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2010年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)理科数学4.6


2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)

数 学 (理科)
2010.4
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应 的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或

签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
2 1.设 U ? R ,集合 A ? ? y | y ? x ?1, x ? 1 , B ? x ? Z x ? 4 ? 0 ,则下列结论正 ?

?

?

确的是

A. A ? B ? ?2, ?1 ? C. A ? B ? [0, ??)

?

B. (? A) ? B ? (??,0) U D. (? A) ? B ? ?2, ?1 ? U

? ? ? ? 2.已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?1,0) ,则 | a ? 2b |?
A. 1 B.

?

2

C. 2

D. 4

3.如图:正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、 D1D、DA的中点,则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是 A1 K L A B
n

D1

H B1 G F

C1

D E

C B

C

D

A

4.已知 i 是虚数单位,使 (1 ? i) 为实数的最小正整数 n 为 A. 2 5.已知 sin(? ? B. 4 C. 6 D. 8

?
3

) ? sin ? ? ?

4 A. ? 5

2? 4 3 ? ) 等于 , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 5 2 3 3 4 B. ? C. D. 5 5 5
第 1 页 共 13 页

6.下列说法中,不正确的是 ... A. x ? y ”是“ x ? y ”的必要不充分条件; “ B.命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则 ?p : ?x ? R , sin x ? 1 ; C.命题“若 x, y 都是偶数,则 x ? y 是偶数”的否命题是“若 x, y 不是偶数,则 x ? y 不是偶数”; D.命题 p : 所有有理数都是实数, q : 正数的对数都是负数,则 (?p) ? (?q) 为真命题. 7.已知实数 m, n 满足 0 ? n ? m ? 1 ,给出下列关系式 ①2 ?3
m n

② log2 m ? log3 n ③ m ? n
2

3

其中可能成立的有 A. 0 个 B. 1 个

C. 2 个

D. 3 个

8.设 a1 , a2 ,?, an (n ? 4) 是各项均不为零的等差数列,且公差 d ? 0 .设 ? (n) 是将此数列 删去某一项得到的数列(按原来的顺序)为等比数列的最大的 n 值,则 ? (n) ? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. 某体育赛事志愿者组织有 1000 名志愿者,其中参加过 2008 年 北京奥运会志愿服务的有 250 名,新招募的 2010 年广州亚运会志 愿者 750 名.现用分层抽样的方法从中选出 100 名志愿者调查他们 的服务能力,则选出新招募的广州亚运会志愿者的人数是 . 10. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ?1 , x ? R , 则 f ( x ) 的最小正周期是 .


开 始
s?0 i ?1

s ? s?

1 2i

i ? i ?1



1 1 1 1 11. 右图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的 2 4 6 20
值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是_________.

输出s 结 束

第 11 题图 ? 2 x ? y ? 0, ? 12. 若实数 x 、 y 满足 ? y ? x, 且 z = 2 x + y 的最小值为 3 , 则实数 b 的值为_____. ? y ? ? x ? b, ? S 13.若等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d ,前 n 项的和为 Sn ,则数列 { n } 为等差数列, n S d 且通项为 n ? a1 ? (n ? 1) ? .类似地,若各项均为正数的等比数列 {bn } 的首项为 b1 ,公 n 2 比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,则数列 { n Tn } 为等比数列,通项为____________________.

第 2 页 共 13 页

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 F ? sin(? ? ) ? 2 ,则极点在直线 l 上的射影的极坐标是____________. 6 A 15. (几何证明选讲)如图,以 AB ? 4 为直径的圆与△ABC 的两边

C E

?

B

? 分别交于 E , F 两点, ?ACB ? 60 ,则 EF ?

.
第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知海岸边 A, B 两海事监测站相距 60 n mile ,为了测量海平面上两艘油轮 C , D 间 距离,在 A, B 两处分别测得 ?CBD ? 75 ,
?

