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高中试卷广东省揭阳市第一中学2014-2015学年高二下学期第二次阶段考试理数试题


揭阳第一中学 2014-2015 年度第二学期第 2 次阶段考试 高二级理科数学 试题
参考数据: 1、台体的体积公式: V ?

1 ( S ? S ' S ? S ' )h ,其中 S ' 、 S 分别表示上、下底面面积, h 表示高; 3

2、若 X ~ N (? , ? 2 ) ,有 P(? ?

? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6828, P( ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544,

P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 集合 A ? {x | ln x ? 0} , B ? {x | x ? 16} ,则 A ? B ? (
2



A. (1,4)

B. [1,4)

z?
2.已知复数

2

C. [1,??) )

D. [e,4)

1 ? 3i

,则 z 等于(

A.

2 2

B. 1

C. 2

D. 2 ) D.既不充分也不必要条件
2

3.“ ? ? ? ”是“曲线 y ? sin(2 x ? ? ) 过坐标原点”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

1,2?, B ? ?6?, C ? ?3,4,7?,从这三个集合中各取一 4. 已知集合 A ? ?
个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 )
2

1 4
侧(左)视图 正(主)视图

5.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本,若将其 随机地并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都相邻的概率是( A. )
(第 6 题图)

1 5


B.

2 5

C.

1 10

D.

3 20

俯视图

6. 某几何体的三视图如图所示,俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 (

A.

20 π 3

B.

10 π 3

C. 6π

D.

16 π 3

·1·

7. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ) ,则 P(? ? 4) ? ( A. 0.0013 B. 0.0026 C. 0.0228

9 4



D. 0.0456 )

8.等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 a10 ? ( A. 12 B.

10

C. 1 ? log3 5

D. 2 ? log3 5

9. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由 K2 ? 附表: 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

110? (40? 30 ? 20? 20) 2 n(ad ? bc) 2 2 ? 7.8 . 得, K ? 60? 50? 60? 50 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k )

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

k

参照附表,下列结论正确的是( ) A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

x2 y 2 10. 若椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的面积为 ab? ,则 ? 0 2 a b
A.

2

1 ? 2 x 2 dx ? (
D.
2? 8



? 4

B.

? 8

C.

2? 4

11.设 F1 、 F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2 ,已知圆 F2 经过椭圆的中心,且与椭圆相交 于M 点,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为( A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C. ) D.

2 2

3 2

12.设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x ) ? f ( 和为( )
·2·

x?3 ) 的所有 x 之 x?4

A. 3

B. ? 3

C. 8

D. ? 8

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 tan ? ? 3 ,则 sin 2? ? . 14.在矩形 ABCD 中, AB ? (1 , ? 3) , AC ? (k , ? 2) ,则实数 k ? 15.已知等差数列 ?a n ?中,有

??? ?

??? ?



a11 ? a12 ? ? ? a20 a1 ? a2 ? ? ? a30 成立.类似地,在等比数列 ?bn ? ? 10 30

中, 有_____________________成立. 16. 函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x .若在 区间 [ ?2,3] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根, 则实数 a 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)已知 f ( x) ? cos x ?
2

3 1 sin 2 x ? , 2 2

(1)写出 f ( x) 图像的对称中心的坐标和单调递增区间; (2) ?ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 f ( A) ? 1 ? 0 , b ? c ? 2 .求 a 的最小 值.

18.(本小题满分 10 分)某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶):

幸福度 7 8 9 3 0 7 8 8 9 9

6 6 6 6 7 7 6 5 5

若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”. (1)从这 16 人中随机选取 3 人,记 X 表示抽到“极幸福”的人数,求 X 的分布列及数学期望,并
·3·

求出至多有 1 人是“极幸福”的概率; (2)以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选 3 人,记 ? 表示 抽到“极幸福”的人数,求 ? 的数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 与矩形 BDEF 所在平面互相垂直, ?BAD ? (1)求证: FC ∥ 平面 AED; (2)若 BF ? k ? BD ,当二面角 A ? EF ? C 为直二面角时,求 k 的值; (3)在(2)的条件下,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 ? 的正弦值.

