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江苏省泰州市姜堰区2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年江苏省泰州市姜堰区高二(上)期中数学试卷(理科)

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1.设命题 P:? x∈R,x >1,则?P 为__________.
2

2.若圆 M 的方程为 x2+y2=4,则圆 M 的参数方程为___

_______.

3.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到 y 轴的距离为__________.

4.已知(2,0)是双曲线 x2﹣

=1(b>0)的一个焦点,则 b=__________.

5.设 p:x<3,q:﹣1<x<3,则 p 是 q 成立的__________条件(用“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) .

6.已知双曲线过点 __________.

且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的标准方程是

7.在极坐标系中,点(2,

)到直线 ρ (cosθ +

sinθ )=6 的距离为__________.

8.若焦点在 x 轴上过点

的椭圆焦距为 2,则椭圆的标准方程为__________.

9.若椭圆

的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,则 m=__________.

10. 若P (m, n) 为椭圆

(θ 为参数) 上的点, 则 m+n 的取值范围是__________.

11.已知椭圆

的右焦点为 F.短轴的一个端点为 M,直线 l:3x

﹣4y=0,若点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是__________.

12. 已知椭圆

的左右焦点分别为 F1, F 2, C 上一点 P 满足

, 则△PF1F2

的内切圆面积为__________.

13.如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

,A1,A2 分别是椭圆的左、右两个顶点,圆 =__________.

A1 的半径为 2, 过点 A2 作圆 A1 的切线, 切点为 P, 在 x 轴的上方交椭圆于点 Q. 则

14.已知 f(x)=m(x﹣3m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣4.若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是__________.

x

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)已知 a∈R,命题 p:“? x∈,x2﹣a≥0”,命题 q:“? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0”. (Ⅰ)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

16. (14 分)已知直线 l 经过点(4,0) ,且倾斜角为 极点. (Ⅰ)求 l 与 M 的极坐标方程; (Ⅱ)判断 l 与 M 的位置关系.

,圆 M 以

为圆心,过

17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程

(φ 为参数) ,直线 l

的参数方程

(t 为参数) .

(I)求 C 与 l 的方程; (Ⅱ)求过 C 的右焦点,且平行 l 的直线方程.

18. (16 分) 设椭圆 E 的方程为

+

=1 (a>b>0) , 点 O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (a, 0) ,

点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 为 ,求 E 的方程.

19. (16 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为

,点 M 在

椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程;

截得的线段的长为 c,|FM|=



(Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 围.

,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范

20. (16 分)已知直线 l 为函数 y=x+b 的图象,曲线 C 为二次函数 y=(x﹣1)2+2 的图象,直 线 l 与曲线 C 交于不同两点 A,B

(Ⅰ)当 b=7 时,求弦 AB 的长; (Ⅱ)求线段 AB 中点的轨迹方程; (Ⅲ)试利用抛物线的定义证明:曲线 C 为抛物线.

2015-2016 学年江苏省泰州市姜堰区高二(上)期中数学试卷(理科)

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1.设命题 P:? x∈R,x2>1,则?P 为? x∈R,x2≤1. 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:设命题 P:? x∈R,x >1,则?P 为:
2

? x∈R,x ≤1
2

故答案为:? x∈R,x ≤1;
2

【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.

2.若圆 M 的方程为 x2+y2=4,则圆 M 的参数方程为 【考点】圆的参数方程. 【专题】对应思想;坐标系和参数方程. 【分析】根据平方关系可求得出圆 M 的参数方程. 【解答】解:由 cos α +sin α =1 得, 圆 M:x +y =4 的参数方程可为 故答案为: .
2 2 2 2





【点评】本题考查利用平方关系求出圆的参数方程,属于基础题.

3.已知抛物线 y2=4x 上一点 M 到焦点的距离为 3,则点 M 到 y 轴的距离为 2. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设出该点的坐标,根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相 等,进而利用点到直线的距离求得 x 的值,

代入抛物线方程求得 y 值,即可得到所求点的坐标. 【解答】解:∵抛物线方程为 y2=4x

∴焦点为 F(1,0) ,准线为 l:x=﹣1 设所求点坐标为 M(x,y) 作 MQ⊥l 于 Q 根据抛物线定义可知 M 到准线的距离等于 M、Q 的距离 即 x+1=3,解之得 x=2, 代入抛物线方程求得 y=±4 故点 M 坐标为: (2,y) 即点 M 到 y 轴的距离为 2 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线 的定义来解决.

4.已知(2,0)是双曲线 x ﹣ 【考点】双曲线的简单性质.

