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山东省济宁一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷


2014-2015 学年山东省济宁一中高二(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a,b 为非零实数,若 a>b 且 ab>0,则下列不等式成立的是( ) A.a >b
2 2

B. > C.ab >a b D.

r />2

2



2.已知等比数列{an}满足 a1=2,a4=2a6,则 a3=( A. B. C.1 D.2



3.已知甲、乙两地距丙的距离均为 100km,且甲地在丙地的北偏东 20°处,乙地在丙地的 南偏东 40°处,则甲乙两地的距离为( ) A.100km B.200km C.100 km D.100 km 4.已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5+a6+a7=160,则 a1+a9=( A.32 B.64 C.96 D.128 )

5.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 csinC=acosB+bcosA,则△ABC 的 形状为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形

6.如果实数 x,y 满足约束条件

,那么目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.﹣3 B.﹣2 C.1

D.2 ,则 an=( )

7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1﹣an= A. B. C. D.

8.若函数 y=lg(x ﹣ax+4)的值域为 R,则实数 a 的取值范围为( ) A. (﹣4,4) B.[﹣4,4] C. (﹣∞,4)∪(4,+∞) D. (﹣∞,﹣4]∪[4,+∞) 9.数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比 q=3 且 a1a2a3…a30=3 ,则 a3a6a9…a30=( 10 15 20 25 A.3 B.3 C.3 D.3
30

2



10.已知两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y≥m ﹣2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (﹣2,4)

2

B.[﹣2,4] C. (﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[4,+∞)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上. 11. 已知数列{an}是公差为﹣1 的等差数列, Sn 且其前 n 项和, 若 S10=S13, 则 a1= 12.若不等式 ax ﹣bx+2>0 的解集为{x|﹣ <x< },则 a+b=
2

. .

13.在△ABC 中,A=

,AB=4 且 S△ABC=

,则 BC 边的长为



14.已知变量 x,y 满足约束条件为

,若目标函数 z=ax+y(a>0)仅在点

(4,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为



15.已知数列{an}的通项公式 an=nsin

+1,前 n 项和 Sn,则 S2014=



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB. (1)求角 B 的大小; (2)若 A=60°,b=2,求边 a,c 的大小. 17.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足 2a1+a2=8,a2a6=4 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2an,求数列{ }的前 n 项和 Sn. .

18.解关于 x 的不等式 x +x﹣a(a﹣1)>0, (a∈R) . 19.已知函数 f(x)= (sin x﹣cos x+
2 2

2

)﹣

sin (x﹣

2

) ,x∈R.

(1)求函数 f(x)的弹道递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(B)=1,b=2,求△ABC 的面积 的最大值.

20.某企业为解决困难职工的住房问题,决定分批建设保障性住房供给困难职工,首批计划 用 100 万元购买一块土地,该土地可以建造每层 1000 平方米的楼房一幢,楼房的每平方米 建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元,已知建 筑 5 层楼房时,每平方米的建筑费用为 1000 元. (1)若建筑楼房为 x 层,该楼房的综合费用为 y 万元(综合费用为建筑费用与购地费用之 和) ,求 y=f(x)的表达式. (2)为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼房建成几层?此时平均综合费 用为每平方米多少元? 21.已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且 a1a5=45,a2+a4=18,数列{bn}的前 n 项 和为 Sn,且 Sn=2bn﹣2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=an? bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,…,第 an 项,…删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列{dn},求数列{dn}的前 2014 项和 M2014.

2014-2015 学年山东省济宁一中高二 (上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知 a,b 为非零实数,若 a>b 且 ab>0,则下列不等式成立的是( ) A.a >b
2 2

B. > C.ab >a b D.

2

2



考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: A.取 a=1,b=﹣2,即可判断出; B.取 a=1,b=﹣2,即可判断出; C.取 a=2,b=1,即可判断出; D.由于 a,b 为非零实数,a>b,可得 解答: 解:A.取 a=1,b=﹣2,不成立; B.取 a=1,b=﹣2,不成立; C.取 a=2,b=1,不成立; D.∵a,b 为非零实数,a>b,∴ ,化为 , ,化简即可得出.