?
3



20. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? an , (n ? 1,2,3,?) . (1)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;
* (2)令 bn ? (2 ? n)(an ? 1) ( n ? 1, 2,3... ) ,如果对任意 n ? N ,都有 bn ?

1 t ? t 2 ,求实数 t 的取 4

值范围.

21. (本小题满分 12 分)如图,过点 D(0, ?2) 作抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的切线 l ,切点 A 在第二象
2

限. (1)求切点 A 的纵坐标; (2) 若离心率为

x2 y2 3 的椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 恰好经过切点 A , 设切线 l 交椭圆的另一点为 B , a b 2
·4·

记切线 l , OA , OB 的斜率分别为 k , k1 , k 2 ,若 k1 ? 2k2 ? 4k ,求椭圆方程.

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? a ? x ? 1? ,其中 a ? 0 . (1) 若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有极大值 0,求 a 的值; (提示:当且仅当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 ) (2) 讨论并求出函数 f ( x) 在区间 [ , e ] 上的最大值; (3)在(2)的条件下设 h( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,对任意 x1 , x2 ? (0, ??)( x1 ? x2 ) , 证明:不等式

1 e

x1 ? x2 x ? x2 恒成立. ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2

·5·

揭阳第一中学 2014-2015 年度第二学期第 2 次阶段考试 高二级理科数学 答案
一、选择题:BBADA BCBCD AD 二、填空题: 13. 三、解答题: 17.解: (1)化简得: f ( x ) ? cos( 2 x ? 对称中心为: (

3 5

14. 4

15. 10 b11b12 ?b20 ? 30 b1b2 ?b30

16.

2 2 ?a? 5 3

?
3

) ,???2 分

k? ? 2 ? ? ,0)( k ? Z ) ,??4 分,单调递增区间为: [ k? ? ? , k? ? ]( k ? Z ) ??6 2 12 3 6

分(2)由(1)知: f ( A) ? cos( 2 A ?

?

? 0 ? A ? ? ,?

7? ? ? ,? 2 A ? ? ? ,? A ? ,???8 分 3 3 3 3 3 ? b ? c 2 2 2 2 ) ? 1, 根据余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos ? 4 ? 3bc ? 4 ? 3( 3 2 当且仅当 b ? c ? 1 时, a 取最小值 1.???12 分 ? 2A ? ?
18.解: (1) X 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ,???1 分
3 2 1 C12 C12 C4 11 33 , P( X ? 1) ? , P( X ? 0) ? 3 ? ? 3 70 C16 28 C16

?

?

3

) ? 1 ? 0 ,? cos( 2 A ?

?

3

) ? ?1 ,

P( X ? 2) ?

3 1 2 C4 C12 C4 1 9 , ,???3 分 P ( X ? 3 ) ? ? ? 3 3 70 C16 140 C16

? X 的分布列为

X
P

0
11 28

1

2
9 70

3
1 140

33 70

???4 分 数学期望 E ( X ) ? 0 ?

11 33 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? , 28 70 70 140 4

???5 分

至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A ,则 P( A) ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? 分

11 33 121 ? ? .???6 28 70 140
4 1 ? 16 4

(2)解法一: ξ 的可能取值为0、1、2、3,随机选取1人是“极幸福”的概率为 P ?

·6·

3 ∴ P (? ? 0) ? ( ) ?

3 4

27 ; 64

1 P (? ? 1) ? C 3

1 3 2 27 ( ) ? 4 4 64

1 3 9 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; 4 4 64
∴ ? 的分布列为

1 1 P (? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 64

ξ
P

0
27 64

1

2
9 64

3
1 64

27 64

数学期望 E (? ) ? 0 ?

27 27 9 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 0.75 . ???10分 64 64 64 64

解法二:依题意知,随机选取1人是“极幸福”的概率为 P ?

