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动点轨迹方程的求法


动点轨迹方程的求法 一、直接法 按求动点轨迹方程的一般步骤求,其过程是建系设点,列出几何等式,坐标代换,化简 整理,主要用于动点具有的几何条件比较明显时. 例 1(1994 年全国)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C: x ? y ? 1 ,动点 M 2 2 到圆 C 的切线长与 MQ 的比等于常数 ? ?? ? 0? (如图) ,求动点 M 的轨迹方程,说明它表 示什么曲线. 解:设 M(x,y) ,直线 MN 切圆 C 于 N, 则有 MN MQ ??, 2 2 即 MO ? ON MQ ??, x2 ? y 2 ?1 ( x ? 2) 2 ? y 2 2 2 ??. 2 2 2 2 整理得 (? ? 1) x ? (? ? 1) y ? 4? x ? (1 ? 4? ) ? 0 ,这就是动点 M 的轨迹方 程. 若 ? ? 1 ,方程化为 x ? 5 5 ,它表示过点 ( ,0) 和 x 轴垂直的一条直线; 4 4 2?2 2 1 ? 3?2 2?2 )? y2 ? 2 ,0) 为圆心, ,它表示以 ( 2 ?2 ? 1 (? ? 1) 2 ? ?1 ( 若λ ≠1,方程化为 x- 1 ? 3?2 ?2 ? 1 为半径的圆. 二、代入法 若动点 M(x,y)依赖已知曲线上的动点 N 而运动,则可将转化后的动点 N 的坐标入 已知曲线的方程或满足的几何条件,从而求得动点 M 的轨迹方程,此法称为代入法,一般 用于两个或两个以上动点的情况. 例 2 (1986 年全国)已知抛物线 y ? x ? 1 ,定点 A(3,1) 为抛物线上任意一点, ,B 2 点 P 在线段 AB 上,且有 BP:PA=1:2,当点 B 在抛物线上变动时,求点 P 的轨迹方程,并指 出这个轨迹为哪种曲线. 解:设 P( x, y ), B( x1 , y1 ) ,由题设,P 分线段 AB 的比 ? ? ∴ AP ? 2, PB x? 3 ? 2 x1 1 ? 2 y1 ,y ? . 1? 2 1? 2 1 解得 x1 ? 3 3 3 1 x ? , y1 ? y ? . 2 2 2 2 2 又点 B 在抛物线 y ? x ? 1 上,其坐标适合抛物线方程, ∴ 3 1 3 3 ( y ? ) 2 ? ( x ? ) ? 1. 2 2 2 2 整理得点 P 的轨迹方程为 1 2 1 ( y ? ) 2 ? ( x ? ), 3 3 3 其轨迹为抛物线. 三、定义法 若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方 程.此法一般用于求圆锥曲线的方程,在高考中常填空、选择题的形式出现. 例 3 (1986 年广东)若动圆与圆 ( x ? 2) ? y ? 4 外切且与直线 x=2 相切,则动圆圆 2 2 心的轨迹方程是 (A) y ? 12 x ? 12 ? 0 2 (B) y ? 12 x ? 12 ? 0 2 (C) y ? 8 x ? 0 2 (D) y ? 8 x ? 0 2 解:如图,设动圆圆心为 M,由题意,动点 M 到定圆圆心(-2,0)的距离等于它到 定直线 x=4 的距离,故所求轨迹是以(-2,0)为焦点,直线 x=4 为准线的抛物线,并且 p=6,顶点是(1,0) ,开口向左,所以方程是 y ? ?12( x ? 1) .选(B) . 2 例 4 (1993 年全国)一动圆与两圆 x ? y ? 1 和 x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动

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