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第三章 不等式测试卷A 新人教A版必修5


第三章不等式单元检测 A
一、选择题: 1、若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc ( )

C.

c2 ?0 a ?b
( )

D. (a ? b)c 2 ? 0

2、函数 f ( x) ? A. ( , ??)

1 ? lg(2 x ? 1) 的定义域为 2? x
B. ( , 2)

1 2

1 2

C. ( ,1)

1 2

D. (??, 2) ( )

3、已知 ?1 ? a ? 0 ,则 A. 0.2 ? ( ) ? 2
a a

1 2

a

B. 2 ? 0.2 ? ( )
a a a

1 2

a

1 a a a 2 x ?1 ? 2 的解集为 4、不等式 x
C. ( ) ? 0.2 ? 2 A. [?1, 0)

D. 2 ? ( ) ? 0.2
a

1 2

a



) C. (??, ?1] D. (??, ?1] ? (0, ??)

B. [?1, ??)

a ? a9 P ? 5 、 已 知 等 比 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , 公 比 q ? 1 , 设 P ? 3 2

a3 ? a9 2 ,

Q ? a5 ? a7 ,则 P 与 Q 的大小关系是
A. P ? Q B. P ? Q C. P ? Q





D.无法确定

6、已知正数 x 、 y 满足 A.18 7、下列命题中正确的是

8 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是 x y
B.16 C.8 D.10 (





)

A.当 x ? 0 且 x ? 1 时 lg x ? C.当 0 ? ? ?

1 ?2 lg x

B.当 x ? 0 , x ?

1 ?2 x
1 无最大值 x
4 4

?
2

, sin ? ?

1 的最小值为 2 2 sin ?

D.当 0 ? x ? 2 时, x ?

8、设直角三角形两直角边的长分别为 a 和 b,斜边长为 c,斜边上的高为 h,则 a ? b 和

c 4 ? h 4 的大小关系是
A. a ? b ? c ? h
4 4 4 4

( B. a ? b ? c ? h
4 4 4 4

)

1

C. a ? b ? c ? h
4 4 4

4

D.不能确定

? x?0 ? y?0 ? 9、在约束条件 ? 下,当 3 ? x ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围 ? y?x?s ? ? y ? 2x ? 4
是 A. [6,15] ( ) B. [7,15]
2

C. [6,8]

D. [7,8] )

10、 若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立, 则 实数 m 的取值范围是 (

A . m ? ? 3 B. m ? ? 3 C. ? 3 ? m ? 0 D . m ? ? 3 或 m ? 0 11、某商品以进价的 2 倍销售,由于市场变化,该商品销售过程中经过了两次降价,第二次 降价的百分率是第一次的两倍,两次降价的销售价仍不低于进价的 96 %,则第一次降价的 百分率最大为( ) A 10% B 15% C 20% D 25% 12、在使 f ( x) ? M 成立的所有常数 M 中,把 M 的最大值叫做 f ( x ) 的“下确界” ,例如

f ( x) ? x2 ? 2x ? M ,则 M max ? ?1, 故 ?1 是 f ( x) ? x2 ? 2x 的下确界,那么
中 a, b ? R ,且 a , b 不全为的 0 下确界是( A.2 二、填空题 B. )

a 2 ? b2 (其 ( a ? b) 2

1 2

C.4

D.

1 4

13、设 x, y 满足 x ? 4 y ? 40 且 x, y ? R 则 lg x ? lg y 的最大值是___________. 14 、 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 1 ? x ? y ? 4 , ?2 ? x ? y ? 2 . 若 目 标 函 数

?

z ? ax ? y( z ? 0) 仅在点 (3,1) 处取得最大值,则 a 的取值范围为___________.
15、设 a ? 0 ,且 a ? 1 ,函数 f ( x) ? alg( x
2

?2a?1)

有最小值,则不等式 loga ( x2 ? 5x ? 7) ? 0 的

解集为___________. 16、某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存储 费用为 4 x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x ? _______

三、解答题
5 5 2 3 3 2 17、已知 a , b 都是正数,并且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? a b

2

2 18、关于 x 的不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 的解集为空集,求实数 k 的 2

取值范围.

19、已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值有如下解法: x y

解:∵ x ? 2 y ? 1 且 x ? 0, y ? 0 .∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? 2 2 xy ? 4 2 , x y x y xy

∴( ?

1 x

1 ) min ? 4 2 . 判断以上解法是否正确?说明理由;若不正确,请给出正确解法. y

20、制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人 打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能 的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元?才能使可能的盈
3

利最大?