4 1 ? , 16 4 1 3 ? .???10 分 4 4

故随机变量 ? 满足二项分布 ? ~ B (3, ) ,故数学期望 E (? ) ? 3 ?

1 4

19. (1)证明:? FB ∥ ED, BC ∥ AD , PB ? BC ? B , ED ? AD ? D ,? 平面 FBC ∥平面 EDA, 故 FC ∥ 平面 AED???4 分 (2)解:取 EF, BD 的中点 M , N .由于 AE ? AF, CE ? CF , 所以 AM ? EF , CM ? EF ,

?AMC 就是二面角 A ? EF ? C 的平面角.???6 分
当二面角 A ? EF ? C 为直二面角时, MN ? AN ? (3)几何方法: 由(2) CM ? 平面 AEF ,欲求直线 BC 与平面 AEF 所成的角,先求 BC 与 MC 所成的角.??9 分 连结 BM ,设 BC ? 2. 则在 ?MBC 中, CM ?

3 3 BD ,即 k ? . ???8 分 2 2

2MN ? 2 ? 3 ? 6 , MB ? 2 ,
E

z

cos?MCB ?

6 MC 2 ? BC 2 ? MB 2 6 . ??12 分 ?? . ? sin ? ? 4 2MC ? BC 4

M F

(3)向量方法: 以 D 为原点, DC 为 y 轴、 DE 为 z 轴,建立如图的直角坐标系,
·7·
A x D N B C y

设 AD ? 2. 则 M (

3 1 , , 3 ) , C (0,2,0) ,平面 AEF 的法向量 2 2

n ? MC ? (?

n ? CB 6 3 3 , ,? 3 ) ,??10 分, CB ? DA ? ( 3,?1,0) . cos n, CB ? ?? . 2 2 4 n CB

? sin ? ?

6 . ???12 分 4
① ②

20.解: (1)由题可知: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ? n ? an

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? n ? 1 ? an?1
②—①可得 2an ?1 ? an ? 1 .即: an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,又 a1 ? 1 ? ? 所以数列 {an ? 1} 是以 ? 为首项,以

1 2

1 . 2

1 为公比的等比数列.???6 分 2 1 n?2 (2)由(1)可得 an ? 1 ? ( ) n , bn ? n . ???8 分 2 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 n ? 1 ? 2(n ? 2) 3 ? n 由 bn?1 ? bn ? ? n ? ? n?1 ? 0 ,可得 n ? 3 .而由 bn ?1 ? bn ? 0 可得 n ? 3 . 2n?1 2 2n?1 2 1 所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? ? ? bn ? ? ,故 bn 有最大值 b3 ? b4 ? .???10 分 8 1 1 1 所以,对任意 n ? N * ,有 bn ? .如果对任意 n ? N * ,都有 bn ? t ? t 2 ,即 bn ? t 2 ? t 成立, 8 4 4 1 1 1 1 1 则 (bn )max ? t 2 ? t ,故有: ? t 2 ? t .解得 t ? 或 t ? ? . 2 4 4 8 4 1 1 ? ?) 所以,实数 t 的取值范围是 ( ??, ? ] ? [ , .???12 分 4 2

1 2

x x 21.解: (1)设切点 A( x0 , y 0 ) ,且 y 0 ? 0 ,由切线 l 的斜率为 k ? 0 , p 2p
得 l 的方程为 y ? 分 (2)由(1)得 A(?2 p ,2) ,切线斜率 k ? ?

2

x0 x x x ? 0 ,又点 D(0,?2) 在 l 上,? 0 ? 2 ,即点 A 的纵坐标 y0 ? 2 .??4 p 2p 2p

2

2

2 p



设 B( x1 , y1 ) ,切线方程为 y ? kx ? 2 ,由 e ?