故选:D. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 2.已知等比数列{an}满足 a1=2,a4=2a6,则 a3=( A. B. C.1 D.2 )

考点: 等比数列的通项公式. 分析: 由已知条件利用等比数列的性质得 2q =2×2q ,由此能坟出 a3=2q =2× =1. 解答: 解:∵等比数列{an}满足 a1=2,a4=2a6, 3 5 ∴2q =2×2q , 解得 q = , ∴a3=2q =2× =1. 故选:C. 点评: 本题考查数列的第 3 项的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的性质的合理运 用.
2 2 3 5 2

3.已知甲、乙两地距丙的距离均为 100km,且甲地在丙地的北偏东 20°处,乙地在丙地的 南偏东 40°处,则甲乙两地的距离为( ) A.100km B.200km C.100 km D.100 km 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 根据甲、乙两地距丙的距离均为 100km,且甲地在丙地的北偏东 20°处,乙地在丙 地的南偏东 40°处,利用余弦定理即可求出甲乙两地的距离. 解答: 解:由题意,如图所示 OA=OB=100km,∠AOB=120°, ∴甲乙两地的距离为 AB= 故选:D. =100 km,

点评: 本题考查解三角形的实际应用,考查余弦定理,考查学生的计算能力,比较基础. 4. (5 分) (2014 秋? 市中区校级期中)已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5+a6+a7=160, 则 a1+a9=( ) A.32 B.64 C.96 D.128 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据题意中等差数列的连续五项之和的值,利用等差中项做出第五项的值,要求的 两项的和等于第五项的二倍,代入数值得到结果. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=160, 解得 a5=32, ∴a1+a9=2a5=64 故选:B 点评: 本题考查等差中项的性质,本题解题的关键是写出等差中项的值,本题是一个基础 题. 5.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 csinC=acosB+bcosA,则△ABC 的 形状为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 已知等式利用正弦定理化简, 解答: 解:已知等式 csinC=acosB+bcosA,利用正弦定理化简得: sin C=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, ∵sinC≠0,∴sinC=1, ∴C=90°,
2

则△ABC 为直角三角形, 故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本 题的关键.

6.如果实数 x,y 满足约束条件

,那么目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.﹣3 B.﹣2 C.1 D.2 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 作出约束条件

所对应的可行域,平行直线 y=2x 可知,当直线经过点 A

(0,﹣1)时直线的截距﹣z 取最小值,即 z 取最大值,代值计算可得.

解答: 解:作出约束条件

所对应的可行域(如图) ,

变形目标函数可得 y=2x﹣z,平行直线 y=2x(虚线)可知, 当直线经过点 A(0,﹣1)时直线的截距﹣z 取最小值, ∴z 取最大值 2×0﹣(﹣1)=1 故选:C

点评: 本题考查简单线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题. 7.已知数列{an}满足 a1=1,an+1﹣an= A. B. C. D. ,则 an=( )

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.

分析: 由题意得 an+1﹣an= 解答: 解:∵an+1﹣an= ∴an﹣an﹣1= ﹣ , =

= ﹣



,利用累加法可得 an 的通项公式,

∴a2﹣a1= ﹣1, a3﹣a2= ﹣ , a4﹣a3= ﹣ , … ∴an﹣an﹣1= ﹣ ,

两边累加法得, an﹣a1= ﹣1, ∵a1=1, ∴an= , 故选:A 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 8.若函数 y=lg(x ﹣ax+4)的值域为 R,则实数 a 的取值范围为( ) A. (﹣4,4) B.[﹣4,4] C. (﹣∞,4)∪(4,+∞) D. (﹣∞,﹣4]∪[4,+∞) 考点: 对数函数的值域与最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的性质,得出△=a ﹣16≥0,求解即可. 2 解答: 解:∵函数 y=lg(x ﹣ax+4)的值域为 R, 2 ∴u(x)=(x ﹣ax+4)的图象不能在 x 轴上方, 2 ∴△=a ﹣16≥0, 即 a≤﹣4 或 a≥4, 故选:D 点评: 本题综合考查了函数的性质,不等式的解法,属于中档题. 9.数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比 q=3 且 a1a2a3…a30=3 ,则 a3a6a9…a30=( 10 15 20 25 A.3 B.3 C.3 D.3 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.
30 30 2 2



