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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第1章 常用逻辑用语单元检测(A卷)苏教版选修2-1


第 1 章常用逻辑用语单元检测(A 卷)
(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.有关命题的说法正确的有________.(写出所有正确命题的序号) 2 2 ①命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为: “若 x≠1,则 x -3x+2≠0” ; 2 ②“x=1”是“x -3x+2=0

”的充分不必要条件; ③若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题; 2 ④对于命题 p:存在 x∈R,使得 x +x+1<0, 2 则 ? p:对 ? x∈R,均有 x +x+1≥0. 2.下列命题中,真命题是________.(写出符合要求的序号) 2 ① ? m∈R,使函数 f(x)=x +mx (x∈R)是偶函数; 2 ② ? m∈R,使函数 f(x)=x +mx (x∈R)是奇函数; 2 ③ ? m∈R,使函数 f(x)=x +mx (x∈R)都是偶函数; 2 ④ ? m∈R,使函数 f(x)=x +mx (x∈R)都是奇函数. 3.有四个关于三角函数的命题:

x x 1 p1: ? x∈R,sin2 +cos2 = ;
2 2 2

p2: ? x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny; p3: ? x∈[0,π ],
1-cos2x =sinx; 2 π 2

p4:sinx=cosy?x+y= .
其中的假命题是__________.(写出所有假命题的代号) 4.已知命题 p: “a=1”是“ ? x>0,x+ ≥2”的充分必要条件,命题 q: ? x0∈R,x +
2

a x

x-1>0.则下列结论中正确的是________. ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧ ? q”是真命题; ③命题“ ? p∧q”是真命题; ④命题“? ? p∧ ? q”是假命题. 2 5.已知命题 p: ? x∈R,x +2ax+a≤0.若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是
________. 2 6.已知 p:|x+1|>2,q:5x-6>x ,则 ? p 是 ? q 的______________条件. 7.给出命题“已知 a、b、c、d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d” ,对其原命题、 逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有________个. 8.下列命题中的假命题是________.(写出所有假命题的序号). x-1 * 2 ① ? x∈R,2 >0;② ? x∈N ,(x-1) >0; ③ ? x∈R,lgx<1;④ ? x∈R,tanx=2. 2 9.已知命题 p: ? x∈R,sinx<tanx,命题 q:方程 x -x+1=0 有实数根.给出下列四 个命题: ①“p 或 q” ;②“p 且 q” ;③“ ? p” ;④“ ? q” . 其中真命题的个数是________.

-1-

10. “x -4x<0”是“0<x<5”的____________条件. 2 11 . 命 题 “ 至 少 有 一 个 正 实 数 满 足 方 程 x + 2(a - 1)x + 2a + 6 = 0 ” 的 否 定 是 ________________________________________________________________________. 1 12.在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> ”的______________条件. 2 13.若 p: “平行四边形一定是菱形” ,则“非 p” 为___________________________________________________________. 14.下列四个命题中, 2 2 ①“k=1”是“函数 y=cos kx-sin kx 的最小正周期为 π ”的充要条件; ②“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直”的充要条件; x2+4 ③函数 y= 2 的最小值为 2. x +3 其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(14 分)将下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并判断其真假. (1)正方形是矩形又是菱形; (2)同弧所对的圆周角不相等; 2 (3)方程 x -x+1=0 有两个实根.

2

-2-

16.(14 分)判断命题“已知 a、x 为实数,如果关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集非空,则 a≥1”的逆否命题的真假.

2

2

17.(14 分)已知 p:?1-

? ?

x-1?

≤2;q:x -2x+1-m ≤0 (m>0),若 ? p 是 ? q 的必要非 3 ? ?
2 2

充分条件,求实数 m 的取值范围.

-3-

18. (16 分)已知方程 x +(2k-1)x+k =0, 求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件.

2

2

19.(16 分)p:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立;q:关于 x 的方程 x -x+a=0 有 实数根;如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题,求实数 a 的取值范围.

2

2

-4-

20.(16 分)已知下列三个方程:x +4ax-4a+3=0,x +(a-1)x+a =0,x +2ax-2a =0 至少有一个方程有实数根,求实数 a 的取值范围.

2

2

2

2

单元检测卷答案解析 第 1 章 常用逻辑用语(A) 1.①②④ 2.① 3.p1,p4 1 2x 2x 解析 ∵对? x∈R,均有 sin +cos =1 而不是 ,故 p1 为假命题.当 x,y,x-y 有一 2 2 2 个为 2kπ (k∈Z)时,sinx-siny=sin(x-y)成立,故 p2 是真命题. 2 ∵cos2x=1-2sin x, 2 1-cos2x 1-1+2sin x 2 ∴ = =sin x. 2 2 1-cos2x =sinx,因此 p3 是 2 π π π 真命题.当 sinx=cosy,即 sinx=sin( -y)时,x=2kπ + -y,即 x+y=2kπ + 2 2 2 (k∈Z),故 p4 为假命题. 4.③④ a 1 1 解析 a=1? x+ =x+ ≥2 x× =2, 又∵x∈[0,π ]时,sinx≥0,∴对? x∈[0,π ],均有