?ABC ? 30? , ?DAB ? 45? , ?CAD ? 60? ( A, B, C , D 在同一个水平面内). 请计算出 C , D 两艘轮船间距离.
第 16 题图

17. (本题满分 12 分)

某市为鼓励企业发展“低碳经济” ,真正实现“低消耗、高产出” ,施行奖惩制度.通 50% 的企业抽查评估,评出优秀、良好、合格和不合格四个 过制定评分标准,每年对本市 等次,并根据等级给予相应的奖惩(如下表).某企业投入 100 万元改造,由于自身技术原

40 因, 能达到以上四个等次的概率分别为 ,,, , 且由此增加的产值分别为 60 万元、
万元、 20 万元、 ?5 万元.设该企业当年因改造而增加利润为 ? . (Ⅰ)在抽查评估中,该企业能被抽到且被评为合格以上等次的概率是多少? (Ⅱ)求 ? 的数学期望. 评估得分 评定等级 奖惩 (万元) 18. (本题满分 14 分) 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD? A B C D中, P 为线段 AD1 上的点,且满足 1 1 1 1 ???? ? ??? ? D1P ? ? PA(? ? 0) . (Ⅰ)当 ? ? 1 时,求证:平面 ABC1D1 ? 平面 PDB ; (Ⅱ)试证无论 ? 为何值,三棱锥 D ? PBC1 的体积 恒为定值; (Ⅲ)求异面直线 C1P 与 CB1 所成的角的余弦值.

1 1 1 1 2 3 8 24

(0, 60)
不合格

?60, ? 70
合格

?70, ? 80
良好

?80, ? 100
优秀

?80

30

60

100

第 18 题图 第 3 页 共 13 页

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b ln x ( x ? 0 ,实数 a , b 为常数). (Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 a ? b ? ?2 ,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

20. (本题满分 14 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 ,点 a 2 b2 A 是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 . y
如图,抛物线 C1 : y 2 ? 8x 与双曲线 C2 : (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)以 F 为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切, 1 圆 N : ( x ? 2) ? y ? 1.平面上有点 P 满足:存在过
2 2

A

F1 O F2

x

点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 , l2 ,它们分别与圆 M , N 相交,且直线 l1 被圆 M 截得的弦长与直线 l2 被圆 N 截得的
第 20 题图

弦长的比为 3 :1 ,试求所有满足条件的点 P 的坐标. 21. (本题满分 14 分) 设 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 . x ?a
2

(Ⅰ)证明:存在唯一实数 x0 ? (0, ) ,使 f ( x0 ) ? x0 ; (Ⅱ)定义数列 {xn } : x1 ? 0 , xn?1 ? f ( xn ) , n ? N .
*

1 a

(i)求证:对任意正整数 n 都有 x2n?1 ? x0 ? x2 n ; (ii) 当 a ? 2 时, 若 0 ? xk ?

1 (k ? 2,3,4,?) , 2 1 * 证明:对任意 m ? N 都有: xm ? k ? xk ? . 3 ? 4k ?1

第 4 页 共 13 页

2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题: (每题 5 分,共 40 分) 题号 选项 1 D 10. ? 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 C 8 A

二、填空题(每题 5 分,共 30 分)

75 9.

i 11. ? 10?

12.

9 4

n 13. Tn ? b1 ( q )n ?1

? 14. (2, ) 3

2 15.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解:方法一:在 ?ABD 中,由正弦定理得: ∴

AD AB ? , sin ?ABD sin ?ADB

60sin(30? ? 75? ) 60sin 75? AD ? ? ? sin[180? ? (45? ? 30? ? 75? )] sin 30?
????4 分 同理,在在 ?ABC 中,由正弦定理得:

60 ?

6? 2 4 ? 30( 6 ? 2) ??? 1 2

AC AB ? sin ?ABC sin ?ACB 1 60 ? ? 60sin 30 2 ? 30 ? 30 2 ???????????? AC ? ? ? ? ? ? sin[180 ? (45 ? 30 ? 60 )] sin 45? 2 2

?????8 分 ∴计算出 AD, AC 后,再在 ?ACD 中,应用余弦定理计算出 CD 两点间的距离:

CD ? AC 2 ? AD2 ? 2 AC ? AD ? cos 60? ? 900 ? 2 ? 900( 6 ? 2)2 ? 2 ? 900 2( 6 ? 2) ?
???????????????? ?????10 分

