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安徽省池州一中2014届高三上学期第三次月考数学(文)试题 扫描版含答案


池州一中 2014 届高三上学期第三次月考数学(文)试题
第Ⅰ卷
(选择题 共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项.

A.

1 2

B. 5

C. 6

D. 7 )

⒍ Direchlet 函数定义为: D(t ) ? ? A. D(t ) 的值域为 ?0,1? C. D(t ) 不是周期函数

?1 t ? Q ,关于函数 D(t ) 的性质叙述不正确的是( ... ?0 t ? ?RQ

B. D(t ) 为偶函数 D. D(t ) 不是单调函数

⒎ 把函数 y ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,|? |?
? 3 ? C. ? 6

?

2 ,则 2A ? ? ? ? ? ( y ? f ? x? 的图象(如图)
? 3 ? D. 6

)的图象向左平移

? 个单位得到 3



A. ?

B.

⒏ 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( 4 )? ? 3, 且 对 任 意 x ? R 总 有 ) f ?( x ) ? 3, 则不等式 f ( x) ? 3x ? 15 的解集为( A. ? ??,4 ? B. ? ??, ?4? C. ? ??, ?4? ? ? 4, ?? ?
? ⒐ 已知 f ( x)= ? ? sin ? x ?

D. ? 4, ?? ?

? lg x ?

13 ?x?0 , 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个不同的零点, k 的取值范围 则 6 x?0

是(

) B. ?1 ? k ? ?
1 2

A. k ? ?1

C. ?1 ? k ? ? 或 0 ? k ? 1

1 2

D. ?1 ? k ? ? 或 0 ? k ? 1

1 2

⒑ 已知函数 y ? f ( x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,当
?2? b ? f ? log? 3? , c ? f ? ? log3 9 ? 则 a, b, c 的大小关系是(

? x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ? ? ? sin x ? ? ln x , (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) ,若 a ? f ? 30.3 ? , ? ?

) D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:共 5 小题,每小题 5 分,计 25 分.
) ⒒ 已 知 幂 函 数 y ? (m2 ? m ? 1 x m 为 .
2

? 2 ? 3 m

, 在 区 间 ( 0 ?? ) 单 调 递 减 , 则 实 数 m 的 值 上
??? ? ????

⒓ P 、 是边长为 1 的等边三角形 ?ABC 边 BC 上的两个三等分点, 2AP ? AQ ? 则 Q
? ⒔已知奇函数 f ( x)= ? ? x x?0

.

? g ( x) x ? 0 ?

,则 g (?2) ?

.

⒕已知集合 A ? x f ( x) ? lg ? x 2 ? 2 x ? 3? , B ? ? y y ? 2 x ? a, x ? 2? .若 A ? B ? A ,则 a 的取值范围 是 .

?

?

⒖函数 f ( x) ?

b ,故称其为“囧函数”.下列命题正 (a ? 0, b ? 0) 的图象形如汉字“囧” x ?a

确的是 . ①“囧函数”的值域为 R ; ②“囧函数”在 (0, ??) 上单调递增; ③“囧函数”的图象关于 y 轴对称; ④“囧函数”有两个零点; ⑤“囧函数”的图象与直线 y ? kx ? m(k ? 0) 至少有一个交点. 三、解答题:本大题共 6 小题,计 75 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. ⒗(本小题满分 12 分)

已知向量 m ? 2 cos x, ? 3 sin 2 x , n ? (cos x,1) ,设函数 f ( x) ? m ? n , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间;
? π? (Ⅱ)若方程 f ( x) ? k ? 0 在区间 ?0, ? 上有实数根,求 k 的取值范围. ? 2?

?

?

⒘(本小题满分 12 分) 已 知 命 题 p : 实 数 x 满 足 ?2 ? 1 ?
x ?1 ?2 ; 命 题 q : 实 数 x 满 足 3 x2 ? 2 x ? (1 ? m2 ) ? 0 (m ? 0) ,若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

⒙(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? m x( m 为常数,m ? 0 且 m ? 1 ) 设 f (a1 ) , f (a2 ) , . ?, f (an ) , ( n ? N * ) ? 2 是首项为 m ,公比为 m 的等比数列. (Ⅰ)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (Ⅱ)若 bn ? an ? f (an ) ,且数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,当 m ? 2 时,求 S n .

池州一中 2014 届高三第三次月考
数学(文科)答案

三、解答题 ⒗(本小题满分 12 分)
解: f ( x) ? m ? n ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2cos(2 x ? (Ⅰ) T ?

?
3

) ?1

2? ?? , 2

由 2k? ? 2 x ?

?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? z ) 上单调递减。?????????6 分 3 ? 6 ? ? ?? (Ⅱ)由 f ( x) ? k ? 0 ,得 k ? f ( x) ,故 k 在 y ? f ( x)( x ? ?0, ? ) 的值域内取值即可. ? 2? ? ? ? 4 ? 1 , ? 0 ? x ? ,∴ ? 2 x ? ? ? ,∴ ?1 ? cos(2 x ? ) ? 2 3 3 3 3 2 ∴ ?1 ? y ? 2 ,即 k ? ? ?1, 2? ?????????12 分
即 f ( x) 在每一个闭区间 ? ?
题满分 12 分)

3

? 2k? ? ? ,解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k? (k ? z ) ,

⒘ (本小

【解析】令 A ? ? x ?2 ? 1 ?
?

?

x ?1 ? ? 2? ? ? x ?2 ? x ? 10? , 3 ?