分析: 由等比数列的通项公式把 a1a2a3…a30=3 用首项和公比表示,求出首项,把 a3a6a9… a30 用首项和公比表示,代入首项和公比得答案. 30 解答: 解:由 a1a2a3…a30=3 ,q=3 可知: a1a2a3…a30= = = =3 ,
30

∴ ∴a3a6a9…a30 = =



=3 ×3 20 =3 . 故选:C. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是中档题.
2

﹣135

155

10.已知两个正实数 x,y 满足 + =1,并且 x+2y≥m ﹣2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( ) A. (﹣2,4) B.[﹣2,4] C. (﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) D. (﹣∞,﹣2]∪[4,+∞) 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质可得 x+2y 的最小值,x+2y≥m ﹣2m 恒成立? ,即可得出. 解答: 解:∵两个正实数 x,y 满足 + =1, ∴x+2y=(x+2y) ∵x+2y≥m ﹣2m 恒成立, ∴
2 2 2

=4+

≥4+2

=8,当且仅当 x=2y=4 时取等号.



∴m ﹣2m≤8, 解得﹣2≤m≤4. ∴实数 m 的取值范围是[﹣2,4]. 故选:B. 点评: 本题考查了“乘 1 法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法,属于基 础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卷的横线上. 11.已知数列{an}是公差为﹣1 的等差数列,Sn 且其前 n 项和,若 S10=S13,则 a1= 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质可得 a12=0,再由通项公式可得 a1 解答: 解:由题意可得 S13﹣S10=a11+a12+a13=3a12=0, 解得 a12=0,又∵数列{an}是公差 d=﹣1 的等差数列 ∴a1=a12﹣11d=0﹣11(﹣1)=11 11 .

故答案为:11 点评: 本题考查等差数列的求和公式,涉及通项公式和等差数列的性质,属基础题.
2

12.若不等式 ax ﹣bx+2>0 的解集为{x|﹣ <x< },则 a+b= ﹣10 .

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由题意和三个二次的关系可得

,解方程组可得.

解答: 解:∵不等式 ax ﹣bx+2>0 的解集为{x|﹣ <x< },

2

∴a<0 且

,解得



∴a+b=﹣12+2=﹣10 故答案为:﹣10 点评: 本题考查一元二次不等式的解集,涉及韦达定理,属基础题.

13.在△ABC 中,A=

,AB=4 且 S△ABC=

,则 BC 边的长为



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 AB,sinA 及已知的面积,利用三角形面积公式求出 AC 的长,再由 AB,AC 及 cosA 的值,利用余弦定理即可求出 BC 的长. 解答: 解:∵A= ,AB=4 且 S△ABC= , ,

∴S△ABC= AB? AC? sinA,即 解得:AC=1,

= ×4AC×

由余弦定理得:BC =AB +AC ﹣2AB? AC? cosA=13, 则 BC= . 故答案为: . 点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余 弦定理是解本题的关键.

2

2

2

14.已知变量 x,y 满足约束条件为

,若目标函数 z=ax+y(a>0)仅在点

(4,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 ( ,+∞) .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即 可求出 a 的取值范围. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=ax+y(a>0)得 y=﹣ax+z, ∵a>0,∴目标函数的斜率 k=﹣a<0. 平移直线 y=﹣ax+z, 要使目标函数 z=ax+y(a>0)仅在点(4,0)处取得最大值, 则目标函数的斜率 k=﹣a< 即 a> , 故答案为: ( ,+∞) ,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根 据条件目标函数 z=ax+y 仅在点 A(4,0)处取得最大值,确定直线的位置是解决本题的关 键.

15.已知数列{an}的通项公式 an=nsin

+1,前 n 项和 Sn,则 S2014= 3021 .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由题意,an=nsin

+1=

,分类求和即可.