1 2

? 900 ? 8 ? 3600 3 ? 1800 ? 1800 3 ? 1800 ? 7200 1800 3 ? ?30 8 2 3 ? C, D ∴
数学驿站 www.maths168.com 两 艘 轮 船 相 距

30 8 ? 2 3 n mile .????????????????????????12 分 BC AB ? 方法二:在 ?ABC 中,由正弦定理得: , sin ?BAC sin ?ACB

第 5 页 共 13 页

60sin(60? ? 45? ) 60sin 75? BC ? ? ? sin[180? ? (45? ? 60? ? 30? )] sin 45?
????4 分 同理,在在 ?ABD 中,由正弦定理得:

60 ?

6? 2 4 ? 30( 3 ? 1) 2 2

???

BD AB ? sin ?BAD sin ?ADB 2 2 60 ? 60 ? ? 60sin 45 2 ? 2 ? 60 2 -????????? BD ? ? ? 1 sin[180 ? (45? ? 30? ? 75? )] sin 30? 2

?????8 分 ∴计算出 BC , BD 后,再在 ?BCD 中,应用余弦定理计算出 CD 两点间的距离:

CD ? BC 2 ? BD2 ? 2BC ? BD ? cos 75? ? 900( 3 ? 1)2 ? 3600 ? 2 ? 2 ? 30( 3 ? 1) ? 60 2 ?
?????????????????? ???10 分

6? 4

? 3600 ? 1800 3 ? 7200 ? 900( 6 ? 2)( 6 ? 2)
? 7200 1800 3 ?30 8 2 3 ? ? C, D ∴ 两 艘
轮 船 相 距

30 8 ? 2 3 n mile . ?????????????????????12 分
17. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设该企业能被抽中的概率且评为合格以上等次的概率为 P ,则

?1 1 1 ? 1 P ? ? ? ? ?? ? 2 ?2 3 8 ?

23 48

???????????????????

??4 分 (Ⅱ)依题意, ? 的可能取值为 ?185, ?105, ?80, ?60, ?50, ?40,0,60, 则

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? ?50) ? ? ? 2 2 4 3 2 6 8 2 16 1 1 1 1 1 1 P(? ? ?185 ) ? ? ? , P(? ? ?40) ? ? ? , 24 2 48 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P(? ? ?60) ? ? ? , P(? ? ?80) ? ? ? , P(? ? ?105) ? ? ? 3 2 6 8 2 16 24 2 48 P(? ? 60) ?
则其分布列为

?
P

?185

?105

?80

?60

?50

?40

0

60

1 48

1 48

1 16

1 6

1 16

1 4

1 6

1 4

??????????????????
第 6 页 共 13 页

???10 分

? ∴ E? ? (60 ? 40)
元)

1 1 1 1 115 ? ? 60) ? ? 50 ? 80) ? ? 185 ? 105) ( ? ( ? ( ? ?? (万 4 6 16 48 6

?????????????????? ???12 分 18. (本题满分 12 分) 方法一、证明: (Ⅰ)∵正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 面 AA1D1D , 1 又 AB ? ABC1D1 ∴平面 ABC1D1 ? 平面 AA1D1D ,??2 分 ∵ ? ? 1 时, P 为 AD1 的中点,∴ DP ? AD1 , 又∵平面 ABC1D1 ? 平面 AA1D1D ? AD1 , ∴ DP ? 平面 ABC1D1 , 又 DP ? 平面 PDB ,∴平面 ABC1D1 ? 平面 PDB .??4 分 (Ⅱ)∵ AD1 // BC1 , P 为线段 AD1 上的点, ∴三角形 PBC1 的面积为定值,即 S?PBC1 ? 又∵ CD // 平面 ABC1D1 ,

