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2013年高考数学总复习 9-2 简单几何体的表面积和体积但因为测试 新人教B版


2013 年高考数学总复习 9-2 简单几何体的表面积和体积但因 为测试 新人教 B 版
1.纸制的正方体的六个面根据其实际方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿 该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如下图所示的平面图形,则标“△” 的面的方位是( )

A.南 C.西 [答案] A

B.北 D.下

[解析] 将所给图形还原为正方体,如下图所示,最上面为上,最右面为东,则前面为 △,可知“△”的实际方位为南.

2.(2010· 河南省南阳市调研)一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已 32π 知这个球的体积为 ,那么这个三棱柱的体积是( 3 A.96 3 C.24 3 [答案] B [解析] 已知正三棱柱的高为球的直径,底面正三角形的内切圆是球的大圆.设底面正 ) B.48 3 D.16 3

4 32π 三角形的边长为 a,球的半径为 R,则 a=2 3R,又 πR3= ,∴R=2,a=4 3,于是 V 3 3 = 3 2 a· 2R=48 3. 4 π π 3.若圆锥轴截面的顶角 θ 满足 <θ< ,则其侧面展开图中心角 α 满足( 3 2 π π A. <α< 4 3 π C. <α<π 2 [答案] D π π [解析] ∵θ∈?3,2? ? ? θ π π ∴ ∈?6,4?, ? 2 ? π π B. <α< 3 2 D.π<α< 2π )

θ 1 r θ 1 2 2 ∴sin ∈? , ?,又 =sin ∈? , ? 2 ?2 2 ? l 2 ?2 2 ? r ∴其侧面展开图中心角 α= ·2π∈(π, 2π) l 4.(文)(2010· 福建文,3)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示,则其侧 . 面积等于( .. )

A. 3 C.2 3 [答案] D

B.2 D.6

[解析] 原几何体是一个底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,

则 S 侧=3× 1)=6. (2× (理)(2010· 陕西文,8)若某空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是( )

A.2 2 C. 3 [答案] B

B.1 1 D. 3

[解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是直三棱柱,其直观图如下图所示,其体积 1 为 V= × 2× 1× 2=1. 2

5.一空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为(

)

A.2π+2 3 2 3 C.2π+ 3 [答案] C

B.4π+2 3 2 3 D.4π+ 3

[解析] 由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和高都是 2 的圆柱和一个 底面边长为 2,侧棱长为 2 的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为 V=π×12× 2+ 2 3 × 2)2× 3=2π+ ( ,故选 C. 3 1 3

6.(文)(2011· 湖南文,4)设下图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

A.9π+42 9 C. π+12 2 [答案] D

B.36π+18 9 D. π+18 2

4 3 [解析] 由三视图可知, 该几何体是一个球体和一个长方体的组合体. 其中, 球= π·( )3 V 3 2 9π 9 = ,V 长方体=2× 3=18.所以 V 总= π+18. 3× 2 2 (理)(2011· 山东济南一模)一个几何体的三视图如下图所示(单位长度:cm),则此几何体 的表面积是( )

A.(80+16 2)cm2 C.(96+16 2)cm2

B.84cm2 D.96cm2

[答案] A [解析] 其直观图如下图所示,由三视图知,棱锥底面是边长为 4 的正方形,高为 2, 棱柱与棱锥同底,高为 4,因此棱锥的顶点到底边的距离是 22+22=2 2cm,

1 故该几何体的表面积为 S=( × 2 2)× 4× 4+(4× 5=80+16 2(cm2). 4)× 2 7.(2011· 湖州模拟)如下图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形 和 4 个正三角形组成,则该多面体的体积是________.

[答案]

2 6

[解析] 由展开图可知,该多面体是正四棱锥,底面正方形的边长为 1,侧棱长也为 1, ∴高 h= ? 32 12 2 ? -? ? = , 2 2 2

1 2 2 ∴体积 V= × 2× = . 1 3 2 6 8.一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图(1)所示,截下部分 的母线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是________.

