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佛山市三水区实验中学2015届高一下学期期中(数学)


佛山市三水区实验中学 2015 届高一下学期期中 数
一、选择题(每小题 5 分,共计 50 分) 1.已知等差数列 ?an ? 的首项为 3,公差为 2,则 a7 的值等于 ( A.1 B .14 C.15 D.16 ) 2.已知等比数列 ?an ? ,若 a1 + a2 =20, a3 + a4 =80,则 a5 + a6 等于( C.240 D.120 1 4 3

.若正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,则 + 的最小值是( ) a b A.4 B.6 C. 8 D.9 1 1 4.若 ? ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有 ( a b b a ① a ? b ? ab ②a?b ③a ? b ④ ? ?2 a b A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.480 B.320 )



)

5.直角坐标系内的一动点,运动时该点坐标满足不等式 y ? x ,则这个动点的 运动区域(用阴影表示)是(
y
y

)
y
y

o

x

o

x

o

x

o

x

A. B. C. D. 6.某船开始看见灯塔在南偏东 30 ? 方向,后来船沿南偏 东 60 ? 的方向航行 45km 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是( ) A.15km B.30km C.15

3 km

D.15 2 km )

7.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是( A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解

o s C ? c c o s A s n i 8. 在 ? ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 ?a c

?B

?b

3 , 2

则角 B 的值为 ( ) ? ? A. B. 6 3

C.

? 5? 或 6 6
1

D.

? 2? 或 3 3

9.数列{ an }的通项公式为 an ? A.
1 4

1 ,则{ an }的前 10 项之和为( (n ? 1)(n ? 2)

)

B.

5 12

C.

3 4

D.

7 12

10.已知等比数列 ?an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.

)

? ??, ?1?

B. ? ??,0? D. ? ??, ?1?

?1, ???

C. ?3, ?? ?

?3, ???


二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.若等差数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 4n ? 2 ,则公差是

12 . 已 知 m ? 1, 设A ? m ? 1 ? m, B ? m ? m ? 1, 则A, B 之 间 的 大 小 关 系 是 ;
?y ? x ? 13 .设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值 ? y ? 3x ? 6 ?





2 1 14.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值 x y

范围是



三、解答题(共计 80 分)

? 15.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? sin(2 x ? ) . 3
?? ? (1)求 f ? ? 的值; ?8?

(2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,
? A? 且 f ? ? ? 0 , a ? 3 , b ? c ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. ?2?

2

16.(本小题满分 12 分)已知公差大于零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满 足 a3 a4 ? 117, a2 ?a 5 ? 22. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

4 ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

17.(本小题满分 12 分) 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a ,冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排 放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表:

a
A
B

b (万吨)

c (百万元)
3 6

50% 70%

1 0.5

某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨)铁,若要求 CO2 的排放量不超过 2 (万吨),求购买铁 矿石的最少费用.

18.(本小题满分 14 分)已知数列 {an } 是以 a 为首项, q 为公比的等比数列, Sn 为 它的前 n 项和. (1)当 S1 , S3 , S4 成 等差数列时,求 q 的值; (2)若 bn ? an an?1 (n ? N ? ) ,试求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的公式;

3

19. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装 修费为 1 万元,以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (1)若扣除投资和各种装修费 ,则从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时 以 46 万元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案 盈利更多?

20. 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如下图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ABE= ? ,∠ADE= ? . (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的 值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(d=AB, 单位: m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以提高测量精确度 . 若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大? E

C
?

?
B
第 20 题图

D

A

4

参考答案
一:C B D B 二:11.2; AC B D B D 12. A<B ; 13.3; 14. (?4, 2) .

? ? ? 15.解: (1) f ( ) ? sin( ? ) ……………………1 分 8 4 3 ? ? ? ? ? sin cos ? cos sin ……………………3 分 4 3 4 3
? 2 1 2 3 ……………………4 分 ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ……………………5 分 4

?

? ? A? (2)有 f ? ? ? 0 可得: sin( A ? ) ? 0 ,……………………6 分 3 ?2?
因为角 A 为 ?ABC 的内角,所以 A ?

?
3

……………………7 分

由余弦定理可得: a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c 2 ? bc …………………8 分 由 a ? 3 及 (b ? c)2 ? 12 ? b2 ? c 2 ? 12 ? 2bc 代入解得: bc ? 1 …………10 分
1 3 所以 ?ABC 的面积 S?ABC ? bc sin A ? ……………12 分 2 4

16.解: (1)?{an } 为等差数列,? a3 ? a4 ? a2 ? a5 =22. …………1 分
? a3 ? a4 ? 117,? a3 , a4是方程x 2 ? 22x ? 117 ? 0 的两实根,…………3 分

?公差d ? 0,? a3 ? a4 . ? a3 ? 9, a4 ? 13.
…………5 分

?a1 ? 2d ? 9 ?? ?a1 ? 3d ? 13
(2) bn ?

