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(数学)揭阳普宁二中2013届高二期中考试


揭阳普宁二中 2013 届高二期中考试 数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分) 1、已知等差数列 { a n } 中, a 7 ? a 8 ? a 9 ? 21 ,则 a 8 的值为( A.6 B.7
?



C.8
?

D.9 )

2

、在 ? ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ? ABC 的面积是( A. 9
x ?1 2x ?1
1 2 ? ? ?

B. 18
? 0 的解集为(

C. 9 3

D. 18 3

3、不等式



A. ? ?
?

?

,1

B. ? ?
?

?

1 2

,1

? ? ?

C. ? ? ? . ?
?

?

1? ? ? ?1, ?? 2?

?

D. ? ? ? , ?
?

?

1? ? ?1, ?? 2? ?

?

4、三个数 a,b,c 既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( A. b ? a ? c ? b B. b ? ac
2



C. a ? b ? c

D. a ? b ? c ? 0

5、△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 等于( A.
1 4

) B.
4 x ?1 3 4 ( x ? 1) 的最小值是(

C. )

2 4

D.

2 3

6、函数 y ? x ? A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

7、右图给出一个“直角三角形数阵” :满足每一列成等差 数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行 的公比相等,记第 i 行第 j 列的数为 a ij ( i ? j , i , j ? N ) , 则 a 8 3 =( A.
1 8
?

) B.
1 4

C.

1 2

D. 1
?

8、数列 ?a n ? 的首项为 3, ?b n ? 为等差数列,且 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,若 b 3 ? ? 2 ,
b 10 ? 12 ,则 a 8 ? (

) C.8
1

A.0

B.3

D.11

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、已知 a , b 都是实数,那么“ a
2

? b ”是“ a ? b ”的_________________条件.
2

10、等比数列 { a n } 中, a 3 ? 7 , a 1 ? a 2 ? 1 4 ,则公比为
2

____

.

11、若 x ? 2 kx ? ( k ? 2 ) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 k 的取值范围是_____. 12、设 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ( ? 1 )
a

n?1

? n ,则 S 2 0 1 2 ?

.
1 b
2n

b 13、设 a ? 0 , b ? 0 .若 3 是 3 与 3 的等比中项,则

1 a

?

的最小值为________.
( n ? 3 ) ,则当 n ? 1 时,

14、已知等比数列 { a n } 满足 a n ? 0 , n ? 1, 2 ,? ,且 a 5 ? a 2 n ? 5 ? 2
lo g 2 a 1 ? lo g 2 a 3 ? ? ? lo g 2 a 2 n ? 1 ?

.

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) 15、 (本小题 12 分)在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足
cos A 2 ? 2 5 5

, AB ? AC ? 3 .

(1)求 ? A B C 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值.

16、 (本小题 12 分)已知 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根;
2

q :方 4x 程

2

? 4 ( m ? 2 ) x ? 1 ? 0 无实根.若“ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假,求 m “

的取值范围.

17、(本小题 14 分)四棱锥 P ? ABCD

中,底面 ABCD 是正方形, PA ? 面 ABCD ,

垂足为点 A , PA ? AB ? 2 ,点 M , N 分别是 PD , PB 的中点. (1) 求证: PB // 平面 ACM ; (2) 求证: MN ? 平面 PAC ; (3) 求四面体 A ? MBC 的体积.

2

18、 (本小题 14 分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机, 由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要 根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到 最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查, 得到关于这两种产品的有关数据如下表: 单位产品所需资金(百元) 资 成 金 空调机 本 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应量 (百元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?

19、 (本小题 14 分)在平面直角坐标系 x O y 中,已知圆C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 1 5 ? 0 ,直线 l 的 方程为 y ? k x ? 2 . (1)若直线 l 被圆 C 所截得弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,求 k 的最大 值.

20.(本小题 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( ) ,等比数列 { a n } 的前 n 项和为 f ( n ) ? c ,正项
x

1

3

数列 { b n } 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n ?1 = S n + S n ? 1 ( n ? 2 ). (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)证明数列 ? S n ? 是等差数列,并求 S n ; (3)若数列{
1 b n b n ?1 } 前 n 项和为 T n ,问 T n ?
1000 2009

的最小正整数 n 是多少? .