[答案]

3π 2

[解析] 根据对称性把它补成如图(2)所示的圆柱,这个圆柱的高是 3,体积是所求几何 1 3π 3π 体体积的 2 倍,故所求的几何体的体积是 ×π×12× 3= .故填 . 2 2 2 9.圆柱内切球的表面积为 4π,则圆柱的表面积为________. [答案] 6π [解析] 设球半径为 R(R>0),则圆柱的底面半径为 R,高为 2R,由条件知,4πR2=4π, ∴R=1. ∴圆柱的表面积 S=2π·R2+2πR· 2R=6πR2=6π. 10.(文)(2011· 福建文,20)如下图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, 点 E 在线段 AD 上,且 CE∥AB.

(1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. [解析] (1)∵PA⊥底面 ABCD, CE? 平面 ABCD

∴CE⊥PA, 又∵AB⊥AD,CE∥AB. ∴CE⊥AD. 又∵PA∩AD=A ∴CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD· cos45° =1,CE=CD· sin45° =1. 又∵AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形 ABCE 为矩形. 1 ∴S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△CDE=AB· AE+ CE· DE 2 1 5 =1× 2+ × 1= . 1× 2 2 又 PA⊥底面 ABCD,PA=1 1 1 5 5 所以 V 四棱锥 p-ABCD= S 四边形 ABCD× PA= × × 1= . 3 3 2 6 (理)(2010· 合肥市质检)已知 P 在矩形 ABCD 的边 DC 上,AB=2,BC=1,F 在 AB 上且 DF⊥AP,垂足为 E,将△ADP 沿 AP 折起,使点 D 位于 D′位置,连接 D′B、D′C 得四棱锥 D′-ABCP.

(1)求证:D′F⊥AP; (2)若 PD=1,且平面 D′AP⊥平面 ABCP,求四棱锥 D′-ABCP 的体积. [解析] (1)∵AP⊥D′E,AP⊥EF,D′E∩EF=E, ∴AP⊥平面 D′EF,∴AP⊥D′F. (2)∵PD=1,∴四边形 ADPF 是边长为 1 的正方形, ∴D′E=DE=EF= 2 , 2

∵平面 D′AP⊥平面 ABCP,D′E⊥AP,∴D′E⊥平面 ABCP, 1 3 ∵S 梯形 ABCP= × (1+2)× 1= , 2 2 1 2 ∴VD′-ABCP= × D′E× 梯形 ABCP= . S 3 4

11.(2010· 北京文,8)如下图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2.动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零), 则三棱锥 P-EFQ 的体积( )

A.与 x,y 都有关 B.与 x,y 都无关 C.与 x 有关,与 y 无关 D.与 y 有关,与 x 无关 [答案] C 1 [解析] 设 P 到平面 EFQ 的距离为 h,则 VP-EFQ= × △EFQ· S h,由于 Q 为 CD 的中点, 3 ∴点 Q 到直线 EF 的距离为定值 2,又 EF=1,∴S△EFQ 为定值,而 P 点到平面 EFQ 的距 离,即 P 点到平面 A1B1CD 的距离,显然与 x 有关与 y 无关,故选 C. 12.(文)(2011· 陕西文,5)某几何体 的三视图如下图所示,则它的体积为( )

2π A.8- 3 C.8-2π [答案] A

π B.8- 3 2π D. 3

[解析] 由三视图知,原几何体为如下图所示一正方体挖去一个与正方体等高底面是正 1 2π 方形的内切圆的圆锥,则其体积为 V=23- π×12× 2=8- .故选 A. 3 3

(理)(2010· 北京东城区)如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径 为 1cm 和半径为 3cm 的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液 面高度为 20cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为 28cm,则这个简单几何体 的总高 度为( )

A.29cm C.32cm [答案] A

B.30cm D.48cm

[解析] 如图(2),设下面圆柱高度为 H,则上面小圆柱内液面高度 20-H,又设余下部 分为 h,则图(3)中,下面圆柱高度为 h+20-H,故上面圆柱液面高度为 28-(h+20-H)= H+8-h,由两圆柱内液体体积相等得

9πH+π(20-H)=π(h+20-H)+9π(H+8-h), ∴h=9,几何体总高度为 20+9=29cm. [点评] 抓住问题的关键环节可以有效的提高解题的速度,本题中若设几何体的总高度 为 H,由几何体的总容积一定,内装液体的体积一定可得:π×32× (H-28)=π×12× (H-20), ∴H=29(cm),解题过程就简捷多了. 13. (2011· 东北三校)一个几何体的三视图及部分数据如下图所示, 左视图为等腰三角形, 俯视图为正方形,则这个几何体的体积等于( )

