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空间几何体的表面积和体积


1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积

提出问题

各个面的面积和

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 正方体和长方体的表面积与其展开图有何关系?

几何体表面积
空间问题

展开图面积 平面问题

n棱柱的展开图是由n个平行四边形和 两个

全等的n多边形组成的平面图形

n棱锥的展开图是由n个三角形 和一个n多边形组成的平面图形

n棱台的侧面展开图是由n个梯形和

两个相似的n多边形组成的平面图形
求棱柱、棱锥、棱台表面积问题就分别转化为 求平行四边形、三角形、梯形和底边多边形的面积问题

典型例题
例1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC 求它的表面积 .
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成 S 解:先求?SBC 的面积,过点S作SD ? BC A B D

3 因为BC=a,SD ? SB ? sin 60 ? a 2 1 3 3 2 1 C ?S a? a ?SBC ? BC ? SD ? a ? 2 2 4 2
?

交BC于点D.

因此,四面体S-ABC 的表面积是 3a 2 .

圆柱,圆锥,圆台的表 面积

圆柱的表面积
r O?
l
O

圆柱的侧面展开图是矩形

2? r

S侧 ? 2?rl

S 底 ? 2?r
2

2

S圆柱 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )

圆锥的表面积

2? r

l

圆锥的侧面展开图是扇形

r O
2

S侧

S 底 ? ?r 2

1 ? ? 2?r ? l ? ?rl 2

S圆锥 ? ?r ? ?rl ? ?r (r ? l )

圆台的表面积

圆台的侧面展开图是扇环

r 'O’
l

2?r '

2? r

S侧

1 ? ( 2?r '?2?r )l 2

? ? (r '? r )l
S 底 ? ? (r ?2 ? r 2 )
2 2

r O

S圆台 ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl )

三者面积之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系?

r O?
l
O
上底缩小

r ' O’
l
上底缩小

l

r=r'

r O

r'=0

r

O

S柱侧 ? 2?rl
? ? (r ? r )l

S台侧 ? ? (r ? r?)l

S锥侧 ? ?rl

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm 2 )? 20 cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ?

15 cm

? 1000 (cm2 )
2 cm 答:花盆的表面积约是1000 .

1.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形, 求圆柱的全面积. 2 解 : S圆柱侧 ? 6? ? 4? ? 24? . 以边长为6?的边为轴时, 4? 为圆柱的底面周长, ? 2? r ? 4? ,? r ? 2.? S全 ? S侧 ? 2S底 ? 24? 2 ? 2 ? ? ? 22
? 24? 2 ? 8? . 以边长为4?的边为轴时, 6? 为圆柱的底面周长,

? 2? r ? 6? ,? r ? 3.? S全 ? S侧 ? 2S底 ? 24? 2 ? 2 ? ? ? 32

? 24? 2 ? 18? . 2 2 ? S全 ? 24? ? 8? 或24? ? 18? .

2.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜 高的夹角为300,求正四棱锥的侧面积和表面 积.
S

S棱锥侧 ? 32;
C

D A
O

S表面积 ? 48.

E

B

3.已知正四棱台上底面边长为6,高和下底面边 长都是12,求它的侧面积.
D/ A/

O/ 3
B/

C/ E/
3 17

S棱台侧 ? 108 17
C

12
D O A

3H 3 E
B

4、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面 展开图是一个半圆,则这圆锥的底面直径 2 a 为 。 3?

2? r
l
r

? l ? 2? r ? l ? 2r

a ? ? r (r ? l ) ? 3? r
?r ? a 3?

2

l

O

5 . 已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么 这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为 180 度. ______
?
l

2? r

r

6、圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正

4?S 。 方形,那么这个圆柱的侧面积是_______

r

O

l ? 2?r

l
O

2? r

S ??r 2 2 S侧 ? 2? rl ? 4? r
2

? 4?S

7、若圆台的上、下底面半径分别是1和3, 它的侧面积是两底面积和的2倍,则圆台的 母线长为________. 5

r 'O

S侧 ? ? r l ? ? rl ? 4? l
'

l
r
O

S底 ? ? r ? ? r ? 10?
'2 2

4? l ? 20? ?l ?5

1.3.2 柱体、锥体、台体的体积

柱体体积 V ? Sh(S为底面面积,h为高).
正方体、长方体以及圆柱的体积公式可以统一为:

V ? Sh(S为底面面积,h为高).

一般棱柱体积也是:

高h
底面积S

V ? Sh
其中S为底面面积, h为棱柱的高.

柱体、锥体、台体的体积公式

V ? Sh

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

1 V ? Sh 3

S'、S分别为上下底 面面积,h为台体高

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V ? Sh

S? ? S

S? ? 0 1 1 V ? Sh V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 3
S、S'分别为上下底 面面积,h为台体高

例1.圆柱的侧面展开图是长为12cm,宽为4cm 的矩形,求这个圆柱的体积.
288

?

cm 或

3

192

?

cm

3

例2 . 已知圆锥的底面半径为10cm,它的侧面 展开图扇形的圆心角是1200,求圆锥的体积
2000 2 3 ? cm 3
20?