(4)设 c n ?

2bn an

, 求数列 ?c n ? 的前 n 项和 P n .

3

参考答案
1---8:BCAD BBCB 9、既不充分也不必要 10、
1 2
cos A ? 2 cos
2

或1
A 2

11、 (-2,1)
2 5 5 ) ?1 ?
2

12、-1006
3 5

13、4

14、n2

?1 ? 2? (

15、解: (1)∵ 又 A ? (0, ? ) , ∴ sin A ?
1 ? cos
2

????2 分

A ?

4 5

,????3 分
3 5 bc ,

∴3= AB ? AC ? | AB || AC | cos A ? ∴ bc ? 5 ,????5 分 ∴ ? ABC 的面积为:
1 2 bc sin A ? 1 2

?5?

4 5

? 2 ????6 分

(2)由(Ⅰ)知 bc ? 5 ,又 c ? 1 ,∴ b ? 5 ????8 分 ∴a ?
b
2

? c ? 2 bc cos A ?
2

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5 ????12 分

16、解:若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,
?? ? m 2 ? 4 ? 0 则? ?m ? 0

????2 分

解得 m>2,即 p:m>2 ?????4 分 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 ????6 分 解得:1<m<3,即 q:1<m<3. ????8 分 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真, 又“p 且 q”为假,所以 p、q 至少有一为假, 因此,p、q 两命题应一真一假, 即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真. ????10 分 ∴?
?m ? 2 ?m ? 2 或? 解得:m≥3 或 1<m≤2.?????12 分 ? m ? 1或 m ? 3 ?1 ? m ? 3

P M N A
O

17、证明: (1)连接 AC,BD,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 MO. ∵点 O,M 分别是 BD,PD 的中点 ∴MO//PB,????2 分 又 PB ? 面 ACM,MO ? 面 ACM
B

D C

4

∴PB//面 ACM. ????4 分 (2)∵PA⊥面 ABCD ∴PA⊥BD ????5 分 ∵底面 ABCD 是正方形 ∴AC⊥BD ????6 分 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥面 PAC ????7 分 在⊿PBD 中,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点 ∴MN//BD ????8 分 ∴MN⊥面 PAC ????9 分 (3)∵ V A ? MBC ∴ V A ? MBC
? 1 3

? V M ? ABC ?
?( 1 2

1 3

? S Δ ABC ? h ,且 h ?
1 2 ? PA ) ? 2 3

1 2

PA

????11 分

? AB ? AD ) ? (

????14 分

18、解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P, 则 P=6x+8y,????2 分
? 30 x ? 20 y ? 300 ? ? 5 x ? 10 y ? 110 ????6 分 ? x ? 0, y ? 0 ? ?x ? N , y ? N ?

约束条件为

可行域如图所示:
P ? 6 x ? 8 y 可化为 y ? ?

3 4

x?

1 8

P ,可看作一组斜率为 ?

3 4

的直线,

由图知直线 y=-

3 4

x+

1 8

P 过点 M 时,纵截距最大这时 P 也取最大值,?10 分

由?

? 30 x ? 20 y ? 300 ? 5 x ? 10 y ? 110

解得 M ( 4 , 9 ) ????12 分

? Pmax=6×4+8×9=96(百元)

故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元 19、解: (1)法一:
2 (利用弦长公式 L= 1 ? k ? | x 1 ? x 2 |?

?14 分

1? k

2

?

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x 2 )
2

设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L,直线 l 与圆 C 的两个交点分别为 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 )

5

由?

? y ? kx ? 2 ?x
2

? y

2

? 8 x ? 15 ? 0

消 y,得 ( 1 ? k ) x ? ( 4 k ? 8 ) x ? 19 ? 0 ????2 分
2 2

由韦达定理,得 x 1 ? x 2 ?

4k ? 8 1? k
2

, x1 x2 ?

19 1? k
19
2

????4 分

由题意有 L= 1 ? k

2

?

(

4k ? 8 1? k
2

) ? 4?
2

1? k

2

=2

????6 分

化简得 4 k 2 ? 4 k ? 1 ? 0
1 2

解得 k ?

????8 分

法二: (利用垂径定理 L= 2 r ? d
2

2

)设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L.

