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《3.1.3导数的几何意义》教学案1


《3.1.3导数的几何意义》教学案 教学目标: 1知识与技能:通过实验探求和理解导数的几何意义,理解导数在研究函数性质中的作 用,培养学生分析、抽象、概括等思维能力. 2过程与方法:在寻找切线新定义的过程中,使学生通过有限认识无限,发现数学的美; 通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生达到思维方式的迁移,了解科学的思维方法. 3情感、态度与价值观:在导数几何意义的推导过程中,渗透逼近和以直代曲的思想, 使学生了解近似与精确间的辨证关系,激发学生勇于探索、勤于思考的精神. 教学重点: 运用导数的几何意义研究函数 教学难点: 导数几何意义的推导思路 教学过程: 一 复习回顾 1.平均变化率 2.瞬时变化率 3.导数的定义 4.点斜式直线方程 二 新课讲授 1、导数的几何意义: 我们发现, 当点Q沿着曲线无限接近点P, 即Δ x→0时, 割线PQ如果有一个极限位置PT. 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 那么当Δ x→0时,割线PQ的斜率趋向于过点P的切线PT的斜率 y Q ? x0 ? ?x, f ? x0 ? ?x ? ? y ? f ? x? 割 线 T 切线 ?y P ? x0 , f ? x0 ? ? ?x o x 即: k切线 ? f ' ( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 由导数意义可知,曲线y ? f ? x ? 过点? x0 , f ? x0 ??的切线的斜率等于f ' ? x0 ? . 2、例题讲解 2 例1 求抛物线y=x 在点P(1,1)处的切线的斜率. 解:在点(1,1)切线的斜率是 f ' (1) k ? lim f (1 ? ?x) ? f (1) ?x ? 0 ?x (1 ? ?x) 2 ? 1 ? lim ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ? x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x 2 因此,抛物线y=x 在点(1,1)切线的斜率为2. 例2.求双曲线 y ? 解:因为 1 1 过点 (2, ) 的切线方程. x 2 ?x ?0 lim f (2 ? ?x) ? f (2) ?x 1 1 ? ? lim 2 ? ?x 2 ?x ?0 ?x 1 1 ? lim ?? , ?x ?0 2(2 ? ?x) 4 1 2 1 4 所以,这条双曲线在点 (2, ) 的切线的斜率为 ? . 由直线方程的点斜式,得切线方程为 y? 1 1 ? ? ( x ? 2), 2 4 即 5 2 1 y ? ? x ? 1. 4 2 例3 求抛物线y=x 过点 ( , 6) 的切线方程. 解:设此切线经过抛物线上的点 ( x0 , x 0 ). 由例1及导数的意义知此切线的斜率为2x0.又 2 因为此切线过点 ( , 6) 和点 ( x0 , x 0 ). 其斜率应满足 2 5 2 x 20 ? 6 ? 2 x0 , 5 x0 ? 2 由此x0应满足 x 2 0 ? 5x0 ? 6 ? 0. y-9=6(x-3) . 解得x0=2,3.即切线过抛物线上的点(2,4),(3,9).所以切线方程分别为 y-4=4(x-2) , 化简得 y=4x-4, y=6x-9. 此即所求的切线方程. 小结: 求过某点P曲线的切线方程的一般步骤: (1)判断点P是否在曲线上. (2)若点P在曲线上, 3)若点P不在曲线上,设出切点坐标,利用切线的斜率,求出切

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