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自用线面平行的判定定理


复习:
1.直线和平面的三种位置关系
直线a在平面?内

空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a与平面?相交 直线a与平面?平行

a
? a A ? 记为a∩?=A
有且只有一个交点

a

? 记为a//?
没有交点

r />记为a ? ?
有无数个交点

D

(1) 通过 “平行四边形”

C B

A

(2) 通过 “三角形中位线” (3) 通过 “比例线段”
A E B F C

AE AF ? ?EF // BC EB FC

二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? l

?

实例感受

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象.

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?
A A

B

B

抽象概括
直线与平面平行的判定定理:
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

则该直线与此平面平行.

a ? b a//?

仔细分析下,判定 定理告诉我们,判定直 线与平面平行的条件有 几个,是什么?

定理中必须的条件有三个,分别为:
?a在平面?外,即a ? ?(面外) ?(面内) ?b在平面?内,即b ? ?a与b平行,即a∥b(平行)

a ? b

用符号语言可概括为:

a ??? ? b ? ? ? ? a∥ ? a ∥b ? ?
简述为:线线平行?线面平行

a//?

对判定定理的再认识:
?它是证明直线与平面平行最常 用最简易的方法; ?应用定理时,应注意三个条 件是缺一不可的; ?要证明直线与平面平行,只要在 这个平面内找出一条直线与已知 直线平行,把证明线面问题转化 为证明线线问题.

a

?

b a//?

一起来认识一下判定定理的威力
如图,长方体的六个面都是矩形,则 (1) 与直线AB平行的平面是: 平面CD1, (2) 与直线AD平行的平面是: (3) 与直线AA1平行的平面是:
D1 A1
D B1 C C1
平面BC1

平面A1C1
平面B1D1

A

B

例题讲解:
例1.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的 中点,证明:直线EF与平面BCD平行
证明:如右图,连接BD, 在△ABD中,E,F分别为AB,
A

AD的中点,即EF为中位线 ∴EF ∥BD,
又EF ?平面BCD,

E

F
C

D B

BD

? 平面BCD,

∴EF ∥平面BCD
大图

如图,在空间四边形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,
AE AF ? 若 ,则EF与平面BCD的位置关系是 ____ EB FD

A F D B

E

C

如图,点P为平行四边形ABCD所在平面外一点,M为PD 边中点,求证: PB//平面MAC.
P

M
D C O A B

如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中点,试判断

BD1与平面AEC的位置关系,
并说明理由.
A1

D1 B1

C1

E

D

C

O A
B

再练:如图,在三棱柱ABC——A1B1C1中, D是AC的中点。

求证:AB1//平面DBC1

A1

C1

B1

P
D A C

B

巩固练习:
例2.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中, M、 N分别是BC和A1B1的中点, 求证:MN∥平面AA1C1C
证明:设A1C1中点为F,连结NF,FC. ∥ 1 B1C1 ∵N为A1B1中点, ∴NF = 2 ∥ 又∵BC= B1C1 , M是BC的中点, ∥ ∴MC= 1/2B1C1 即MC ∥ NF = ∴NFCM为平行四边形, 故MN∥CF
B

A

M

C

A1 N B1 F

C1

大图

演练反馈
判断下列命题是否正确:
(1)一条直线平行于一个平面, 这条直线就 (?) 与这个平面内的任意直线平行。 (2)直线在平面外是指直线和平面最多有一个 公共点. (?) (3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平 面平行。 (?) (4)若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线, 则l // ? (?) (5)如果a、b是两条直线,且a // b ,那么a平 行于经过b的任何平面. (?)

小结: 小结:

1.直线与平面平行的判定:
(1)运用定义; (2)运用判定定理: 线线平行?线面平行

2.应用判定定理时,应当注意三个 不可或缺的条件,即:
?a在平面?外,即a ??(面外) ?b在平面?内,即b ??(面内) ?a与b平行,即a∥b(平行)

a ?

b
a//?


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