1 2 ,??6 分 ? 2 ?1 ? 2 2

第 18 题图

2 , ?????8 分 2 1 1 2 2 1 ∴三棱锥 D ? BPC1 的体积为定值,即 VD ? PBC1 ? ? S?PBC1 ? h ? ? ? ? . 3 3 2 2 6 1 也即无论 ? 为何值,三棱锥 D ? PBC1 的体积恒为定值 ;?????10 分 6 (Ⅲ)∵由(Ⅰ)易知 B1C ? 平面 ABC1D1 , 又 C1P ? 平面 ABC1D1 ,∴ B1C ? C1P , ???12 分
∴点 D 到平面 PBC1 的距离为定值,即 h ? 即异面直线 C1P 与 CB1 所成的角为定值 90 ,从而其余弦值为 0 .??14 分 方法二、如图,以点 D 为坐标原点,建立如图所示的坐标系. (Ⅰ)当 ? ? 1 时,即点 P 为线段 AD1 的中点,则 P ( , 0, ) ,又 D(0,0,0) 、 B(1,1, 0) ∴ PD ? (? , 0, ? ) , PB ? ( ,1, ? ) , 设 平 面 P D B 法 向 量 为 的
?

??? ?

? n ? ( x, y,,????????1 分 z) 1 ? 1 ??? ? ? ? ?? 2 x ? 0 ? 2 z ? 0 ? PD ? n ? 0 ? ? y ?1 则 , 即 , 令 ? ? ? ??? ? ? 1 1 PB ? n ? 0 ? ? x? y? z ?0 ? ?2 ? 2 ? ????????2 分 n ? (?1,1,1) , 又∵点 P 为线段 AD1 的中点,∴ DP ? AD1 ,∴ DP ? 平面 ABC1D1 ,
第 7 页 共 13 页

1 2

1 2

??? ?

1 2

1 2

1 2

1 2









平 面 的 法 向 量 ABC1D1 ??? ? 1 1 PD ? (? , 0, ? ) , ????????3 分 2 2 ??? ? 1 ? 1 ∵ PD ? n ? ? 0 ? ? 0 ,数学驿站 www.maths168.com 2 2 ∴ 平 面 平 ABC1D1 ? P D B , ???????????????4 分 (Ⅱ)略; ( Ⅲ ) ∵





? 1 P( , 0, ), ???????????????11 分 1? ? 1? ? 又 C1 (0,1,1) 、 C (0,1, 0) 、 B1 (1,1,1) , ???? ? ?? C1 P ? ( , ?1, ) ∴ 1? ? 1? ? ???? ???????????????12 分 CB1 ? (1,0,1) ,


???? ? ??? ? D1 ? ? (? ? P

0P ,

)A ∴



???? ???? ? ?? C1 P ? CB1 ? ?0? ?0 1? ? 1? ?

????????????

???13 分 ∴不管 ? 取值多少,都有 C1P ? CB1 ,即异面直线 C1P 与 CB1 所成的角的余弦值为 0.?????14 分 19. (本题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 函 数

f(

? x2)

? x

, ?l x

则 n

x

f ?(


? x)

f ?( x) ? 0 1 x? . 2 1 0? x? 当 2
x? 1 2

1 ? ,???????????????1 分 2x ? 1 x x ? ?1 , 得 ( 舍
?????????????????2 分 时 ,







f ?( x ? )

,0











减; 当 增; ∴

?????????????????3 分 时 ,

f ?( x ? )
1 2

,0











?????????????????4 分

f ( x)



x?













3 ? ln 2 . ?????????????????5 分 4 2 (Ⅱ)由于 a ? b ? ?2 ,则 a ? ?2 ? b ,从而 f ( x) ? x ? (2 ? b) x ? b ln x ,则

第 8 页 共 13 页

f ?( x) ? 2 x ? (2 ? b) ?
????5 分 令

b (2 x ? b)( x ? 1) ? x x
, 得

?????????????

f ?( x) ? 0

x1 ?

b 2



?????????????????7 分 x2 ? 1 . b ① 当 ? 0 ,即 b ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 2 (1, ??) ;?8 分 b ② 当 0 ? ? 1 ,即 0 ? b ? 2 时,列表如下: 2 b b (1, ??) (0, ) ( ,1) x 2 2

f ?( x )

?
?