圆 C 的方程可化为 ( x ? 4 ) ? y
2

2

? 1 ,圆心为 C ( 4 , 0 ) ,半径为 r ? 1 ,?2 分
| 4k ? 2 | k
2

设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ,则 d ?

,????4 分

?1
2 2

由垂径定理可知,直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 L=2 r ? d
? | 4k ? 2 | ? ? 故由题意,可得 2 1 ? ? ? ? 2 k ?1 ? ?
2 2

? 2 ????6 分

化简得, k ?

1 2

????8 分

(2)∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 ,
2

∴圆 C 的圆心为 ( 4 , 0 ) ,半径为 1. ∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A ( x 0 , kx 0 ? 2 ) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点; ∴存在 x 0 ? R ,使得 A C ? 1 ? 1 成立,即 A C m in ? 2 .????10 分 ∵ A C m in 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离
4k ? 2 k ?1
2

4k ? 2 k ?1
2

,



? 2 ,解得 0 ? k ?

4 3

.????13 分

6

∴ k 的最大值是

4 3

. ????14 分
1 3 ? c , a2 ? ? f ?

20 解: (1)因为 a 1 ? f ? 1 ? ? c ?

? 2 ? ? c ? ? ? f ?1 ? ? c ? ? ? ?
2 27

? ?

2 9

,

a3 ? ? f ? 3 ? ? c ? ? ? f ? ? ?

?2? ? c? ?

? ?

.

又数列 ? a n ? 成等比数列,
4
2

所以 a 1 ?

a2

? ?

a3

81 ? ? 2 ? 1 ? c 解得 c ? 1 ;????2 分 2 3 3 27

又公比 q ?

a2 a1

?

1 3



2?1? 所以 a n ? ? ? ? 3?3?

n ?1

?1? * ? ? 2 ? ? n ? N ;????3 分 3? ?

n

(2)? S n ? S n ? 1 ? 即
?

Sn ?

S n ?1

?n ? 2?
Sn ? S n ?1

(

Sn ?
Sn ?

S n ? 1 )(

Sn ?

S n ?1 ) ?

?n ? 2?

S n ? 1 ? 1 ( n ? 2 )????5 分

又 S1 ?

b1 ?

c ?1

∴数列 ? S n ? 构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,
2 ∴ S n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n ,∴ S n ? n

????6 分

2 (3) 由(2)已得 S n ? n

当 n ? 2 时, b n ? S n ? S n ? 1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1
2 2

(*)

又 b1 ? S 1 ? 1, 适合(*)式
? b n ? 2 n ? 1 ( n ? N ) ????8 分
*

?

1 b n b n ?1

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1) 1 b2 b3 1 b3b4

?

1

2 2n ? 1 1

(

1

?

1 2n ? 1

)

? Tn ?

1 b1 b 2

?

?

?? ?

b n b n ?1

7

?

1 2

(1 ?

1 3

)?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? )?? ? ( ? ) 2 3 5 2 5 7 2 2n ? 1 2n ? 1

?

1? 1 ? n ;????10 分 ?1 ? ?? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1
n 2n ? 1 ? 1000 2009

由 Tn ?

得n ?

1000 9



故满足 T n ? (4) c n ?

1000 2009

的最小正整数为 112. ????11 分

2bn an

? (1 ? 2 n ) ? 3 . ????12 分
n

∴ Pn ? ( ? 1) ? 3 ? ( ? 3 ) ? 3 2 ? ( ? 5 ) ? 3 3 ? ? ? (1 ? 2 n ) ? 3 n
2 3 4 n


n ?1

3 Pn ? ( ? 1) ? 3 ? ( ? 3 ) ? 3 ? ( ? 5 ) ? 3 ? ? ? ( 3 ? 2 n ) ? 3 ? (1 ? 2 n ) ? 3



②—① 得 2 Pn ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 2 ? 3 3 ? ? ? 2 ? 3 n ? (1 ? 2 n ) ? 3 n ? 1
? 3? 2? 3 (1 ? 3
2 n ?1

)

1? 3
n ?1

? (1 ? 2 n ) ? 3

n ?1

? (2 ? 2n) ? 3

? 6.



Pn ? (1 ? n ) ? 3

n ?1

? 3 . ????14 分

8


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