3 2 2 ,得 a ? 4b , 2

·8·

所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,且过 A(?2 p ,2) ,? b 2 ? p ? 4 . 2 2 4b b

16k ? x0 ? x1 ? ? ? y ? kx ? 2 ? 1 ? 4k 2 2 2 2 ? ( 1 ? 4 k ) x ? 16 kx ? 16 ? 4 b ? 0 ? 由? 2 . , ???7 分 ? 2 2 2 16 ? 4 b ? x ? 4 y ? 4b ?x x ? 0 1 ? 1 ? 4k 2 ?

? k1 ? 2k2 ? ?

y0 2 y1 x1 y0 ? 2 x0 y1 ? ? x0 x1 x0 x1 x1 (kx0 ? 2) ? 2 x0 (kx1 ? 2) x0 x1 2 x1 ? 4 x0 x0 x1

? 3k ?

2( x1 ? x0 ) ? 2 x0 x0 x1

32k ?4 p 2 ? 3k ? 1 ? 4k 16 ? 4b 2 1 ? 4k 2 ? 3k ? ? 4k 32k ? 4 p (1 ? 4k 2 ) 16 ? 4b 2
2

? 3k ?

将k ? ?

2 p

, b ? p ? 4 代入得: p ? 32 ,所以 b ? 36, a ? 144.
2 2

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1.??? 12 分 144 36

1 1 ? ax ?a ? ???1 分 x x 1 1 明显,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 a a 1 1 故函数 f ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减,???3 分 a a 1 因此函数 f ( x) 在 (0, ??) 上有极大值 f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a ? 0 a
22. 分析: (1) f '( x ) ? ∴ ln a ? a ? 1,解得 a ? 1 ???5 分

1 1 ? ax ?a ? x x 1 1 1 ①若 ? e ,即 0 ? a ? ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 , a e e 1 ? 函数 f ( x) 在 [ , e ] 上单调递增,则 f ( x)max ? f (e) ? 1 ? ea ? a .???6 分 e 1 1 1 1 1 1 ②若 ? ? e ,即 ? a ? e ,则函数 f (x)在 ( , ) 上单调递增,在 ( , e) 上单调递减, e a a e a e
(2)∵ f '( x ) ?
·9·

∴ f ( x) max ? f ( ) ? ? ln a ? 1 ? a .???7 分

1 a

1 1 1 1 ? ,即 a ? e ,则当 x ? [ , e] 时,有 f '( x) ? 0 ,函数 f (x)在 [ , e ] 上单调递减, a e e e 1 a 则 f ( x) max ? f ( ) ? ?1 ? ? a .???8 分 e e 1 1 综上得,当 0 ? a ? 时, f ( x)max ? 1 ? ea ? a ;当 ? a ? e 时, f ( x)max ? ? ln a ? 1 ? a ; e e a 当 a ? e 时, f ( x) max ? ?1 ? ? a .???9 分 e
③若 (3)要证明

x1 ? x2 x ? x2 x1 ? x2 x ? x2 ,只需证明 ???10 分 ? 1 ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2 ln x1 ? ln x2 2

x1 ?1 x2 x1 ? x2 1 1 x ? ln 1 ,???11 分 只需证明 ? ? ln x1 ? ln x2 ? 即证明 x1 2 x2 x1 ? x2 2 ?1 x2
不妨设 x1 ? x2 ? 0 ,令

t ?1 1 x1 ? ln t ? 0 ???12 分 ? t ,则 t ? 1 ,则需证明 t ?1 2 x2

t ?1 1 ? (t ? 1) 2 ? ln t (t ? 1) ,则 ? ?( x) ? 令 ? ( x) ? 1, ? ?)上单调递减 ? 0 ,?? (t )在( t ?1 2 2t (t ? 1) 2

? ? (t ) ? ? (1) ? 0即
故不等式

t ?1 1 ? ln t ? 0 t ?1 2

x1 ? x2 x ? x2 得证??…14 分 ? 1 h( x1 ) ? h( x2 ) 2

-END-

·10·

-END-

·11·


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