????????2 分

B ? x x 2 ? 2 x ? (1 ? m 2 ) ? 0 ,m ? 0 ? ? x 1 ? m ? x ? 1 ? m ,m ? 0? ????????5 分

?

?

∵ “若 ?p 则 ?q ”的逆否命题为 “若 q 则 p ” , 而 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,∴ q 是 p 的必要不充分条件,????????7 分
?m ? 0 ? ∴A? B ,故 ?1 ? m ? ?2 (????????11 分) ,解得 m ? 9 ?10 ? 1 ? m ?

??????12 分

⒙(本小题满分 13 分)

解: (1)由题意 f an)= m2 ? mn ?1 ? mn ?1 ,即 ma ? mn ?1 . ( ∴ an ? n+ , ∴ an+1-an ? 1 , 1 ∴数列{an}是以 2 为首项,1 为公差的等差数列. (2)由题意 bn ? an ? f (an ) ? ? n ? 1? ? mn ?1 ,
n

当 m ? 2 时, bn = (n ? 1) ? 2n ?1 , + ∴Sn=2· 2+3· 3+4· 4+…+(n+1)· n 1 ① 2 2 2 2 ①式两端同乘以 2,得 + + 2Sn=2· 3+3· 4+4· 5+…+n· n 1+(n+1)· n 2 ② 2 2 2 2 2 ②-①并整理,得 + + Sn=-2· 2-23-24-25-…-2n 1+(n+1)· n 2 2 2 + 2 2 3 4 n+1 =-2 -(2 +2 +2 +…+2 )+(n+1)· n 2 2 22(1-2n) + =-22- +(n+1)· n 2 2 1-2 + + =-22+22(1-2n)+(n+1)· n 2=2n 2· 2 n.
⒚(本小题满分 12 分)

【解析】证明: (Ⅰ)∵ m ∥ n ,∴ a sin A ? b sin B ,即 a ? 其中 R 是 ?ABC 外接圆半径, a ? b ??ABC 为等腰三角形

a b , ? b? 2R 2R

m m ⊥ 0, 解(Ⅱ)由题意可知 // p ?n 即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,? a ? b ? ab ????????8 分
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

u u v v

??????????????????5 分 ??????????????????6 分

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 ? ab ? 4(舍去ab ? ?1) ?????????10 分 1 1 ? ??????????????????12 分 ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3
⒛(本小题满分 12 分)

(Ⅰ)∵ f ( x) ? ? x ? a ? ? a 2 ? 5 ? a ? 1? ,∴ f ( x) 在区间 ?1,a? 上是减函数,
2

又定义域和值域均为 ?1,a? ,∴ ?

? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 5 ? a ,即 ? 2 ,解得 a ? 2 ???????5 分 2 ?a ? 2a ? 5 ? 1 ? f (a) ? 1

(Ⅱ)若 a ? 2 ,又 x ? a ? ?1, a ? 1? 且 ? a ? 1? ? a ? a ? 1 ,∴ f ( x)max ? f (1) ? 6 ? 2a , f ( x)min ? f (a) ? 5 ? a2 , ∵对任意的 x1, x2 ? ?1, a ? 1? ,总有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 4 ,∴ f ( x)max ? f ( x)min ? 4 , 即 ? 6 ? 2a ? ? ? 5 ? a 2 ? ? 4 ,解得 ?1 ? a ? 3 ,又 a ? 2 ,∴ 2 ? a ? 3 ; 若 1 ? a ? 2 , f ( x)max ? f (a ? 1) ? 6 ? a2 , f ( x)min ? f (a) ? 5 ? a2 , f ( x)max ? f ( x)min ? 1 ? 4 显然成立。 综上知 1 ? a ? 3
21. (本小题满分 14 分)

?????????????????????????12 分

解: (Ⅰ) f n ( x) ? ( x ? n)e

x
x

(n ? N ? )
(n ? N ? )

(Ⅱ) f n? ( x) ? ( x ? n ? 1) ? e

令f n? ( x) ? 0, x ? ?n ? 1 当x ? ?n ? 1时, f n?( x) ? 0,
∴ f n ( x) 在 (??, ?n ? 1) 上单调递减,在 ? ? n ? 1, ?? ? 上单调递增。
? ( n ?1) 故 f n ( x)极小值 ? f n (?n ? 1) ? ?e ;

当x ? ?n ? 1时, f n? ( x) ? 0

(Ⅲ) g n ( x) ? ?( x ? n ? 1) ? n ? 6n ? 9 ? n ? 6n ? 9 (当x ? ?n ? 1时取最小值)
2 2 2

? a ? n2 ? 6n ? 9 ,由(Ⅱ)知 b ? ?e? ( n?1) ,从而令 h(n) ? a ? b ? n 2 ? 6n ? 9 ? e? ( n ?1) h?(n) ? 2n ? 6 ? e? ( n ?1) 在 ?1, ?? ? 上为增函数,
且 h?(n) ? h(1) ? ?4 ? e
?2

?0

而 h?(3) ? ?e
?4

?4

? 0 , h?(4) ? 2 ? e?5 ? 0
?5

??x0 ? (3, 4) ,使得 h?( x0 ) ? 0
? (a ? b) max ? e ?4

则 h( n) 在 ?1, x0 ? 上单调递减,

在 ? x0 , ?? ? 上单调递增,而 h(3) ? e , h(4) ? 1 ? e

? h(3) ,



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