x

x

x

-5-

显然 a=2 时也能推出“? x>0,x+ ≥2”成立, 所以“a=1”是“? x>0,x+ ≥2”的充分不必要条件, 故 p 是假命题,而 q 是真命题,故③④正确. 5.0<a<1 2 解析 若 p 为假命题,则有綈 p 为真命题,即 x +2ax+a>0 对? x∈R 恒成立,故有 2 Δ =4a -4a<0,所以 0<a<1. 6.充分不必要 解析 |x+1|>2? x>1 或 x<-3, 2 ∴綈 p 为:-3≤x≤1,5x-6>x ? 2<x<3, ∴綈 q 为:x≤2 或 x≥3, ∴綈 p? 綈 q,但綈 q ? 綈 p. ∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件. 7.2 8.② 9.2 解析 命题 p 真、q 假,∴“p 或 q”真, “綈 q”真. 10.充分不必要 2 11.所有的正数都不满足 x +2(a-1)x+2a+6=0 12.必要不充分 13.平行四边形不一定是菱形;或至少有一个平行四边形不是菱形 解析 本题考查复合命题“非 p”的形式,p: “平行四边形一定是菱形”是假命题,这里 “一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”?若为“平行四边形一定不是菱 形”仍为假命题,与真值表相违,故原命题的“非 p”为“平行四边形不一定是菱形” , 是一个真命题. 第二种说法是命题是全称命题的简写形式,应用规则变化即可. 14.①②③ 2 2 解析 ①“k=1”可以推出“函数 y=cos kx-sin kx 的最小正周期为 π ” ,但是函数 y 2 π 2 2 =cos kx-sin kx 的最小正周期为 π ,即 y=cos2kx,T= =π ,k=±1. |2k| ②“a=3”不能推出“直线 ax+2y+3a=0 与直线 3x+(a-1)y=a-7 相互垂直” ,反之 2 垂直推出 a= ; 5 2 x +4 x2+3+1 1 1 2 2 ③函数 y= 2 = = x +3+ 2 ,令 x +3=t,t≥ 3,ymin= 3+ = 2 x +3 x +3 x +3 3 4 3 . 3 15.解 (1)若一个四边形是正方形,则它既是矩形,又是菱形,为真命题. (2)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,为假命题. 2 (3)若一个方程为 x -x+1=0,则这个方程有两个实数根,为假命题. 16.解 方法一 (直接法) 2 2 逆否命题:已知 a、x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的 解集为空集. 判断如下: 2 2 二次函数 y=x +(2a+1)x+a +2 图象的开口向上, 2 2 判别式 Δ =(2a+1) -4(a +2)=4a-7. ∵a<1,∴4a-7<0. 2 2 即二次函数 y=x +(2a+1)x+a +2 与 x 轴无交点, 2 2 ∴关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真. 方法二 (先判断原命题的真假)
-6-

a x

a x

∵a、x 为实数,且关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集非空, 2 2 ∴Δ =(2a+1) -4(a +2)≥0, 7 即 4a-7≥0,解得 a≥ , 4 7 ∵a≥ >1,∴原命题为真. 4 又∵原命题与其逆否命题等价,∴逆否命题为真. 方法三 (利用集合的包含关系求解) 2 2 命题 p:关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 有非空解集. 命题 q:a≥1. 2 2 2 2 ∴p:A={a|关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 有实数解}={a|(2a+1) -4(a + ? 7? 2)≥0}=?a|a≥ ?, 4? ? q:B={a|a≥1}. ∵A? B,∴“若 p,则 q”为真, ∴“若 p,则 q”的逆否命题“若綈 q,则綈 p”为真. 即原命题的逆否命题为真. ? x-1?>2,解得 x<-2 或 x>10, 17.解 綈 p:?1- 3 ? ? ? A={x|x<-2 或 x>10}. 2 2 綈 q:x -2x+1-m >0, 解得 x<1-m 或 x>1+m, B={x|x<1-m 或 x>1+m}. ∵綈 p 是綈 q 的必要非充分条件,∴B
? ?1-m≤-2 即? ?1+m≥10 ?

2

2

A,

? m≥9,∴m≥9.
2 2

18 . 解

令 f(x) = x + (2k - 1)x + k , 方 程 有 两 个 大 于 1 的 实 数 根 ?
2 2

Δ =(2k-1) -4k ≥0 ? ? 2k-1 ?- 2 >1 ? ?f(1)>0 即 k<-2. 所以其充要条件为 k<-2.



?a>0 ? 2 19.解 对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立?a=0 或? ?0≤a<4; ?Δ <0 ? 1 2 关于 x 的方程 x -x+a=0 有实数根?1-4a≥0?a≤ ;如果 p 真,且 q 假,有 0≤a<4, 4 1 且 a> , 4 1 1 ∴ <a<4;如果 q 真,且 p 假,有 a<0 或 a≥4,且 a≤ ,∴a<0. 4 4 1 ? ? 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,0)∪? ,4?. ?4 ? 2 20.解 假设三个方程:x +4ax-4a+3=0,

-7-

Δ 1=(4a) -4(-4a+3)<0 ? ? 2 2 2 2 2 x +(a-1)x+a =0, x +2ax-2a=0 都没有实数根, 则?Δ 2=(a-1) -4a <0 ? ?Δ 3=(2a)2-4(-2a)<0 - <a< 2 2 ? ? 即? 1 a> 或a<-1, 3 ? ?-2<a<0 3 1

2



3 得- <a<-1. 2

3 ∴实数 a 的取值范围是 a≤- 或 a≥-1. 2

-8-


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