?
?
b 2

?
?

f ( x)

所 以 , 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0, ) , (1, ??) , 单 调 递 减 区 间 为

b ( ,1) ;???????10 分 2 b ? 1 , 即 b ? 2 时 , 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ③ 当 2 (0, ??) ;????????????11 分 b ④ 当 ? 1 ,即 b ? 2 时,列表如下: 2 b b (0,1) x ( , ??) (1, ) 2 2

f ?( x ) f ( x)

?
?

?
?
b 2

?
?

所 以 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 为 (0,1) , ( , ??) , 单 调 递 减 区 间 为

b (1, ) ; ???????13 分 2 b 综上: 当 ? 0 , b ? 0 时, 即 函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) , 单调递增区间为 (1, ??) ; 2 b b 当 0 ? ? 1 ,即 0 ? b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, ??) ,单调递减区 2 2
第 9 页 共 13 页

间为 ( ,1) ;

b 2

b ? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; 2 b b 当 ? 1 ,即 b ? 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , ??) ,单调递减区间为 2 2 b (1, ) . 2
当 ??????? ?????14 分 20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵抛物线 C1 : y 2 ? 8x 的焦点为 F2 (2,0) , ∴ 双 曲 线

C2









F1 (?2,0)



F2 (2,0) ,
由 抛 物

?????????????????? 1 分

设 A( x0 , y0 ) 在抛物线 C1 : y 2 ? 8x 上,且 AF2 ? 5 , 线 的 定 义 得 ,

x0 ? 2 ? 5






x0 ? 3 ,


??????????????????2 分
2 y0 ? 8 ? 3



y0 ? ?2 6 ,


?????????????????? 3 分 ??????????????

| AF1 |? (3 ? 2) 2 ? (?2 6) 2 ? 7 ,
???? 4 分 又∵点 A 在双曲线上,数学驿站 www.maths168.com 由 双 曲 线 定 义 得 ,

2a ?| 7 ? 5 |? 2




∴ :

a ? 1,
∴ 双
2

?????????????????? 5 分 曲 线 的 方 程

y ? 1. ?????????????????? 6 分 3 2 2 2 (Ⅱ)设圆 M 的方程为: ( x ? 2) ? y ? r ,双曲线的渐近线方程为: y ? ? 3x , x2 ?
∵ 圆

M

与 渐 近 线

y ? ? 3x

相 切 , ∴ 圆

M

的 半 径 为

d?


2 3 ? 3 ,????????????? 7 分 2

2 2

M



( x ? 2) ? y ? 3 ,

?????????????

8分 设点 P( x0 , y0 ) ,则 l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 ,

1 l2 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) ,即 x ? ky ? x0 ? ky0 ? 0 , k
第 10 页 共 13 页

∴ 点 M 到 直 线 l1 的 距 离 为 d1 ?

| 2k ? kx0 ? y0 | 1? k 2

, 点 N 到 直 线 l2 的 距 离 为

d2 ?

| x0 ? ky0 ? 2 | 1? k 2


2

? 2k ? kx0 ? y0 ? ∴直线 l1 被圆 M 截得的弦长 s ? 2 3 ? ? ? , 1? k 2 ? ? N 直 线 被 圆 截 得 l2







? x ? ky0 ? 2 ? t ? 2 1? ? 0 ? , 1? k 2 ? ?
3?

2

????????????? 11 分

(2k ? kx0 ? y0 )2 s 1? k 2 由题意可得, ? ? 3 ,即 3( x0 ? ky0 ? 2)2 ? (2k ? kx0 ? y0 )2 , 2 t ( x ? ky0 ? 2) 1? 0 1? k 2 ∴ 3x0 ? 3k y0 ? 2 3 ? 2k ? kx0 ? y0 ① 或 3x0 ? 3k y0 ? 2 3 ? ?2k ? kx0 ? y0
②??? 12 分 由①得: ( x0 ? 3 y0 ? 2)k ? ( 3x0 ? y0 ? 2 3) ? 0 , ∵该方程有无穷多组解, ∴

? x0 ? 3 y0 ? 2 ? 0 ? ? ? 3x0 ? y0 ? 2 3 ? 0 ?







