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2.1.3(1)函数的单调性(1)


探究:函数的单调性及有关概念
思考 1 观察下列函数的图象,回答当自变量 x 的值增大时,函数值 f(x)

是如何变化的?

答 当自变量在实数集内由小变大时,函数 y=2x 的值也随着逐渐增大,
函数 y=-2x 的值反而减小;而函数 y=x2+1,在区间(-∞,0]上,函数

值逐渐减小,在区

间[0,+∞)上又逐渐增大.

探究:函数的单调性及有关概念

思考 2 如何用 x 与 f(x)来描述当 x 在给定区间从小到大取值时, 函数值逐渐增大?函数值逐渐减小?

答 在给定区间上任取 x1,x2,x1<x2,f(x1)<f(x2).
x1<x2,f(x1)>f(x2).

探究:函数的单调性及有关概念
思考 2 如何用 x 与 f(x)来描述当 x 在给定区间从小到大取值时, 函数值逐渐增大?函数值逐渐减小?



在给定区间上任取 x1,x2,x1<x2,f(x1)<f(x2).
x1<x2,f(x1)>f(x2).

思考 3

在函数 y=f(x)的图象上任取两点 A(x1,y1),B(x2,y2),记 Δx=x2

-x1,Δy=f(x2)-f(x1)=y2-y1,如何用 Δx 与 Δy 来描述:“当 x 在给定 区间从小到大取值时,函数值依次增大”?“当 x 在给定区间从小到大 取值时,函数值依次减小”?
答 分别表示为:当 Δx>0 时,Δy>0;当 Δx>0 时,Δy<0.

探究:函数的单调性及有关概念
思考 4 对于函数 f(x), 当 Δx>0 时, 有 Δy>0, 我们说 f(x)是增函数; 当 Δx>0 时,有 Δy<0. 我们说 f(x)是减函数.如果给出函数 y=f(x),x∈A,你能 给增函数和减函数下个定义吗?
答 一般地,设函数 f(x)的定义域为 A,区间 M?A.如果 取区间 M 中的任意两个值 x1,x2,改变量 Δx=x2-x1>0,
则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0 时, 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增函数,如右图(1);

当 Δy=f(x2)-f(x1)<0 时, 就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数,如右图(2).

y

y y=f(x) f(x1) x2 x o x1 f(x2) y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1

定义
1.增函数与减函数

一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 M?A.如果取区间 M 中的任 意两个值

x1,x2 , 改变量 Δx=x2-x1>0, 则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0 时,

就称函数 y=f(x)在区间 M 上是增函数, 当 么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数. 2.单调性与单调区间

Δy=f(x2)-f(x1)<0

时, 那

如果一个函数在某个区间 M 上是 增函数 或是 减函数 ,就说这个函数在 这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为 单调区间.

判断下列函数的单调性

函数在R上 是增函数

函数在R上 是减函数

函数在(-∞,0]上是减函数

函数在(0,+∞)上是增函数

1. 自变量取值的任意性. 2. 增函数、减函数、单调函数是 对整个 定义 域而言.有的函数不是单调函数,但在某个区 间上可以有单调性.

例1. 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象 说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函 数?
3 2
-3 -2 -1 -5 -4 -1 -2 y 1
O

y ? f ( x)
1 2 3 4 5

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1) ,[1,3), [3,5].
其中y=f(x)在区间[-2,1),[3,5]上是增函数; 在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数. 说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.

探要点、究所然

跟踪训练

根据下图说出函数在每一个单调区间上,是增函数还是减函数.

解 函数在[-1,0)上是减函数,在[0,2)上是增函数, 在[2,4)上是减函数,在[4,5]上是增函数.

练习:指出函数f(x)= x - 2x的单调区间

2

y
f ( x) ? x ? 2 x
2

单调递减区间:

( ? ?, 1]
单调递增区间:

1

o

2

x

[1 ,? ?)作图是得出函
数单调性的方 法之一.

