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北京市西城区(南区)2012-2013学年下学期高二期末质量检测数学试卷(理科)


北京市西城区(南区)2012-2013 学年下学期高二期末质量检测 数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 复数

2 化简的结果为( 1? i
B. ?1 ? i

) C. 1 ? i D. 1 ? i

A. ?1 ? i

2. ( x ? ) 8 展开式中的常数项等于 A. 70 B. 65 C. -70 D. -65

1 x

3. 给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集) : ① “若 a, b ? R , a ? b ? 0 ? a ? b ” 则 类比推出 “若 a, b ? C , a ? b ? 0 ? a ? b ” 则 ; ② “若 a,b,c, d ? R , 则复数 a ? bi ? c ? di ? a ? c ,b ? d ” 类比推出 “若 a,b,c, d ? Q , 则复数 a ? b 2 ? c ? d 2 ? a ? c ,b=d” ③“若 a, b ? R ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ”类比推出“若 a, b ? C ,则 a ? b ? 0 ? a ? b ” 其中类比得到的结论正确的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

4. 已知直线 l 经过(-1,0)(0,1)两点,且与曲线 y ? f (x) 切于点 A(2,3) , ,则

f (2 ? ?x) ? f (2) 的值为 ?x ? 0 ?x lim
A. -2 5. 函数 y ? A. (?1,1] 6. B. -1 C. 1 D. 2 ) D. (0,??)

1 2 x ? ln x 的单调递减区间是( 2
B. (0,1] ) B. e-1 C. 1-e

C. [1,??)

? e dx 的值为(
x 0

1

A. e+1

D. e

7. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试,由于其中两所学 校的考试时间相同, 因此该学生不能同时报考这两所学校。 则该学生不同的报考方法种数是

1

A. 16
2

B. 24

C. 36

D. 48

8. 若曲线 y ? x ? ax ? b 在点(0,b)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 A. a=1,b=1
2

B. a=-1,b=1

C. a=1,b=-1

D. a=-1,b=-1

9. 已知 ? ~ N (3, a ) ,若 P( ? ? 2 )=0.2,则 P (? ? 4) ? A. 0.2 B. 0.3
2

C. 0.7

D. 0.8

10. 若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导函数 f ' ( x) 的图象如下图所示,则函数 f (x) 的图象 可能是

11. 对同一目标进行两次射击,第一、二次射击命中目标的概率分别为 0.5 和 0.7,则两次 射击中至少有一次命中目标的概率是 A. 0.35 B. 0.42 C. 0.85 D. 0.15

12. 已知 f (x) 是定义在 R 上的可导函数, 若函数 F ( x) ? xf ( x) , 满足 F ' ( x) ? 0 对 x ? R 恒成立,则下面四个结论中,所有正确结论的序号是 ① f (1) ? f (?1) ? 0 ; ② f ( x) ? 0 对 x ? R 成立;

③ f (x) 可能是奇函数; ④ f (x) 一定没有极值点。 A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 复数 z ? ?2i 的共轭复数是______________。

2

14. (5 x ? x ) 展开式中所有系数和为 M,所有二项式系数和为 N,则 (用数字作答) 15. 函数 f ( x) ?

1 2

1 3 6

M ? ________。 N

1 3 x ? ax ? 4 有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是_________。 3

16. 马老师从课本上抄录一个随机变量 ? 的概率分布列如下表: x 1 ? 2 ! 3 ?

P(? ? x)

请小牛同学计算 ? 的数学期望,尽管“! ”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但 能断定这两个“?”处的数值相同,据此,小牛给出了正确答案 E? =__________。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 36 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 7 分)设函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ? x( x ? R )
3 2

(I)求曲线 y ? f (x) 在点(2, f (2) )处的切线方程; (II)求函数 f (x) 在区间[0,2]上的最大值与最小值。 18. (本小题满分 8 分)4 个男同学,3 个女同学站成一排。 (I)男生甲必须排在正中间,有多少种不同的排法? (II)3 个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法? (III)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法? (IV)其中甲、乙两名同学之间必须有 3 人,有多少种不同的排法?(用数字作答) 19. (本小题满分 7 分)用数学归纳法证明等式:

12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ? ?n(2n ? 1)(n ? N *)
20. (本小题满分 7 分)甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的 胜利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果 相互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (II) ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数, ? 的概率分布列及数学期望。 设 求 21. (本小题满分 7 分)已知函数 f ( x) ? x ?