2

=1(b>0)的一个焦点,则 b=



【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求得双曲线 x2﹣ 方程,即可得到 b 的值. 【解答】解:双曲线 x2﹣ =1(b>0)的焦点为( ,0) , (﹣ ,0) , =1(b>0)的焦点为( ,0) , (﹣ ,0) ,可得 b 的

由题意可得 解得 b= . .

=2,

故答案为:

【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.

5.设 p:x<3,q:﹣1<x<3,则 p 是 q 成立的必要不充分条件(用“充分不必要”、“必 要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空) . 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】由 q? p,反之不成立.即可判断出结论. 【解答】解:∵p:x<3,q:﹣1<x<3, 由 q? p,反之不成立. ∴p 是 q 成立的必要不充分条件; 故答案为:必要不充分. 【点评】本题考查了充要条件的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

6. 已知双曲线过点 【考点】双曲线的标准方程.

且渐近线方程为 y=± x, 则该双曲线的标准方程是 x2﹣y2=1.

【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ ,代入点 方程. 【解答】解:设双曲线方程为 y2﹣ x2=λ , 代入点 ∴λ =﹣1, ∴双曲线的标准方程是 x ﹣y =1. 故答案为: x2﹣y2=1. 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查学生的计算能力,正确设出双曲线的方程是关键.
2 2

,求出 λ ,即可求出双曲线的标准

,可得 3﹣

=λ ,

7.在极坐标系中,点(2,

)到直线 ρ (cosθ +

sinθ )=6 的距离为 1.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出. 【解答】解:点 P(2, 直线 ρ (cosθ + )化为 P . . =1.

sinθ )=6 化为

∴点 P 到直线的距离 d= 故答案为:1.

【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题.

8.若焦点在 x 轴上过点 【考点】椭圆的简单性质.

的椭圆焦距为 2,则椭圆的标准方程为

+

=1.

【专题】方程思想;待定系数法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,由题意可得 a2﹣b2=1,代入点 ,解方

程可得 a,b 的值,进而得到椭圆方程. 【解答】解:设椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,

由题意可得 c=1,即有 a2﹣b2=1, 又椭圆过点 解方程可得 a=2,b= 则椭圆方程为 + ,即有 , =1. + =1,

故答案为:

+

=1.

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用方程的思想,考查运算能力,属于基础题.

9.若椭圆 【考点】椭圆的简单性质.

的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数,则 m=1 或 2.

【专题】分类讨论;分类法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由等轴双曲线的离心率为 合离心率公式,解方程可得 m 的值. 【解答】解:等轴双曲线的离心率为 即有椭圆的离心率为 ,
2 2 2 2 2

,即有椭圆的离心率为

,讨论椭圆的焦点的位置,结



若椭圆的焦点在 x 轴上,则 a =2,b =m ,c =2﹣m , 即有 e2= = = ,解得 m=1;
2 2 2 2 2

若椭圆的焦点在 y 轴上,则 b =2,a =m ,c =m ﹣2, 即有 e2= = = ,解得 m=2.

综上可得 m=1 或 2. 故答案为:1 或 2. 【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质,主要考查离心率的运用,以及椭圆的焦点的确定, 考查运算能力,属于基础题和易错题.

10.若 P(m,n)为椭圆 【考点】椭圆的参数方程.

(θ 为参数)上的点,则 m+n 的取值范围是.

【专题】函数思想;参数法;三角函数的图像与性质;坐标系和参数方程. 【分析】 由题意和三角函数可得 m+n= 【解答】解:∵P(m,n)为椭圆 ∴m+n= cosθ +sinθ =2( cosθ +sinθ =2sin (θ + ) , 由三角函数的值域可得.

(θ 为参数)上的点, ) ,

cosθ + sinθ )=2sin(θ +

由三角函数的知识可得 m+n 的取值范围为:

故答案为: . 【点评】本题考查椭圆的参数方程,涉及三角函数的值域,属基础题.

11.已知椭圆

的右焦点为 F.短轴的一个端点为 M,直线 l:3x

﹣4y=0,若点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是(0, 【考点】椭圆的简单性质.

].

【专题】转化思想;分析法;不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求得椭圆的短轴的一个端点,运用点到直线的距离公式解不等式可得 1≤b<2,运用 离心率公式,以及不等式的性质,即可得到所求范围. 【解答】解:椭圆 的短轴的一个端点为 M(0,b) ,

点 M 到直线 l 的距离不小于 ,即为 即有 1≤b<2,又 a=2,c= ,

≥ ,

则 e= =

∈(0,

].

故答案为: (0,

].

【点评】本题考查椭圆的离心率的范围,考查点到直线的距离公式的运用,以及不等式的解 法和性质,属于中档题.

