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高一数学竞赛试题及答案详解


高一数学竞赛试题
一、选择题(每小题 5 分, 共 40 分, 每题仅有一个正确答案) 1.已知函数 f(x)满足 f(
2 )=log2 x | x | , 则 f(x)的解析式是( x? | x |

)

A.2?x B.log2 x C. ?log2 x D.x?2 2.已知 f(x)=1- 1 ? x 2 (-

1≤x≤0), 函数 y=f(x+1)与 y=f(3-x)的图象关于 直线 l 对称, 则直线 l 的方程为( ) A.x=2 B.x=1 C.x= 1
2

D.x=0
1 2

3.设 f(x)是 R 上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若 f( )=0, f(log4x)>0, 那么 x 的 取值范围是( ) B.x>2 C. <x<1
1 2

1 A.x>2 或 <x<1 2

D. <x<2

1 2

4.已知定义域为 R 的函数 y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又 y=f(x+4)是偶 函数, 则( ) A. f(5)<f(2)<f(7) B. f(2)<f(5)<f(7) C. f(7)<f(2)<f(5) D. f(7)<f(5)<f(2) 5.若不等式 2x2+ax+2≥0 对一切 x∈(0, ]成立, 则 a 的最小值为(
1 2

)

A.0 B. ?4 C.?5 D. ?6 6.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(-x)= -f(x+2), 且当 x>1 时, f(x)单 调递增. 如果 x1+x2<2, 且(x1-1)(x2-1)<0, 则 f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能为 0 D.可正可负 ?|x+5| ?|x+5| 7.若函数 f(x)=25 -4×5 +m 的图象与 x 轴有交点, 则实数 m 的 取值范围是( ) A.m>0 B.m≤4 C.0<m≤4 D.0<m≤3 8.对定义在区间[a, b]上的函数 f(x), 若存在常数 c, 对于任意的 x1∈[a, b]有唯一的 x2∈[a, b], 使得
f ( x1 ) ? f ( x2 ) =c 2

成立, 则称函数 f(x)在区 )

间[a, b]上的“均值”为 c. 那么, 函数 f(x)=lgx 在[10, 100]上的“均值”为( A.
1 10

B.10

C. 3
4

D. 3
2

二、填空题(每小题 5 分, 共 30 分) 9.已知集合 A={x | 4?2k<x<2k?8}, B={x | ?k<x<k}, ? B, 则实数 k 的取值范围是____________________ 若A ≠ 10. 若函数 y=loga(2x2+ax+2) 没有最小值 , 则 a 的所有值的集合是 _________________ 11.集合 P={x|x=2n?2k, 其中 n, k∈N, 且 n>k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且 x∈N}, 那么, 集合 P∩Q 中所有元素的和等于_________ 12.已知方程组 ?
?log 81 x ? log 64 y ? 4 ? x ? x1 ? x ? x2 的解为 ? 和? , ? y ? y2 ? y ? y1 ?log x 81 ? log y 64 ? 1

则 log18(x1 x2 y1 y2)=________ 13.若关于 x 的方程 4x+2xm +5=0 至少有一个实根在区间[1, 2]内, 则实数 m 的取值范围是_________________ 14.设 card(P)表示有限集合 P 的元素的个数. 设 a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B), 且满足 a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2a+2b=2a+b?c+2c, 则 max{a, b}的最 小值是______ 三、解答题(每题 10 分, 共 30 分) 15.设函数 f(x)=|x+1|+|ax+1|. (1)当 a=2 时, 求 f(x)的最小值; (2)若 f(-1)=f(1), f(- 1 )=f( 1 )(a∈R, 且 a≠1), 求 a 的值
a a

16. 设函数 f(x) 的定义域是 (0, + ∞ ), 且对任意的正实数 x, y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)恒成立. 已知 f(2)=1, 且 x>1 时, f(x)>0. (1)求 f( 1 )的值;
2

(2)判断 y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的

证明; (3)解不等式 f(x2)>f(8x?6) ?1. 17.已知函数 f(x)=loga (ax2?x+ 1 )在[1, 2]上恒为正数, 求实数 a 的取值
2

范围.


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