1 2 ax ? ln(1 ? x) ,其中 a ? R 2

3

(I)若 x=2 是 f(x)的极值点,求 a 的值; (II)求 f (x) 的单调区间。

4

参考答案
一、选择题: 1. D 7. A 2. A 8. B 3. C 9. D 4. C 10. D 5. B 11. C 6. B 12. A

二、填空题: 13. 2i 三、解答题: 。 14. 64 15. ( ? ? ,0) 16. 2

19. 解:①n=1 时, 左边 ? 12 ? 2 2 ? ?3 ,右边=-3,等式成立 ②假设 n ? k 时,等式成立, 即 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2k ? 1) ? (2k ) ? ? k (2k ? 1)
2 2 2 2 2 2

2分

3分

当 n ? k ? 1 时,

12 ? 2 2 ? 32 ? 4 2 ? ? ? (2k ? 1) 2 ? (2k ) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 2) 2
5

? ?k (2k ? 1) ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 2) 2 ? ?k (2k ? 1) ? (4k ? 3) ? ?(2k 2 ? 5k ? 3) ? ?(k ? 1)[2(k ? 1) ? 1]
所以 n ? k ? 1 时,等式也成立。 由①②得,等式对任何 n ? N * 都成立 20. 记 Ai 表示事件;第 i 局甲获胜,i=3,4,5 7分

6分

B j 表示事件:第 j 局乙获胜,j=3,4,5
(I)设“再赛 2 局结束这次比赛”为事件 A,则

A ? A3 A4 ? B3 B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 A ? A3 A4 ? B3 B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P( A) ? P( A3 A4 ? B3 B4 ) ? P( A3 A4 ) ? P( B3 B4 ) ? P( A3 ) P( A4 ) ? P ( B3 ) P ( B4 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52
(II) ? 的可能取值为 2,3 由于各局比赛结果相互独立,所以 P (? ? 2) ? P ( A3 A4 ? B3 B4 ) 2分

? P( A3 A4 ) ? P( B3 B4 ) ? P ( A3 ) P ( A4 ) ? P ( B3 ) P ( B4 ) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.52
P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 2) ? 1

0.52 ? 0.48

5分

? 的分布列为 ?
P 2 0.52 3 0.48 7分

E? ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? 2 ? 0.52 ? 3 ? 0.48 ? 2.48

x(1 ? a ? ax) , x ? (?1,??) x ?1 1 依题意,令 f ' (2) ? 0 ,解得 a ? 2分 3 1 1 经检验,当 a ? 时,x=2 是 f (x) 的极值点。 ?a ? 3 3 x (II)①当 a=0 时, f ' ( x) ? x ?1
21. (I)解: f ' ( x) ?
6

故 f(x)的单调增区间是(0, ? ? ) ;单调减区间是(-1,0) ②当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 ,或 x2 ? 当 0 ? a ? 1 时,f(x)与 f ' ( x) 的情况如下: x (-1, x1 ) ↘

3分

1 ?1 a

x1
0

( x1 , x2 ) + ↗

x2
0

( x2 ,?? ) + ↘

f ' ( x)
f (x)

f ( x1 )

f ( x2 )

所以, f (x) 的单调增区间是(0, 4分

1 1 ;单调增区间是(-1,0)和( ? 1 , ? ? ) ?1) a a

当 a=1 时, f (x) 的单调减区间是(-1, ? ? )

5分

当 a ? 1 时, ? 1 ? x2 ? 0 , f (x) 与 f ' ( x) 的情况如下: x (-1, x2 ) ↘

x2
0

( x2 , x1 ) + ↗

x1
0

( x1 ? ? ) + ↘

f ' ( x)
f(x)

f ( x2 )

f ( x1 )

所以,f(x)的单调增区间是( 分

1 1 ;单调减区间是(-1, ? 1 )和(0, ? ? )6 ? 1 ,0) a a

③当 a ? 0 时,f(x)的单调增区间是(0, ? ? ) ;单调减区间是(-1,0) 综上,当 a ? 0 时,f(x)的增区间是(0, ? ? ) ,减区间是(-1,0) ; 当 0 ? a ? 1 时,f(x)的增区间是(0,

7分

1 1 ,减区间是(-1,0)和( ? 1 , ? ? ) ; ?1) a a

当 a=1 时,f(x)的减区间是(-1, ? ? ) ; 当 a ? 1 时,f(x)的增区间是(

1 1 ;减区间是(-1, ? 1 )和(0, ? ? ) ? 1 ,0) a a

7


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