12. 已知椭圆 的内切圆面积为 4π . 【考点】椭圆的简单性质.

的左右焦点分别为 F1, F 2, C 上一点 P 满足

, 则△PF1F2

【专题】转化思想;数形结合法;解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据椭圆的方程,算出 a=5 且焦距|F1F2|=2c=10.设|PF1|=m,|PF2|=n,根据椭圆的 定义和勾股定理建立关于 m、n 的方程组,平方相减即可求出|PF1|?|PF2|=48,结合直角三角

形的面积公式,可得△PF1F2 的面积 S= |PF1|?|PF2|=24,再由 S= r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|) ,求 得 r,即可得到所求内切圆的面积. 【解答】解:∵椭圆 ,

∴a2=49,b2=24,可得 c2=a2﹣b2=25,即 a=7,c=5, 设|PF1|=m,|PF2|=n,则有 m+n=2a=14,m2+n2=(2c)2=100, 可得 2mn=96,即 mn=48, ∴|PF1|?|PF2|=48, ∵PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积 S= |PF1|?|PF2|= ×48=24, 由 S= r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)= r?(2a+2c)=12r(r 为内切圆的半径) , 由 12r=24,解得 r=2,则所求内切圆的面积为 4π . 故答案为:4π .

【点评】本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形,求它的面积,着重考查了勾股定理、椭 圆的定义和简单几何性质等知识,属于基础题.

13.如图平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

,A1,A2 分别是椭圆的左、右两个顶点,圆 = .

A1 的半径为 2,过点 A2 作圆 A1 的切线,切点为 P,在 x 轴的上方交椭圆于点 Q.则

【考点】椭圆的简单性质.

【专题】数形结合;分析法;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】连结 A2P,可得△OPA2 是边长为 a 的正三角形,由此算出 PA1、PO 的方程,联解求出 点 P 的横坐标 m=﹣1.由 A2P 与圆 A1 相切得到 A2P⊥PA1,从而得到直线 A2P 的方程,将 PA2 的方 程与椭圆方程联解算出 Q 点横坐标 s= . 由 = , 把前面算出的横坐标代入即可求



的值.

【解答】解:连结 PO、PA1,可得△POA1 是边长为 2 的等边三角形, ∴∠PA1O=∠POA1=60°,可得直线 PA1 的斜率 k1=tan60°= 直线 PO 的斜率 k2=tan120°=﹣ 因此直线 PA1 的方程为 y= , x, ,

(x+2) ,直线 PO 的方程为 y=﹣

设 P(m,n) ,联解 PO、PA1 的方程可得 m=﹣1. ∵圆 A1 与直线 PA2 相切于 P 点, ∴PA2⊥PA1,可得∠PA2O=90°﹣∠PA1O=30°, 直线 PA2 的斜率 k=tan150°=﹣ 代入椭圆 ,因此直线 PA2 的方程为 y=﹣
2

(x﹣2) ,

,消去 y,得 x ﹣

x+ =0,解之得 x=2 或 x= .

∵直线 PA2 交椭圆于 A2(2,0)与 Q 点,∴设 Q(s,t) ,可得 s= .

由此可得

=

=

=

= .

故答案为: .

【点评】本题给出与椭圆相关的直线与圆相切的问题,求线段的比值.着重考查了直线的基 本量与基本形式、直线与圆的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档 题.

14.已知 f(x)=m(x﹣3m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣4.若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是(﹣5,﹣ ) . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;探究型;分类讨论;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用;不等式 的解法及应用;简易逻辑. 【分析】由①可推得 f(x)=m(x﹣3m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立,建立关于 m 的不等 式组可得 m 的范围,然后由②可得: ? x∈(﹣∞,﹣4) ,使(x﹣3m) (x+m+3)<0 成立, 只要使﹣4 比 3m,﹣m﹣3 中较小的一个大即可,分类讨论可得 m 的范围,综合可得答案. 【解答】解:∵g(x)=2x﹣4,当 x≥2 时,g(x)≥0, 又∵? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ∴f(x)=m(x﹣3m) (x+m+3)<0 在 x≥2 时恒成立, ∴二次函数图象开口只能向下,且与 x 轴交点都在(2,0)的左侧,

x



,解得﹣5<m<0;

又∵? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 而此时有 g(x)=2x﹣4<0. ∴? x∈(﹣∞,﹣4) ,使 f(x)=m(x﹣3m) (x+m+3)>0 成立, 由于 m<0,∴? x∈(﹣∞,﹣4) ,使(x﹣3m) (x+m+3)<0 成立, 故只要使﹣4 比 3m,﹣m﹣3 中较小的一个大即可, 当 m∈(﹣ ,0)时,3m>﹣m﹣3,只要﹣4>﹣m﹣3,解得 m>1 与 m∈(﹣ ,0)的交集为 空集; 当 m=﹣ 时,两根为﹣2;﹣2>﹣4,不符合; 当 m∈(﹣5,﹣ )时,3m<﹣m﹣3,∴只要﹣4>3m,解得 m<﹣ , 综上可得 m 的取值范围是: (﹣5,﹣ ) . 故答案为: (﹣5,﹣ ) .

