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数学试题(综合)2


数学试题(综合)2
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题 50 分)
1.设集合 S ? {x | x ? ?2} , T ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则 (CR S ) ? T ? = ( )

1] A. (?2 ,
2.不等式组 ? ( )
y

? 4] B. (?? ,

1] C. (?? ,

? ?) D. [1,

?x ? 3y ? 6 ≥ 0 表示的平面区域是 ?x ? y ? 2 ? 0

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D ( )

3.“φ=π ”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

A. (1, ??)

1 的零点所在的区间可能是 x 1 1 1 1 1 B. ( ,1) C. ( , ) D. ( , ) 2 3 2 4 3
A1
)

(

)

D1

C1 B1

5.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 BC1 的中点, 则 DE 与面 BCC1 B1 所成角的正切值为 (

E

6 A. 2

6 B. 3

C. 2

2 D. 2

D
A
(第 5 题图)

C

B

6.函数



,则





A.

为偶函数,且在

上单调递减

B.

为偶函数,且在

上单调递增

C.

为奇函数,且在

上单调递增 D.
1

为奇函数,且在

上单调递减

7.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a8 = A. 48 8 .若双曲线 B. 49 C. 63



) D. 64

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,则此双曲线的离心率是 a 2 b2
( )

A. 3

B. 2 2

C. 3

D. 10

9.对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中, a, b∈R, c∈Z), 选取 a, b, c 的一组值计算 f(1)和 f(- 1),所得出的正确结果一定不可能是 ( ) ...... A.4 和 6 D.1 和 2 → → → → → → → 1 → 10.在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< ,则|OA|的取值范围 2 是 5? 5 7 ? 5 ? B.? , ? C.? , 2? 2? ? ?2 2? ?2 ? 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分) A.?0, D.? ( )
[来源:Zxxk.C

B.3 和 1

C.2 和 4

? 7 ? , 2? ?2 ?

→ → → 11.在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λAO, 则 λ=________. 12.已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a , x ? 1 ,若 ?? x ? 2 a , x ? 1
.

f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ,则 a 的值为

13.一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为 cm,则该几何体的 体积为 14.下列函数: ① y ? sin ? x ? cm3.

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
. 第 14 题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有

15.如图,在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点. 以下四个结论: ①直线 AM 与直线 C1C 相交; ③直线 AM 与直线 DD1 异面; 其中正确结论的序号为 ②直线 AM 与直线 BN 平行; ④直线 BN 与直线 MB1 异面. .(注:把你认为正确的结论序号都

2

填上) x2 y2 16. 椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周长最大时, 4 3 △FAB 的面积是 .
?3 ?
2 17.设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? ? 2 , ?? ? , f ? x ? ? 4m 2 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立,则实 ? ? ? ?

?m?

数 m 的取值范围是

.

三、解答题(本大题共 5 个小题,其中第 18 小题 16 分,第 19、20 小题各 13 分, 其余两个小题各 15 分,解答题目时应写出必要的文字、符号、说明、证明过程 或是演算步骤)
18. (本小题满分 16 分)作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? log 1 (? x) ;
2

(2) y ? ?( ) ; (3) y ? log 1 x ;
x

1 2

2 (4) y ? x ? 1 .

2

19.(本小题满分 13 分) 19.(4 分+5 分+4 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,且 a2=b2+c2+ 3 bc.(1)求 A;(2) 设 a ? 3 ,S 为△ABC 的面积,试完成: ①证明:

S ? 3 ;②求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. sin B sin C

20(本小题满分 13 分)等差数列 数列,求

2 S ,S ,S {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 S3 ? a2 ,且 1 2 4 成等比

{an } 的通项公式.

3

21.(本小题满分 15 分)如图,直三棱柱 是 AC 上的点,AB1//平面 BC1Q , (Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置;

ABC ? A1B1C1 中,AB=BC, ?ABC ? 90? ,Q
B1
2 ,求二面角 4

C1

(Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 Q-BC1—C 的余弦值.

A1

B A Q

C

x2 22.(本小题满分 15 分)已知椭圆 G: +y2=1,过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 4 G 于 A,B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值.

