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江苏省苏州市五中2009届高考数学复习中档题训练一


江苏省苏州市第五中学 2009 届高考数学复习
中档题训练一
1.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,且 a ? c ? b ?
2 2 2

(1)求 sin

2

A?C ? cos 2 B 的值; (2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值. 2

>
1 ac. 2

2.如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA?A1?A1 中,点 B 、 C 在线段 AA ? 上,且 AB ? 3 , BC ? 4 , 作 BB1 ∥ AA1 , 分别交 A1 A1? 、AA1? 于点 B1 、P , 作 CC1 ∥ AA1 , 分别交 A1 A1? 、AA1? 于点 C1 、 Q ,将该正方形沿 BB1 、 CC1 折叠,使得 A?A1? 与 AA1 重合,构成如图 2 所示的 三棱柱 ABC ? A1B1C1 . (1)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (2)求 平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比. B1 C1 A1 B1 C1 A'1 A1
Q Q P P A B C
图1

C

B

A'

A
图2

3.在数列 ?an ? 中,前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? 3 , a2 ? 2 且 S n?1 ? 3S n ? 2S n?1 ? 1 ? 0 ( n ? N * , 且 2 (2)求数列 ?n ? a n ?的前 n 项和 Tn . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m n ? 2 ).(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

4.某养殖厂需定期购买饲料,已知该厂每天需要饲料 200 公斤,每公斤饲料的价格为 1.8 元, 饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元, 购买饲料每次支付运费 300 元. (1 ) 求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小; (2)若提供饲料的公司 规定,当一次购买饲料不少 5 吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的 85%) .问该厂是 否考虑利用此优惠条件,请说明理由.

中档题训练一参考答案
1.解: (1)? a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac 2

?c o s B?

a 2 ? c 2? b 2 1 ? 2ac 4

? sin 2

A?C 1 ? cos 2 B ? [1 ? cos( A ? C )] ? (2 cos 2 B ? 1) 2 2 1 1 1 1 1 ? (1 ? cos B) ? (2 cos 2 B ? 1) ? (1 ? ) ? (2 ? ? 1) ? ? 2 2 4 16 4

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . 4 4

∵ b=2,

1 8 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 2ac(当且仅当a ? c ? 时, 取 " ? "号). 2 3 8 ? ac ? . 3 1 1 8 15 15 ? S?ABC ? ac ? sin B ? ? ? ? . 2 2 3 4 3
15 3

故 S△ABC 的最大值为

2.解: (Ⅰ )证明:因为 AB ? 3 , BC ? 4 ,所以 AC ? 5 ,从而有 AC 2 ? AB2 ? BC 2 ,即
AB ? BC .又因为 AB ? BB1 ,而 BC

BB1 ? B ,所以 AB ? 平面 BCC1 B1 ;

(Ⅱ )因为 BP ? AB ? 3 , CQ ? AC ? 7 ,所以 SBCQP ? 从而 VA? BCQP ? ? SBCQP ? AB ? ? 20 ? 3 ? 20 . 又因为

( BP ? CQ) ? BC (3 ? 7) ? 4 ? ? 20 , 2 2

1 3

1 3

1 VABC ? A1B1C1 ? S ABC ? AA1 ? ? 3 ? 4 ?12 ? 72 , 2

所以平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比为

V上 72 ? 20 52 13 ? ? ? . V下 20 20 5
3.解: (1) an ? 2n?2 ? 1(n ? N*) (2)由 n ? a n = n ? 2
?1

n?2

? n 得 Tn=1? 2 ?1 ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ? ?n ? 2 n?2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ?n)
1 n?2

令 An= 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?n ? 2
0

则 2 An= 2 ?1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ?(n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2 n?1

? An = ?
=?

1 ? 0 ? (2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? 2 n ? 2 ) ? n ? 2 n ?1 2
3 1 2(1 ? 2 n ?2 ) ? ? n ? 2 n ?1 = ? (n ? 1) ? 2 n ?1 2 2 1? 2

?Tn= 1? 2 ?1 ? 2 ? 20 ? 3 ? 21 ? ?n ? 2 n?2 ? (1 ? 2 ? 3 ? ?n) =

3 1 ? ( n ? 1) 2 n ?1 + n(n ? 1) 2 2

4.解: (1)设该厂应隔 x( x ? N? ) 天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为 y1 ∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少 200×0.03=6(元) , ∴ x 天饲料的保管与其它费用共是 6( x ?1) ? 6( x ? 2) ? 从而有 y1 ?

? 6 ? 3x2 ? 3x(元)

1 300 (3x 2 ? 3x ? 300) ? 200 ? 1.8 ? ? 3 x ? 357 ? 417 x x 300 ? 3x ,即 x ? 10 时, y1 有最小值 当且仅当 x
即每隔 10 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少 25 天购买一次饲料,设该厂利用此优惠条件,每隔 x 天( x ? 25 )购买一次饲料,平均每天支付的总费用为 y2 ,则

y2 ?

1 300 (3x 2 ? 3x ? 300) ? 200 ? 1.8 ? 0.85 ? ? 3 x ? 303( x ? 25) x x 300 ? ∵ y2 ? ? 2 ? 3 x ? ∴当 x ? 25 时, y2 ? 0 ,即函数 y2 在 ? 25 , ? ?? 上是增函数
∴当 x ? 25 时, y2 取得最小值为 390 ,而 390 ? 417

∴该厂应接受此优惠条件
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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