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)的对称轴为
2

b x?? 2a
单调减区间

y ? ax 2 ? bx ? c
a>0

单调增区间

? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?

b ? ? ? ??, ? ? 2a ? ?
? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?

a<0

b ? ? ? ??, ? ? 2a ? ?

练习

函数f (x)=

2x+1, (x≥1) 5 - x, (x<1)

则f (x)的递减区间为( B A. [1, +∞)
C. (0, +∞)

) B. (-∞, 1)
D. (-∞, 1]

探要点、究所然

例2

证明函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.
设 x1,x2 是任意两个不相等的实数,且 x1<x2,

证明

设值

则 Δx=x2-x1>0,
Δy=f(x2)-f(x1)=2x2+1-(2x1+1)
=2(x2-x1)=2Δx>0

作差变形 判断差符号 下结论

? 函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.

证明函数单调性的步骤:
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负;

②配方法 ① 分解因式 4.下结论:由定义得出函数的单调性.



探要点、究所然

跟踪训练

1 证明函数 f(x)=x在区间(0,+∞)和(-∞,0)上是减函数.

证明 设 x1, x2 是(0, +∞)上的任意两个实数, 且 x1<x2, 则 Δx=x1-x2<0,
1 1 x2-x1 Δy=f(x1)-f(x2)= - = . x1 x2 x1x2

由 x1,x2∈(0,+∞),得 x1x2>0,
且 x2-x1=-Δx>0,于是 Δy>0.
1 所以,f(x)=x在(0,+∞)上是减函数.

反比例函数

1 y ? : x
-2

y
-1
1
O

减 函数 在(-∞,0)上是____

f ( x) ? 1 x
-1 1 2 x

减 函数 在(0,+∞)上是____

1 问:能否说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数? x

y

取自变量-1< 1,

-1

1
O

1 f ( x) ? x
-1 1

而 f(-1) < f(1)

x

1 ∴不能说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x 因为 x1、x2 不具有任意性.

1.证明函数f

3 x ? x 在? 0, ?? ? 上是增函数 ? ?



提示可用公式a ? b ? ?a ? b ? a ? ab ? b
3 3 2

证明函数f ? x ? = x 在 ?0, +∞ ? 上是增函数
3

证明:设
?y ? f

x1 , x2是?0,???上的任意两个实数
3 3 2 2 x ? x ? x ? x ? x x ? x x ? x ? 1? 2 1 ? 2 1 ?? 2 2 1 1 ?

?

2

?

且x1 ? x2 , 则?x =x2 ? x1 ? 0

? x2 ? ? f

? x2 , x1 ? ? 0, ?? ? , x1 x2 ? 0, x ? x ? 0
2 1 2 2

? x2 ? x1 ? ?x ? 0

2 2 ? x1 ? x1 x2 ? x2 ? 0,? f

?函数f

? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 3 ? x ? ? x 在?0, ?? ? 上是增函数

从图形上来分析是这样吗? 函数

y?x

3

2. 证明函数f ? x ? = x3 在 ? -∞, +∞ ? 上是增函数 证明:设 x1 , x2是?? ?,???上的任意两个实数
且x1 ? x2 , 则?x =x2 ? x1 ? 0
?y ? f

? x2 ? ? f
2

3 3 2 2 x ? x ? x ? x ? x x ? x x ? x ? 1? 2 1 ? 2 1 ?? 2 2 1 1 ?
2 ?? 1 ? 3 2? ? ? x2 ? x1 ? ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? 2 ? 4 ? ? ?? ?

1 3 2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0, x2 ? 0, 2 4 ? ? 2 1 3 2 ? ? 但以上两式不同时为0,? ? x1 ? x2 ? ? x2 ? 0. 2 4 ? ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? 0.

? x2 ? x1 ? ?x ? 0

?函数f

? x ? ? x 在? ??, ?? ? 上是增函数.
3

课堂小结

1. 增函数、减函数的定义;
2.图象法判断函数的单调性:
增函数的图象从左到右 减函数的图象从左到右

上升 下降

3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号
下结论


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