【点评】此题考查了一元二次不等式的解法,指数函数的单调性及特殊点,利用了分类讨论 的思想,分类讨论时要做到不重不漏,考虑问题要全面,是中档题也是易错题.

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)已知 a∈R,命题 p:“? x∈,x ﹣a≥0”,命题 q:“? x∈R,x +2ax+2﹣a=0”.
2 2

(Ⅰ)若命题 p 为真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】计算题;函数思想;综合法;简易逻辑. 【分析】 (I)由命题 p 为真命题,问题转化为求出 x2min,从而求出 a 的范围; ( II)由命题“p∧q”为假命题,得到 p 为假命题或 q 为假命题,通过讨论 p,q 的真假, 从而求出 a 的范围. 【解答】解: (I)由命题 p 为真命题,a≤x min,a≤1; ( II)由命题“p∧q”为假命题,所以 p 为假命题或 q 为假命题, p 为假命题时,由(I)a>1; q 为假命题时△=4a ﹣4(2﹣a)<0,﹣2<a<1, 综上:a∈(﹣2,1)∪(1,+∞) . 【点评】本题考查了复合命题的判断,考查函数恒成立问题,是一道基础题.
2 2

16. (14 分)已知直线 l 经过点(4,0) ,且倾斜角为 极点. (Ⅰ)求 l 与 M 的极坐标方程; (Ⅱ)判断 l 与 M 的位置关系. 【考点】简单曲线的极坐标方程.

,圆 M 以

为圆心,过

【专题】计算题;方程思想;数形结合法;坐标系和参数方程. 【分析】 (Ⅰ)由题意画出图形,分别在两直角三角形中求得 l 与 M 的极坐标方程; (Ⅱ)化极坐标方程为直角坐标方程,求出圆 M 的圆心,由点到直线距离公式判断 l 与 M 的 位置关系. 【解答】解: (Ⅰ)如图,

设 l 上任一点 P(ρ ,θ ) ,在△OAP 中,由正弦定理 (cosθ +sinθ )=4; 设圆 M 上任一点 Q(ρ ,θ ) ,连接 OM 延长交圆于 B,在直角三角形 OBQ 中 ,即 ρ =2cosθ +2sinθ ; (Ⅱ)把 l 与 M 的极坐标方程化为直角坐标方程,l:x+y=4, M:x2+y2﹣2x﹣2y=0, ∵圆心 M(1,1)到 l 的距离 d= =r,∴l 与 M 相切.

,即 ρ

【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查了极坐标与直角坐标的互化,训练了点到直 线距离公式的应用,是基础题.

17. (14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程

(φ 为参数) ,直线 l

的参数方程

(t 为参数) .

(I)求 C 与 l 的方程; (Ⅱ)求过 C 的右焦点,且平行 l 的直线方程. 【考点】椭圆的参数方程. 【专题】计算题;方程思想;参数法;坐标系和参数方程. 【分析】 (I)消去参数 φ 可得椭圆方程为 ;

(II) 同理可得直线 l 的方程为 x﹣2y+2=0, 斜率为 , 由 (I) 可得椭圆 C 的右焦点为 (4, 0) , 可得点斜式方程,化为一般式即可. 【解答】解: (I)∵椭圆 C 的参数方程 ∴cosφ = ,sinφ = ,∵cos2φ +sin2φ =1, (φ 为参数) ,

∴( )2+( )2=1,即



(II)同理消去参数 t 可得直线 l 的方程为:x﹣2y+2=0,l 的斜率为 , 由(I)可得椭圆 C 的右焦点为(4,0) , ∴所求直线方程为 y= (x﹣4) ,即 x﹣2y﹣4=0. 【点评】本题考查椭圆的参数方程,涉及直线的方程的求解,属基础题.

18. (16 分) 设椭圆 E 的方程为

+

=1 (a>b>0) , 点 O 为坐标原点, 点 A 的坐标为 (a, 0) ,

点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 为 ,求 E 的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【专题】创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (I)由于点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,即 ,可得 .利



,可得



(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 线 AB 的对称点为 S 可.