解答: 解:由题意,

an=nsin

+1=



则 S2014=2+1+(﹣3+1)+1+6+1+(﹣7+1)+1+…+2014+1 =(2+6+10+…+2014)+2×503﹣(2+6+10+…+2010)+1 =2014+1006+1=3021. 故答案为:3021. 点评: 本题考查了数列的求和,注意通项类似周期变化,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 且 asinA+csinC﹣ asinC=bsinB. (1)求角 B 的大小; (2)若 A=60°,b=2,求边 a,c 的大小. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由正弦定理得出 ,然后由余弦定理即可得出结果;

(2)首先求出 C 的度数,然后由正弦定理求出 a 和 c 的值即可. 解答: 解: (1)由正弦定理知, ∴ , ,

由余弦定理得,cosB=



∴B∈(0°,180°) , 故 B=30°, (2)∵A+B+C=180°,∴C=180°﹣(A+B)=180°﹣(60°+30°)=90°, 由正弦定理 ,

a=

=2



c=

=4. .

点评: 本题主要考查的是余弦定理和正弦定理,灵活运用定理是解题的关键. 17.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足 2a1+a2=8,a2a6=4 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2an,求数列{ }的前 n 项和 Sn. .

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{an}的公比 q>0,由于 2a1+a2=8,a2a6=4 .可得

,解得即可得出.

(2) 利用指数运算与对数运算法则可得: bn=log2a1+log2a2+log2a3+…+log2an= 是 .利用“裂项求和”即可得出数列{ }的前 n 项和 Sn.

. 于

解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比 q>0, ∵2a1+a2=8,a2a6=4 .



,解得







(2)bn=log2a1+log2a2+log2a3+… +log2an= ∴ ∴数列{ = = . . }的前 n 项和 Sn=2 = = .

点评: 本题考查了等比数列的通项公式、指数运算与对数运算法则、 “裂项求和”方法,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.解关于 x 的不等式 x +x﹣a(a﹣1)>0, (a∈R) .
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题可以先对不等式左边进行因式分解,再对相应方程根的大小进行分类讨论,得 到本题结论. 解答: 解:∵关于 x 的不等式 x +x﹣a(a﹣1)>0, ∴(x+a) (x+1﹣a)>0, 当﹣a>a﹣1,即 时,x<a﹣1 或 x>﹣a,
2

当 a﹣1>﹣a,即 a> 时,x<﹣a 或 x>a﹣1, 当 a﹣1=﹣a,即 ∴当 时,x ,

时,原不等式的解集为:{x|x<a﹣1 或 x>﹣a},

当 a> 时,原不等式的解集为:{x|x<﹣a 或 x>a﹣1}, 当 时,原不等式的解集为:{x|x ,x∈R}.

点评: 本题考查了一元二次不等式的解法,还考查了分类讨论的数学思想,本题难度不大, 属于基础题.
2 2 2

19.已知函数 f(x)= (sin x﹣cos x+

)﹣

sin (x﹣

) ,x∈R.

(1)求函数 f(x)的弹道递增区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f(B)=1,b=2,求△ABC 的面积 的最大值. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,再利用两角和与差的正弦函数 公式化为一个角的正弦函数,利用正弦函数的单调性确定出 f(x)的递增区间即可; (2)f(B)=1,求出 B 的度数,利用余弦定理列出关系式,把 b,cosB 的值代入,并利用 基本不等式求出 ac 的最大值,即可确定出三角形面积的最大值. 解答: 解: (1)f(x)= ( (2x﹣ 令﹣ ) , +2kπ≤2x﹣ ≤ +2kπ,k∈Z,得到 kπ﹣ ,kπ+ )=1, ≤x≤kπ+ ,k∈Z, ﹣cos2x)﹣ [1﹣cos(2x﹣ )]= sin2x﹣ cos2x=sin

则函数 f(x)的单调递增区间[kπ﹣ (2)由 f(B)=1,得到 sin(2B﹣

],k∈Z;

∴2B﹣

=

,即 B=
2 2 2


2 2

由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 4=a +c ﹣ac≥2ac﹣ac=ac,即 ac≤4, ∴S△ABC= acsinB= ac≤ ,