3 21 、已知 函数 f ( x) ? ax2 ? a2 x? 2 b? a ,当 x ? ( ??, ?2)? (6,?? ) 时, f ( x ) ? 0 ;当

x ? (? 2, 6)时, f ( x) ? 0 。①求 a 、b 的值;②设 F ( x) ? ?
则当 k 取何值 时, 函数 F ( x) 的值恒为负数?

k f ( x) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1) , 4

22、某公司按现有能力,每月收入为 70 万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后 因竞争加剧收入将逐月减少. 分析测算得入世第一个月收入将减少 3 万元, 以后逐月多减少 2 万元,如果进行改革,即投入技术改造 300 万元,且入世后每月再投入 1 万元进行员工培 训, 则测算得自入世后第一个月起累计收入 Tn 与时间 n (以月为单位) 的关系为 Tn ? an ? b , 且入世第一个月时收入将为 90 万元,第二个月时累计收入为 170 万元,问入世后经过几个 月,该公司 改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

第三章不等式单元检测 A 参考答案 一、选择题 DBAAA 二、填空题 13、 2 ABACA CB 14、 (1,+∞) 15、 (2,3) 16、 20
4

三、解答题 17、证明: (a5 ? b5 ) ? (a2b3 ? a3b2 ) ? (a5 ? a3b2 ) ? (b5 ? a2b3 )

? a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2 ) ? (a3 ? b3 )(a2 ? b2 ) ? (a ? b)(a ? b)2 (a2 ? ab ? b2 )
∵ a , b 都是正数,∴ a ? b ? 0 , a ? ab ? b ? 0
2 2

又∵ a ? b ,∴ (a ? b)2 ? 0 即: a ? b ? a b ? a b .
5 5 2 3 3 2

∴ (a ? b)(a ? b)2 (a2 ? ab ? b2 ) ? 0

18、分析:本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法.关键是对 x 前系数分类讨论. 解:(1)当 k ? 0 时,原不等式化为 8<0,显然符合题意。 (2)当 k ? 0 时,要使 二次不等式的解集为空集,则必须满足:

2

?k ? 0 ? 2 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0
综合(1)(2)得 k 的取值范围为 ?0,1? 。 19、解:错误. ∵

解得 0 ? k ? 1

1 1 1 ? ?2 x y xy

① 等号当且仅当 x ? y 时成立,又∵ x ? 2 y ? 2 2xy



等号当且仅当 x ? 2 y 时成立,而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法:∵ x ? 2 y ? 1 且 x ? 0, y ? 0 .



1 1 1 1 2y x ? ? ( ? )( x ? 2 y) ? 3 ? 2 ? ? 3? 2 2 , x y x y x y

? x ? 2 ?1 2y x ? ? ,即 x ? 2 y ,又 x ? 2 y ? 1 ,∴这时 ? 当且仅当 2? 2 x y ?y ? ? 2
∴ ( ?

1 x

1 )min ? 3 ? 2 2 . y
(0,18) (0,10) M(4,6)

20、解:设分别向甲、乙两项目投资 x 万元,y 万元,由题意知

O

(6,0)

( 10,0) 5 x

? x ? y ? 10 ?0.3 x ? 0.1 y ? 1.8 ? , ? x ? 0 ? ? y?0 ?
目标函数 z ? x ? 0.5 y 作出可行域,作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行于直线 l0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z ,

z ? R ,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距
离最大,这里 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点,

解方程组 ?

x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ?

解得 x ? 4, y ? 6 ,此时 z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元) ∵ 7 ? 0 ∴当 x ? 4, y ? 6 时 z 取得 最大值。 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前 提下,使可能的盈利最大。 21、解: (1)先作出符合条件下函数的大致图象,如图所示, 根据图象列出关于函数解析式的参数 a,b 的关系式。 ∵ f ( x) ? ax ? a x ? 2b ? a
2 2 3

又 x ? (?2, 6) , f ( x) ? 0 ; x ? (??, ?2) ? (6, ??) , f ( x) ? 0 。 ∴ ?2 和 6 是方程 ax ? a x ? 2b ? a ? 0 的两根。
2 2 3

? ?2 ? 6 ? ?a ? 故? 2b ? a3 ? 2 ? 6 ? ? a ?
2

解得 ?

?a ? ?4 ?b ? ?8

此时, f ( x) ? ?4 x ? 16 x ? 48

(2)∵ F ( x) ? ?

k (?4 x 2 ? 16 x ? 48) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1) ? kx 2 ? 4 x ? 2 4
2

∴欲使 f ( x) ? 0 恒成立,只要使 kx ? 4 x ? 2 ? 0 恒成立,则须要满足: ①当 k ? 0 时,原不等式化为 4 x ? 2 ? 0 ,显然不合题意,舍去。 ②当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为 x ? R ,则必须满足:

6

k ?0 ? ? 2 ?? ? 4 ? 4k (?2) ? 0

解得 k ? ?2 .

综合①②得 k 的取值范围为 (??, ?2) 。 22、解:入世改革后经过 n 个月的纯收入为 Tn ? 300 ? n 万元 不改革时的纯收入为 70n ? [3n ? 又?

n(n ? 1) ? 2] 2

? 90 ? a ? b ?a ? 80 ,所以 ? . ? b ? 10 ?170 ? 2a ? b

由题意建立不等式 80n ? 10n ? 300 ? n ? 70n ? 3n ? (n ? 1)n 即 n ? 11n ? 290 ? 0 ,得 n ? 12.2
2

∵ n ? N ,故取 n ? 13 答:经过 13 个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

7


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