=1,利用中点坐标公式可得 N.设点 N 关于直

,线段 NS 的中点 T,又 AB 垂直平分线段 NS,可得 b,解得即

【解答】解: (I)∵点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,∴



∵A(a,0) ,B(0,b) ,∴ ∵ ,∴ ,a= b.

=





=



(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 设点 N 关于直线 AB 的对称点为 S

=1,N , 线段 NS 的中点 T

. ,

又 AB 垂直平分线段 NS,∴

,解得 b=3,

∴a=3

. .

∴椭圆 E 的方程为:

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相 互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

19. (16 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为

,点 M 在

椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= (Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程;

截得的线段的长为 c,|FM|=



(Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 围.

,求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)通过离心率为 ,计算可得 a2=3c2、b2=2c2,设直线 FM 的方程为 y=k(x+c) ,

利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论;

(Ⅱ)通过联立椭圆与直线 FM 的方程,可得 M(c,

c) ,利用|FM|=

计算即可;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程,分 x∈(﹣ ,﹣ 1)与 x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵离心率为 ∴2a =3b ,∴a =3c ,b =2c , 设直线 FM 的斜率为 k(k>0) ,则直线 FM 的方程为 y=k(x+c) , ∵直线 FM 被圆 x +y =
2 2 2 2 2 2 2 2

,∴

=

= ,

截得的线段的长为 c,

∴圆心(0,0)到直线 FM 的距离 d=



∴d2+

=

,即(

)2+

=



解得 k=

,即直线 FM 的斜率为



(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:

+

=1,直线 FM 的方程为 y=

(x+c) ,

联立两个方程,消去 y,整理得 3x2+2cx﹣5c2=0,解得 x=﹣ c,或 x=c, ∵点 M 在第一象限,∴M(c, ∵|FM|= ,∴ c) , = ,

解得 c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2, 即椭圆的方程为 + =1;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,直线 FP 的斜率为 t, ∵F(﹣1,0) ,∴t= ,即 y=t(x+1) (x≠﹣1) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 2x2+3t2(x+1)2=6,

又∵直线 FP 的斜率大于







,解得﹣ <x<﹣1,或﹣1<x<0,

设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 m =

2

﹣ .

①当 x∈(﹣ ,﹣1)时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0,

∴m=

,∴m∈(



) ;

②当 x∈(﹣1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, ∴m=﹣ ,∴m∈(﹣∞,﹣ ) ;

综上所述,直线 OP 的斜率的取值范围是: (﹣∞,﹣

)∪(



) .

【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、 一元二次不等式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、以 及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题.

20. (16 分)已知直线 l 为函数 y=x+b 的图象,曲线 C 为二次函数 y=(x﹣1) +2 的图象,直 线 l 与曲线 C 交于不同两点 A,B (Ⅰ)当 b=7 时,求弦 AB 的长; (Ⅱ)求线段 AB 中点的轨迹方程; (Ⅲ)试利用抛物线的定义证明:曲线 C 为抛物线. 【考点】轨迹方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (Ⅰ)当 b=7 时,直线 y=x+7 代入 y=(x﹣1)2+2,求出 A,B 的坐标,即可求弦 AB 的长; (Ⅱ)把 y=x+b 代入 y=(x﹣1)2+2,利用韦达定理,即可求线段 AB 中点的轨迹方程; (Ⅲ)证明:曲线 C 上的任一点 M 到点(1, )与到直线 y= 的距离相等,即可确定曲线 C 为抛物线.

2

【解答】解: (I)把直线 y=x+7 代入 y=(x﹣1)2+2,得 即 A(﹣1,6) ,B(4,11) ,所以|AB|=5 ;?





(II)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x,y) 把 y=x+b 代入 y=(x﹣1) +2,得 x ﹣3x+3﹣b=0? 由韦达定理 x1+x2=3,△=3 ﹣4(3﹣b)>0,b>
2 2 2

所以



,?

所以线段 AB 中点的轨迹方程

;?

(III)可以证明曲线 C 上的任一点 M 到点(1, )与到直线 y= 的距离相等. 或设曲线 C 上的任一点 M(x,y)到点(1,m)的距离等于到直线 y=n 的距离,? 即 整理得(1﹣2m)y+m ﹣2=﹣2ny+n , 所以 ,解得 m= ,n= ; ?(14 分)
2 2

,又 y=(x﹣1)2+2,

所以曲线 C 上的任一点 M 到点(1, )与到直线 y= 的距离相等. 所以曲线 C 是抛物线.?(16 分) 【点评】本题考查抛物线的定义,考查轨迹方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题.


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