4

数学试题(综合)2
一、选择题(每小题 5 分,共 10 小题 50 分)
1.设集合 S ? {x | x ? ?2} , T ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则 (CR S ) ? T ? = ( C )

1] A. (?2 ,
2.不等式组 ? ( B )
y

? 4] B. (?? ,

1] C. (?? ,

? ?) D. [1,

?x ? 3y ? 6 ≥ 0 表示的平面区域是 ?x ? y ? 2 ? 0

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

3.“φ=π ”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】∵曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点, ∴sin φ =0,∴φ=kπ ,k∈Z,故选 A. 4.函数 f ( x ) ? 2 ?
x

(

A)

D1 A1
( B )

C1 B1

A. (1, ??)

1 的零点所在的区间可能是 x 1 1 1 1 1 B. ( ,1) C. ( , ) D. ( , ) 2 3 2 4 3

E

D
A
(第 5 题图) ( C )

C

5.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 BC1 的中点, 则 DE 与面 BCC1 B1 所成角的正切值为

B

A.

6 2

B.

6 3

C. 2

D.

2 2

6.函数



,则

( A



5

A.

为偶函数,且在

上单调递减

B.

为偶函数,且在

上单调递增

C.

为奇函数,且在

上单调递增 D.

为奇函数,且在

上单调递减

7.已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an?1 ? an ? 2 an ? 1 ? 1 ,则 a8 = A. 48 64 8 .若双曲线 B. 49 C. 63

( C ) D.

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行,则此双曲线的离心率是 a 2 b2
( D )

A. 3

B. 2 2

C. 3

D. 10

9.对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中, a, b∈R, c∈Z), 选取 a, b, c 的一组值计算 f(1)和 f(- 1),所得出的正确结果一定不可能是 ( D ) ...... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2 [2011· 福建卷]【解析】 由已知,有 f(1)=asin1+b+c,f(-1)=-asin1-b+c, ∴ f(1)+f(-1)=2c, ∵ c∈Z,∴ f(1)+f(-1)为偶数, 而 D 选项给出的两个数,一个是奇数,一个是偶数,两个数的和为奇数,故选 D. → → → → → → → 1 → 10.在平面上,AB1⊥AB2,|OB1|=|OB2|=1,AP=AB1+AB2.若|OP|< ,则|OA|的取值范围 2 是 A.?0, ( D ) 5? 2? B.? 5 7? , 2 2 ? ? C.?
[来源:Zxxk.C

?

? 5 ? , 2? ?2 ?

D.?

? 7 ? , 2? ?2 ?

【解析】根据条件知 A,B1,P,B2 构成一个矩形 AB1PB2,以 AB1,AB2 所在直线为坐标 轴建立直角坐标系,如图.设|AB1|=a,|AB2|=b,点 O 的坐标为(x,y),则点 P 的坐标为(a, b),
2 2 ? ?(x-a) +y =1, → → 由|OB1|=|OB2|=1 得? 2 2 ? ?x +(y-b) =1, 2 2 ? ?(x-a) =1-y , 则? ?(y-b)2=1-x2. ?

1 1 7 → 1 又由|OP|< ,得(x-a)2+(y-b)2< ,则 1-x2+1-y2< ,即 x2+y2> ①. 2 4 4 4 又(x-a)2+y2=1,得 x2+y2+a2=1+2ax ≤1+a2+x2,则 y2≤1; 同理由 x2+(y-b)2=1,得 x2≤1,即有 x2+y2≤2②. 7 7 由①②知 <x2+y2≤2,所以 < 4 2 x2+y2≤ 2.

6

→ 而|OA|=

x2+y2,所以

7 → <|OA|≤ 2,故选 D. 2

第Ⅱ卷(非选择题,100 分) 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分)
→ → → 11.在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, AB+AD=λAO, 则 λ=________. → → → → [解析] 根据向量运算法则,AB+AD=AC=2AO,故 λ=2. 12. 已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? 为 .?

?2 x ? a , x ? 1 ,若 f (1 ? a ) ? f (1 ? a ) ,则 a 的值 ?? x ? 2 a , x ? 1

3 4
cm3.

13.一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为 cm,则该几何体 的体积为 54

14.下列函数: ① y ? sin ? x ?

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____.

15.如图,在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中点. 以下四个结论: ①直线 AM 与直线 C1C 相交; ③直线 AM 与直线 DD1 异面; 其中正确结论的序号为 号都填上) ③④ ②直线 AM 与直线 BN 平行; ④直线 BN 与直线 MB1 异面. .(注:把你认为正确的结论序

x2 y2 16. 椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周长最大时, 4 3
7

△FAB 的面积是________. [2012· 四川卷] [解析] 如图,设椭圆右焦点为 F′,直线 x=m 与 x 轴相交于 C,

由椭圆第一定义,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a=4, 而|AB|=|AC|+|BC|≤|AF′|+|BF′|, ∴当且仅当 AB 过 F′时,△ABF 周长最大. 3? 3? ? 此时,由 c=1,得 A? ?1,2?,B?1,-2?,即|AB|=3, 1 ∴S△ABF= |AB||FF′|=3. 2
2 2 17.设函数 f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x ? ? 2 , ?? ? , ?x? 恒成立,则实 ? f ? ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) ?