? x0 ? 1 ? ? ? y0 ? 3 ?





P









(1, 3) .????????????? 13 分
由②得: ( x0 ? 3 y0 ? 2)k ? ( 3x0 ? y0 ? 2 3) ? 0 , ∵该方程有无穷多组解, ∴? ∴

? x0 ? 3 y0 ? 2 ? 0 ? ? 3x0 ? y0 ? 2 3 ? 0 ?
满 足 条

,解得 ? 件 的

? x0 ? 1 ? ,点 P 的坐标为 (1, ? 3) . ? y0 ? ? 3 ?


P









(

1

,或 3

)

(1, ? 3) .
21. (本题满分 12 分) ( Ⅰ

????????????? 14 分 ) 证 明 : ①

f ( x) ? x ? x3 ? ax ?1 ? 0 .
3 令 h( x) ? x ? ax ?1 ,则 h(0) ? ?1 ? 0 , h( ) ?

????????????? 1 分

1 a

1 ? 0, a3
??????????



1 h(0) ? h( ) ? 0 . a
??? 2 分
第 11 页 共 13 页

又 数.

h/ ( x) ? 3x2 ? a ? 0

,



h( x) ? x3 ? ax ?1



R









????????????? 3 分

故 h( x) ? x3 ? ax ?1 在区间 ? 0,

? ?

1? ? 上有唯一零点, a?
一 实 数









? 1? x0 ? ? 0, ? ? a?

使

f ( x0 ) ? x0 .

????????????? 4 分

② 当 n ? 1 时 , x1 ? 0 , x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ? 立;???? 5 分

1 ? 1? , 由 ① 知 x0 ? ? 0, ? , 即 x1 ? x0 ? x2 成 a ? a? 1 在 ? 0,??? 上是减函数,且 x ?a
2

设当 n ? k ( k ? 2) 时, x2k ?1 ? x0 ? x2 k ,注意到 f ( x ) ?

xk ? 0 ,
故有: f ( x2k ?1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ) ,即 x2k ? x0 ? x2k ?1 ∴

f ( x2k ) ? f ( x0 ) ? f ( x2k ?1 ) ,
??? 7 分 即 x2 k ?1 ? x0 ? x2 k ? 2 .这就是说, n ? k ? 1 时,结论也成立. 故 对 任 意 正 整

??????????



n



有: x2n?1 ? x0 ? x2 n . (2) 当

????????????? 8 分

a?2



,



x1 ? 0

得: x2 ? f ( x1 ) ? f (0) ?

1 1 , x2 ? x1 ? 2 2

????????????? 9 分

x3 ? x2 ?

2 2 x2 ? x12 x ?x x ?x 1 1 1 1 ?1? ? 2 1 2 1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? ???????? ? 2 ? 2 2 4 2 4 x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x12 ? 2) ?4?

???? 10 分 当 k ? 2 时,? 0 ? xk ?

1 , 2
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xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk ? xk ?1 xk2 ? xk2?1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ∴ xk ?1 ? xk ? 2 4 4 xk ? 2 xk ?1 ? 2 ( xk ? 2)( xk2?1 ? 2)
?1? ?1? ? ? ? ? xk ?1 ? xk ? 2 ? ? ? ? ? ?4? ?4?
???? 12 分 对 ?m ? N , xm?k ? xk ? ( xm?k ? xm?k ?1 ) ? ( xm?k ?1 ? xm?k ?2 ) ? ?? ( xk ?1 ? xk )
*

2

k ?2

? x3 ? x2 ? ? 1 ? ? ?
?4?

k

?????????

? xm?k ? xm?k ?1 ? xm?k ?1 ? xm?k ?2 ??? xk ?1 ? xk
???? 13 分

?????????

1 1 1 ? ? 1 ? ? m?1 ? m?2 ? ? ? 2 ? ? 1? xk ?1 ? xk 4 4 4 ? ?4

1 4m x ? x ? 4 ? ? 1 ? 1 ? ? x ? x ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 k ?1 k 3 ? 4m ? k ?1 k 3 4k 3 ? 4k ?1 ? ? 1? 4 1?
????? 14 分

????????

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