则△ABC 的面积的最大值为 . 点评: 此题考查了余弦定理,正弦函数的单调性,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及 公式是解本题的关键. 20.某企业为解决困难职工的住房问题,决定分批建设保障性住房供给困难职工,首批计划 用 100 万元购买一块土地,该土地可以建造每层 1000 平方米的楼房一幢,楼房的每平方米 建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元,已知建 筑 5 层楼房时,每平方米的建筑费用为 1000 元. (1)若建筑楼房为 x 层,该楼房的综合费用为 y 万元(综合费用为建筑费用与购地费用之 和) ,求 y=f(x)的表达式. (2)为了使该幢楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼房建成几层?此时平均综合费 用为每平方米多少元? 考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析:1) 第 1 层楼房每平方米建筑费用为 920 元, 第 1 层楼房建筑费用为 920×1000=920000 (元)=92(万元) ; 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 20×1000=20000(元)=2(万元) ;第 x 层楼房建筑 费用为 92+(x﹣1)×2=2x+90(万元) ;建筑第 x 层楼时,楼房综合费用=建筑总费用(等 差数列前 n 项和)+购地费用,由此可得 y=f(x) ; (2)楼房每平方米的平均综合费用为 g(x) ,则 g(x)= (元) ,代入(1)

中 f(x)整理,求出最小值即可. 解答: 解: (1)由题意知,建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为:920 元. 建筑第 1 层楼房建筑费用为:920×1000=920000(元)=92(万元) 楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:20×1000=20000(元)=2(万元) 建筑第 x 层楼房建筑费用为:92+(x﹣1)×2=2x+90(万元) 建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y=f(x)=x +91x+100(x≥1,x∈Z) (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为 g(x) ,则: g(x)= 当且仅当 10x= =10x+ +910≥1110,
2

,即 x=10 时,等号成立;

所以,学校应把楼层建成 10 层.此时平均综合费用为每平方米 1110 元. 点评: 本题考查了等差数列前 n 项和的应用,基本不等式的应用;应用基本不等式求最值 时,要注意“=”成立的条件. 21.已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且 a1a5=45,a2+a4=18,数列{bn}的前 n 项 和为 Sn,且 Sn=2bn﹣2.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=an? bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,…,第 an 项,…删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列{dn},求数列{dn}的前 2014 项和 M2014. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)等差数列{an}公差 d>0,利用等差数列的通项公式可得 解得即可. 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2bn﹣2.可得 n=1 时 b1=2b1﹣2,解得 b1.当 n≥2 时,bn=Sn ﹣Sn﹣1,化为 bn=2bn﹣1,利用等比数列的通项公式即可得出. n (2)cn=an? bn=3n? 2 ,利用“错位相减法”可得数列{cn}的前 n 项和 Tn. (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,…,第 an 项,…删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列{dn}, 可得 d1=b1=2,d2= ,d3=b4=2 ,
4



,…,其奇数项与偶数项分别组成公比均为 8

的等比数列. 利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)∵等差数列{an}公差 d>0,且 a1a5=45,a2+a4=18, ∴ ,解得 .

∴an=3+3(n﹣1)=3n. ∵数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2bn﹣2. ∴n=1 时 b1=2b1﹣2,解得 b1=2.当 n≥2 时, bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) ,化为 bn=2bn﹣1, n ∴数列{bn}是等比数列,bn=2 . n 2 3 n (2)cn=an? bn=3n? 2 ,则数列{cn}的前 n 项和 Tn=3(2+2×2 +3×2 +…+n? 2 ) , 2 3 4 n n+1 2Tn=3[2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 ], 两式相减可得: ﹣Tn=3(2+2 +…+2 ﹣n? 2 ) = ﹣6, 化为 Tn=6+3(n﹣1) ? 2 . (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,…,第 an 项,…删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列{dn}, 则 d1=b1=2,d2= ,d3=b4=2 ,
4 n+1 2 n n+1

=3(1﹣n) ?2

n+1

,…,

则其奇数项与偶数项分别组成公比均为 8 的等比数列. 数列{dn}的前 2014 项和 M2014=(d1+d3+…+d2013)+(d2+d4+…+d2014) = +

=



点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、 “错位相减法” 、分 类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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