?3

?

?m?

数 m 的取值范围是

.

(2010 天津理数) 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 依据题意得

x2 3 ? 1 ? 4m 2 ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4( m 2 ? 1) 在 x ? [ , ??) 上恒定成立,即 2 m 2

1 3 2 3 ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 当 x? 时 函 数 y ? ? 2 ? ? 1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 2 ? 4m 2 ? ? , 即 2 x x 3 m 3

(3m 2 ? 1)(4m 2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?

3 3 或m ? 2 2

三、解答题(本大题共 5 个小题,其中第 18 小题 16 分,第 19、20 小题各 13 分, 其余两个小题各 15 分,解答题目时应写出必要的文字、符号、说明、证明过程 或是演算步骤)
18. (4+4+4+4)作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? log 1 (? x) ;
2

(2) y ? ?( ) ; (3) y ? log 1 x ;
x

1 2

2 (4) y ? x ? 1 .

2

解: (1)作 y ? log 1 x 的图像关于 y 轴的对称图像,如图 1 所示;
2

8

1 x 2 (3)作 y ? log 1 x 的图像及它关于 y 轴的对称图像,如图 3 所示;
(2)作 y ? ( ) 的图像关于 x 轴的对称图像,如图 2 所示;
2

(4)作 y ? x2 ?1 的图像,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,如图 4 所示. y

y O -1 x

-1

O

x

图1 y y

图2

-1

O 1

x -1 O x

图3

图4

19.(4 分+5 分+4 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2+c2 + 3 bc. (1)求 A; (2) 设 a ? 3 , S 为△ABC 的面积, 试完成: ①证明:

S ? 3; sin B sin C


②求 S+3cos Bcos C 的最大值,并指出此时 B 的值. 解

9

2 20. (13 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .已知 S3 ? a2 , 且 S1 , S2 , S4 成等比数列, 求 {an }

的通项公式.

21. (6 分+9 分)如图,直三棱柱

ABC ? A1B1C1 中,AB=BC,
A1

B1

C1

?ABC ? 90? ,Q 是 AC 上的点,AB1//平面 BC1Q ,
(Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置;

2 (Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 ,求二面角 Q 4
-BC1—C 的余弦值.

B A Q

C

10

→ →=(- 3a, 3 a,b). BC1 =(0,a,b),QC 1 4 4
因 QC1 与面 BC1C 所成角的正弦值为 2 , 4

3 a |m·→ QC1| 4 ___________ ___________ ________ = 2,解得 b= 3 a. 故 = 4 2 3 2 |m|·|→ QC1| a +b2 4

?

设平面 C1BQ 的法向量 n=(x,y,z),则?

? ?n·→ QC1=0, ?n·→ BC =0, ?
1

3 ay+ az=0, ?- 43 ax+ 3 4 2 即? 取 n=(1,- 3 ay + az = 0 , ? 2 m·n 2 所以有 cos ?m,n?= = . |m|·|n| 4 故二面角 Q-BC1-C 的余弦值为 2 . 4

3,2).

x2 22. (6 分+9 分) 已知椭圆 G: +y2=1, 过点(m,0)作圆 x2+y2=1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, 4 B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. [2011· 北京卷] 【解】 (1)由已知得 a=2,b=1. 所以 c= a2-b2= 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0). c 3 离心率为 e= = . a 2
11

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为?1,

?

3? ? 3 , 1,- ?, 2? ? 2?

此时|AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可知|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m), y=k?x-m?, ? ?2 由?x 得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 2 + y = 1 ? ?4 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 4k2m2-4 8k2m 则 x1+x2= , 2,x1x2= 1+4k 1+4k2 |km| 又由 l 与圆 x2+y2=1 相切,得 2 =1, k +1 即 m2k2=k2+1, 所以|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2] 4 2 4?4k2m2-4?? 2 ? 64k m - = ?1+k ?? ? 1+4k2 ? ??1+4k2?2 4 3|m| = 2 . m +3 由于当 m=± 1 时,|AB|= 3. 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1 ]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 4 3 因为|AB|= 2 = ≤2,且当 m=± 3时,|AB|=2. 3 m +3 |m|+ |m| 所以|AB|的最大值为 2.

12


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