?a1 ? 1 , ? ?d ? 4

? a n ? 4n ? 3 . …………7 分

4 4 1 1 ? ? ? …………10 分 an ? an ?1 (4n ? 3) ? (4n ? 1) 4n ? 3 4n ? 1

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn
5

1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) …………11 分 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 1 ? 1? 4n ? 1 …………12 分

17.解:设铁矿石 A 购买了 x 万吨,铁矿石 B 购买了 y 万吨, 购买铁矿石的费用为 z 百万元,…………1 分 则由题设知,本题即求实数 x, y 满足约束条件:

?50% x ? 70% y ? 1.9 ?5 x ? 7 y ? 19 ? ? 2x ? y ? 4 x ? 0 .5 y ? 2 ? ? ,即 ? (*) …………5 分 ? x?0 x?0 ? ? ? ? y?0 y?0 ? ?
目标函数为: z ? 3x ? 6 y .………7 分 作不等式组(*)对应的平面区域, 如图阴影部分所示. ……9 分
y 4 P

19 7

O

2

19 5

x

1 1 现让直线 z ? 3x ? 6 y ,即 y ? ? x ? z 平移分析即知, 2 6 P 当直线经过点 时, z 取得最小值. ……10 分

?5 x ? 7 y ? 19 又解方程组 ? ? 2x ? y ? 4
得点 P 坐标为 ?1,2? .…………11 分 故 z min ? 3 ?1 ? 6 ? 2 ? 15 .…………12 分

18.解: (1)由题意可得: an ? aqn?1 (q ? 0) ,…………1 分 当 S1 , S3 , S4 成等差数列时, 2S3 ? S1 ? S4 …………2 分 将 S1 ? a1 ? a , S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a(1 ? q ? q2 ) ,…………3 分
6

S4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a(1? q ? q2 ? q3 ) 代入得:…………4 分
2a(1 ? q ? q2 ) ? a ? a(1 ? q ? q2 ? q3 ) (a ? 0) , 即: q(q2 ? q ? 1) ? 0 …………5 分
解得: q ? 0 (舍去)或 q ? (2) an ? aqn?1 (q ? 0) ,
1? 5 1? 5 或q ? ;…7 分 2 2

bn a a ? n n?1 ? q 2 …………10 分 bn?1 an?1an

所以 ?bn ? 是首项为: b1 ? a1a2 ? a 2 q ,公比为 q 2 的等比数列…………12 分
? ?na 2 ? ? 所 以: S n ? ?? na 2 ? a 2 q (1 ? q 2 n ) ? 2 ? ? 1? q q ?1 q ? ?1 q ? 1且q ? ?1

……………14 分

19.解:(1)设第 n 年获取利润为 y 万 元, n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费 构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列,…………1 分 n(n ? 1) ? 2 ? n 2 …………3 分 共n? 2 因此利润 y ? 30n ? (81? n 2 ) ,令 y ? 0 ,解得: 3 ? n ? 27 ……5 分 所以从第 4 年开始获取纯利润.………………… 6 分 (2)年平均利润 W ?
30n ? (81? n 2 ) 81 ? 30 ? ? n …………7 分 n n

81 ? n ,即 n=9 时取等号) n …………9 分 所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元)…………10 分

? 30 ? 2 81 ? 12(当且仅 当

利润 y ? 30n ? (81? n 2 ) ? ?(n ? 15) 2 ? 144 …………12 分 所以 15 年后共获利润:144+10=154(万元)…………13 分 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.………… 14 分

20.解:(1)

H H ? tan ? ? AD ? ,…………1 分 AD tan ?

E

C
?

7

?
B
第 20 题图

D

A

同理: AB ?

H h , BD ? .……2 分 tan ? tan ?

AD—AB=DB ,故得

H H h ,……3 分 ? ? tan ? tan ? tan ?

解得: H ?

h tan? 4 ? 1.24 ? ? 124.…………5 分 tan? ? tan ? 1.24 ? 1.20

(2)由题设知 d ? AB ,得 tan ? ?

H H h H ?h , tan ? ? ? ? ,…………6 分 d AD DB d H H ?h ? tan ? ? tan ? hd h d tan(? ? ? ) ? ? d ? 2 ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? H ? H ? h d ? H ( H ? h) d ? H ( H ? h) d d d

…………9 分 而d ?
H ( H ? h) ? 2 H ( H ? h) , d

(当且仅当 d ? H (H ? h) ? 125 ?121 ? 55 5 时,取等号)…………12 分 故当 d ? 55 5 时, tan(? ? ? ) 最大. …………13 分 因为 0 ? ? ? ? ?

?
2

,则 0 ? ? ? ? ?

?
2



所以当 d ? 55 5 时, ? - ? 最大. 故所求的 d 是 55 5 m. …………14 分

8


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