1 A. 3 C. 15 6

2 B. 3 D. 62 24

[答案] A [解析] 由三视图知,这是一个正四棱锥,其底面为正方形,一条侧棱垂直于底面其长 度为 2,底面正方形对角线长为 1,∴边长为 2 1 2 1 ,体积 V= ×( )2× 2= . 2 3 2 3

14.(文)一等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为 24π,一圆锥与此圆柱一个底 面重合,顶点在另一个底面上,则此圆锥的表面积为________. [答案] 4( 5+1)π [解析] 设圆柱底半径为 R,则 2πR2+2πR· 2R=24π,∴R=2, ∴圆锥的底半径为 R=2,高为 4, 母线长 l= 22+42=2 5, ∴圆锥的表面积 S=πR2+πRl=4π+4 5π=4( 5+1)π. (理)圆锥的高为 4,侧面积为 15π,其内切球的表面积为________. [答案] 9π [解析] 设圆锥底面半径为 r(r>0),则母线长 l= 16+r2,由 πrl=15π 得 r· 16+r2= 15,解之得 r=3,∴l=5.

设内切球半径为 R,作出圆锥的轴截面如上图,则 BD=BO1=3,PD=5-3=2,PO= 4-R, ∵OD⊥PB, 3 ∴R2+4=(4-R)2,∴R= , 2 ∴球的表面积 S=4πR2=9π. 15.(文)(2011· 安徽省淮南市高三模拟)如下图是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱被一 平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,且 AB=BC= 2,AE=1,BF=DH=2,CG =3.

(1)证明:截面四边形 EFGH 是菱形; (2)求几何体 C-EFGH 的体积. [解析] (1)证明:因为平面 ABFE∥平面 CDHG, 且平面 EFGH 分别交平面 ABFE、平面 CDHG 于直线 EF、GH,所以 EF∥GH.同理, FG∥EH. 因此,四边形 EFGH 为平行四边形.

因为 BD⊥AC,而 AC 为 EG 在底面 ABCD 上的射影, 所以 EG⊥BD. 因为 BF 綊 DH,所以 FH∥BD. 因此,FH⊥EG. 所以四边形 EFGH 是菱形. (2)解:连接 CE、CF、CH、CA, 则 VC-EFGH=V-V C-ABFE-VC-ADHE,其中 V 是几何体的体积,∵AE=1,BF=DH=2, CG=3 且几何体是以正方形 ABCD 为底面的正四棱柱的一部分,

所以该几何体的体积为 V=( 2)2× 2=4, 1 VC-ABFE= × 四边形 ABFE× S BC 3 1 1 = × (AE+BF)× AB× BC 3 2 1 = × (1+2)× 2× 2=1. 6 同理,得 VC-ADHE=1, 所以,VC-EFGH=V-VC-ABFE-VC-ADHE=4-1-1=2, 即几何体 C-EFGH 的体积为 2. π (理)(2011· 江西文,18)如下图在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点, 2 PD∥BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥ 平面 PBCD.

(1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. [解析] (1)令 PA=x(0<x<2), A′P=PD=x, 则 BP=2-x, 因为 A′P⊥PD 且平面 A′PD⊥ 平面 PBCD, 1 1 1 故 A′P⊥平面 PBCD.所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)(2+x)x= (4x-x3). 3 6 6

1 1 2 令 f(x)= (4x-x3),由 f ′(x)= (4-3x2)=0,得 x= 3. 6 6 3 2 当 x∈(0, 3)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 3 2 当 x∈( 3,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. 3 2 所以,当 x= 3时,f(x)取得最大值, 3 即当 VA′-PBCD 最大时,PA= 2 3 . 3

(2)设 F 为 A′B 的中点,连接 PF,FE,则有 1 1 EF 綊 BC,PD 綊 BC,∴EF 綊 PD, 2 2 ∴四边形 EFPD 为平行四边形,∴DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.

