, b? 上有 k ( k ? ? )个不同的零点,那么称函数 f ? x ? 和 g ? x ? 在区间 ? a, b? 上
?

为 “ k 阶关联函数” . 若 f ? x ? ? x ? 3x ? 4 与 g ? x ? ? 2x ? m 在 ?0,3? 上是 “ 2 阶关联函数” ,
2



m 的取值范围是(
A. ? ?1,0?

) B. ? ? , ?2?

? 9 ? 4

? ?

C. ? ??, ?2?

D. ?

?9 ? , ?? ? ?4 ?

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) (一)必做题(第 11~13 题为必做题,每道试题考生都必须作答)
11.设数列 ?an ? 是首项为 3 ,公差为 ?2 的等差数列,则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 12.已知函数 y ? f ? x ? 的图象在点 ? 1, f ?1? 处的切线方程是 y ? ________. 13 . 已 知 函 数 y ? log 2 x 的 图 象 与 函 数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 y ? x 对称,若 .

?

?

1 ,则 f ?1? ? f ? ?1? ? 2

a ? 2b ? 2 ,
则 f ? a ? ? f ? 2b ? 的最小值是 .

(二)选做题(第 14~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第 一题的分)
14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 x?y 中,曲线 C 的参数方程是

? x ? cos ? ? sin ? ( ? 为参数) ,若以点 ? ? 0,0? 为极点, x 轴正半轴为 ? ? y ? cos ? ? sin ? 极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程是 . 15. (几何证明选讲选做题)如图,已知 ??? C 内接于圆 ? ,点 D 在 ? C
的延长线上, ?D 切圆 ? 于 ? ,若 ???C ? 30 , ?C ? 2 ,则 CD ? .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. )
16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? sin ? x ?

? ?

? ?

?? ?

x?R .

? ,1 ,b ? ? 2,0 ? ,设函数 f ? x ? ? a ? b , 3? ? ?

?? ? ? 的值; ?2? ? 3? ? (Ⅱ)设 ? ? ? ? , ?, 2 ? ?
(Ⅰ)求 f ?

5? ? f ?? ? 6 ?

16 ? ? ? ? ,求 17 ?

?? ? f ? 2? ? ? 的值. 3? ?

17. ( 本 小 题 满 分 12分 ) 从 广 东 省 某 市 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 成 绩 中 , 随 机 抽 取 了60 名 学 生 的 数 学 成 绩 得 到 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示 . ( Ⅰ ) 根 据 频 率 分 布 直 方 图 , 估 计 该 市 高 三 学 生 本 次 模 拟 考 试 数 学 成 绩 的 平 均 分 ;
( Ⅱ ) 若 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 分 数 在

?30,50 ? 和?130,150? 的学生中共抽取3 人,在这抽取的3 人 0 ,5 0 ? 和?130,150? 各1 人的概率. 中 , 随 机 抽 取2 人 , 求 分 数 在?3

18. (本小题满分 14 分)如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边 ?? ,且使平面 ??? ? 平面

?? C ,??C? ? ???? ? 90 ,?? ? ?? ? 4 ,?C ? ?C ,?D ?
F
是 ?? 的中点. (Ⅰ)证明: D? // 平面 ?? C ; (Ⅱ)证明: ?C ? 平面 ??C ; (Ⅲ)求四棱锥 C ? ?FD? 的体积.

3 3 ?? ,C? ? ?C , 4 4

19. (本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn , an , 2 成等差数列.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3 2n ? 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 ?n ,求证: ? ? n ? 5 . 2 an

20 . (本小题满分 14 分)已知椭圆 ? 的两个焦点分别为 F 1 ? 3, 0 , F 2

?

?

?

3, 0 ,点

?

1? ? ? ? 3, ? 2? ? 在椭圆 ? 上. (Ⅰ)求椭圆 ? 的标准方程; (Ⅱ)在椭圆 ? 落在第一象限的图象上任取一点作 ? 的切线 l ,求 l 与坐标轴围成的三角
形的 面积的最小值; (Ⅲ)设椭圆 ? 的左、右顶点分别为 ? , ? ,过椭圆 ? 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴 于点

? ,若 C 点满足 ?? ? ?C , ?D// ?C ,连结 ? C 交 D ? 于点 ? ,求证: ?D ? ?? .

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ? x ? ax ? 4 , a ? R .
3 2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)若存在 x0 ? ? 0, ??? ,使 f ? x0 ? ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

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