2? 3

l ? 30
h ? 20 2

10

例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3, AA1 =2 , E、F分别为棱AB、BC的中点,求三 棱锥D-A1EF的体积.
A 1 1 1 ? 4 ? 3 ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ?1.5 ? ? 4 ?1.5 2 2 2 ? 4.5. 2
1 ?VD ? A1EF ? VA1 ? DEF ? S ?DEF ? AA1 3 1 ? ? 4.5 ? 2 ? 3. 3
S ?DEF ? S矩形ABCD ? S ?ADE ? S ?BEF ? S ?CDF

3

D

4

C

E
D1

B

F C1

A1

B1

例4.三棱柱ABC-A1B1C1中,若E、F分别为AB、 V2两部分,求V1:V2 . ? 7 : 5
解 : 设棱台的高为h, S ?AEF ? S , 则 S ?A1B1C1 ? S ?ABC ? 4 S .?V三棱柱 ? 4 Sh.
又V1 ? V三棱台AEF ? A1B1C1 ?

AC的中点, 平面EB1C1 F 将三棱柱分成体积为V1、
C1
A1 C F E B B1

h 7 ( S ? 4S ? 2S ) ? Sh, 3 3 7 5 ?V2 ? V三棱柱 ? V1 ? 4Sh ? Sh ? Sh. 3 3 A ?V1 : V2 ? 7 : 5.

例5.在三棱台ABC-A1B1C1中,AB:A1B1 =1:2,则 三棱锥A1 -ABC, B-A1B1C, C-A1B1C1三者的体

1: 2 : 4 . 积之比为____________
1 1 ?VA1 ? ABC ? S ?ABC ? h ? Sh; 3 3 1 4 VC ? A1B1C1 ? S ?A1B1C1 ? h ? Sh. 3 3

A

C

解 : 设棱台的高为h, S ?ABC ? S , 则S ?A1B1C1 ? 4 S .

B C1
B1

A1

又V三棱台

h 7 ? ( S ? 4 S ? 2 S ) ? Sh, 3 3

?VB ? A1B1C ? V三棱台 ? VA1 ? ABC ? VC ? A1B1C1

7 1 4 2 ? Sh ? Sh ? Sh ? Sh. 3 3 3 3

? 所求体积之比为1: 2 : 4.

1.3.2 球的表面积和体积

1.3.2 球的体积和表面积 1. 球的体积 4 3 半径是R的球的体积是 V ? ?R .

3

2.球的表面积 半径是R的球的表面积是

S ? 4? R .
2

例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直 径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的2/3; (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

R

O

例2.(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则表 面积扩大到原来的_____ 9 倍,体积扩大为原 27 倍. 来的________ (2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体 积扩大为原来的_______ 2 2 倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的 1: 2 2 : 3 3 体积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表 1: 4 : 9 面积之比为________.

球的截面性质问题

用一个平面α去截一个球O.

用一个平面α去截一个球O.

用一个平面α去截一个球O.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆; 球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.

O

截面性质: 1、球心和截面圆心的连线垂直于截面 2、球心到截面的距离为d,球的半径为R, 2 2 2 截面圆半径为r,则 R ? r ? d

O
R

α

P

d

r

O/

球面上两点之间的最短连线的长度, 就是经过这两点的大圆在这两点间的 一段劣弧的长度. 把这个弧长叫做两点的球面距离. 飞机,轮船都是尽可能 以大圆弧为航线航行. Q

O
P

例1.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面, 它们的面积分别是49πcm2和400πcm2,求球的 表面积. B O 2 2 2500πcm
O1 O

A

例2.已知球面上的三点A、B、C,且AB=6cm, BC=8cm,AC=10cm,球的半径为13cm.求球心 到平面ABC的距离.

12cm
O A

M
C

B

例3.(2006年全国1)已知各顶点都在一个球面上 的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面 积是( C ) A.16? B.20? C.24? D.32?

R? 6

例5.(2006年全国2)已知圆O1是半径为R的球O 的一个小圆, 且圆O1的面积与球O的表面积比 2 1:3 值为 , 则线段OO1与R的比值为 __________ . 9
r O1

R

O

把直径是5cm钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中,至少要用多大的纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体 棱长为5cm

S ? 6 ? 5 ? 150 cm

2

2

“接”与“切”:
? 两个几何体相(内)切:一个几何体的各个 面与另一个几何体的各面相切 ? 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上 ? 解决“接切”问题的关键是画出正确的截 面,把空间“接切”转化为平面“接切” D1 问题 对角面: 过不相邻两侧棱的截面
体对角线: 对角面的对角线
长方体对角线 l ? a2 ? b2 ? c2
A

C1

A1
D

O B1

B

C

球与正方体的“接切”问题
典型:有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a r1 ? 2
2 a 2

a

a

r2 ?

a

3 r3 ? a 2

a

2a

2a

?画出正确的截面:(1)中截面;(2)对角面 ?找准球的半径与棱长或对角线间的关系

球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上,它的棱长 是4cm,求这个球的体积 . 2.长方体的长、宽、高分 别是3、 4、 5, 求它的外接球表面积 .


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