1.如下图,已知在多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两互相垂直,平面 ABC∥ 平面 DEFG,平面 BEF∥平面 ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,则该多面体的体积 为( )

A.2 C.6 [答案] B

B.4 D.8

[解析] 补成长方体 ABMC-DEFN 并连接 CF, 易知三棱锥 F-BCM 与三棱锥 C-FGN 的体积相等,故几何体体积等于长方体的体积 4.故选 B. [点评] 1.也可以用平面 BCE 将此几何体分割为两部分, 设平面 BCE 与 DG 的交点为 H, 则 ABC-DEH 为一个直三棱柱,由条件易证 EH 綊 FG 綊 BC,平面 BEF∥平面 CHG,且 △BEF≌△CHG,∴几何体 BEF-CHG 是一个斜三棱柱,这两个三棱柱的底面都是直角边 长为 2 和 1 的直角三角形,高都是 2,∴体积为 4.

2.如图(2),几何体 ABC-DEFG 也可看作棱长为 2 的正方体中,取棱 AN、EK 的中点 C、F,作平面 BCGF 将正方体切割成两部分,易证这两部分形状相同,体积相等,∴VABC
-DEFG

1 = × 3=4. 2 2

2.(2010· 安徽理,8)一个几何体的三视图如下图,该几何体的表面积为(

)

A.280 C.360 [答案] C

B.292 D.372

[解析] 由三视图知该几何体是两个长方体的组合体, 上面的长方体的表面积为(6× 2 8)× +(8× 2+6× 2)× 2=140. 下面的长方体的表面积为(10× 2+(10× 2+(8× 2-6× 8)× 2)× 2)× 2=220. 故表面积为 140+220=360.选 C. 3.(2010· 东营质检)用单位正方体搭几何体,使它的主视图和俯视图如下图所示,则符 合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是( )

A.9,13

B.7,16

C.10,15 [答案] D

D.10,16

[解析] 由俯视图知底层有七个小正方体, 结合主视图知, 最左边一列, 最多都是三层, 最少只有一行是三层,故左边一列最多 9 个、最少 5 个;中间一列最多都是二层有 6 个,最 少只有一行二层,共 4 个;右边一列只一层一行,故最多 9+6+1=16 个,最少 5+4+1= 10 个. 4.(2010· 沈阳市)如下图所示,某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 1 的正方 1 形,且体积为 .则该几何体的俯视图可以是( 2 )

[答案] C [解析] 由正(主)视图和侧(左)视图可知, 此几何体为柱体, 易知高 h=1, 且体积 V=S× h 1 1 = (S 为底面积),得 S= ,结合各选项知这个几何体的底面可以是边长为 1 的等腰直角三 2 2 角形,故选 C. 5.(2011· 湖南十二校)四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的射影恰好是 A,其 三视图如下图,则四棱锥 P-ABCD 的表面积为________.

[答案] (2+ 2)a2 [解析] 由三视图知,其直观图如下图.

∵CD⊥AD,CD⊥PA, ∴CD⊥平面 PAD,同理 CB⊥平面 PAB. ∴PD=PB= 2a, 1 1 其表面积 S=AB· AD+2× AB· ( PA)+2× PB· ( BC)=a2+a2+ 2a2=(2+ 2)a2. 2 2 6.如图(1),矩形 ABCD 中,AB=2AD=2a,E 为 DC 的中点,现将△ADE 沿 AE 折起, 使平面 ADE⊥平面 ABCE,如(2). (1)求四棱锥 D-ABCE 的体积;

(2)求证:AD⊥平面 BDE.

[解析] (1)取 AE 的中点 O,由题意知, AB=2AD=2a,ED=EC,

∴AD=DE,∴DO⊥AE, 又∵平面 ADE⊥平面 ABCE, ∴DO⊥平面 ABCE. 在等腰 Rt△ADE 中, AD=DE=a,DO= 2 a, 2

1 3 又 S 梯形 ABCE= (a+2a)a= a2, 2 2 1 13 2 2 ∴VD-ABCE= S 梯形 ABCE· DO= ·a2· a= a3. 3 32 2 4

(2)连结 BE,则 BE= a2+a2= 2a,又 AE= 2a,AB=2a, ∴AB2=AE2+EB2,∴AE⊥EB,

由(1)知,DO⊥平面 ABCE, ∴DO⊥BE,又∵DO∩AE=O ∴BE⊥平面 ADE,∴BE⊥AD, 又∵AD⊥DE,∴AD⊥平面 BDE.



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