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黑龙江省哈尔滨市第九中学2016届高三数学第四次模拟考试试题理(新)


哈尔滨市第九中学 2015---2016 年学年度下学期高三学年第四次 模拟考试数学学科试卷(理科)
(考试时间:120 分钟 满分:150 分 共 2 页) ????第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

1 ( i 是虚数单位)的虚部是 1? i

1 A. 1 B. i C. D.2 i 2
1.复数 2.设集合A ???x| lg?10 ??x ????0?,集合B ??x| 2 ?
2

x

1 ?,则A ??B ? 2

A. ???3,1?????B. ???1,3???C. ???3,?1?????D. ?1,3?

2? ? 3. ? x ? ? 的展开式中,x 的系数为 x? ?
A.40 B.-40
2

5

C.80

D.-80

4.命题“若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2”的否命题为 2 2 A.若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2 B.若 x ??4 ,则 x ??2 且 x ???2 2 2 C.若 x ??4 ,则 x ??2 或 x ???2 D.若 x ??4 ,则 x ??2 或 x ???2 5.抛物线 y ??4a x ?a ??0??的焦点坐标是 A. ?0,a??????B. ?a,0??????C.(0, 6.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( A.7 C.3 B.9 D.11 )
2

1 ) 16a

D.(

1 , 0) 16a

7.已知甲,乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 m, n 比值 A.

m ? n 2 B. 9

1 3

C. 1

D.

3 8

8.设a, b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 A. 存在唯一平面??,使得 a ????,且 b //? B. 存在唯 一直线 l ,使得 l // a ,且 l ??b C. 存在唯一直线 l ,使得 l ??a ,且 l ??b ????,且 b ??? D. 存在唯一平面??,使得 a

1

? x ? y ?1 ? 0 ? 9.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,若目标函数 z ??2 x ??y 的最大值与最小值的 ? y?m ?
差为2,则实数 m的值为 A. 4 B.2 C.3 D. ?

1 2

10.一个空间几 何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接 球的表面积为 A. 24?? ???????????B. 6? C. 4??????????????D. 2? 11.为得到函数 y ??sin ? x ?

? ?

??

? 的图象,可将函数 y 3?

??sin x 的图象向左平移 m 个单位长度, 或向右平移 n 个单位长度 ( m , n 均为正数) , 则| m ??n|的最小值为 A.

?
3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.
x

5? 3

12.已知函数 f ??x???? a log a x ,要使f ?x?恒有两个零点, 则 a 的取值范围 是
1 1

A.

(1, e e )

B.?1, e???????C. ?1, e ??????D. 第Ⅱ卷(非 选择 题共 90 分)

2

(e e , e 2 )

二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分)

13.已知向量

是两个不共线的向量,若



共线,则

??=_______________ 14.由曲线 y=x , y=
2

x 围成的封闭图形的面积为___________________.

15.在小语种提前招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额,其中俄语 2 个,日语 2 个,西 班牙语 1m 个,日语和俄语都要求有男生参加.学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 名推荐 对象,则不同的推比值?乙甲 n 荐方法共有__________________. 16. 已知数列 ?a n?的通项公式为 项和为 Sn,则 S 60 ??????????????????? ,其前 n

2

三、解答题(共 70 分) 17.(本题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,点 (a, b) 在直线 2x cos B ??y cos C ??c cos B 上. 求证: (1) 求 cos B 的值; (2) 若 a ??? 影. 18. (本题满分 12 分) 在某地区举行的一次数学竞赛中,随机抽取了 100 名考生的成绩(单位:分) ,并把所 得数据列成了如下表所示的频数分布表:?

? ??? ? ??? 2 3 ????, b ??2, 求角 A 的大小及向量 BC 在 BA 方向上的投 2

(1) 求抽取的样本平均数 x 和样本方差 S (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ; (2)已知这次考试共有 2000 名考生参加, 如果近似地认为这次成绩 z 服从正态分布 N , 且规定 827 .分是复试线, ( ? , ? 2 )(其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 2 近似为样本方差 S2) 那么在这 2000 名考生中,能进入复试的有多少人?(附: 161 ? 12.7 .若 z~N ( ? , ? ) ,
2

2



, 结果取整

数部分) (3)已知样本中成绩在[90,100]中的 6 名考生中,有 4 名男生,2 名女生,现从中选 3 人进行回访,记选出的男生人数为 ? ,求 ? 的分布列与期望 E( ? )

19. (本题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ??ABC D 中,底面 ABC D是直角梯形, ?D AB ??90 , AD // BC ,
0

3

AD ??侧面PAB , ?PAB 是等边三角形, DA ??AB ??2 , BC
????

1 AD, E 是线段 AB 中点。 2

(1)求证: PE ??CD ; (2)求三棱锥 P-CDE 的表面积。

20. (本题满分 12 分) 已 知 平 面 上 的 动 点P( x, y)及 两 定 点A(?2,0), B(2,0), 直 线PA, PB斜 率 分 别 为k1 , k2且k1?? k2???

3 ,设动点P的轨迹为曲线C. 4

(1)求曲线C的方程; (2)过点 T (4,0) 的直线与曲线C交于 M , N 两点,过点M作 M Q ??x轴 ,交曲线C于 点 Q . 求证:直线NQ过定点,并求出定点坐标。

21. (本题满分 12 分) 已知函数 (1)求函数 y =f(x)的零点个数; (2)若函数 y =g(x)在(0,

1 )内有极值,求实数 a 的取值范围; e
, 求证:

(3)对任意的

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请在答题卡上填涂题号对应标记。 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆, AB ??BC , AD 是 BC 边上的高,

AE 是圆 O 的直径.过点 C 作圆 O 的切线交 BA 的延长线于点 F .
(1)求证: AC ??BC ??AD ??AE ; (2)若 AF ??2, CF ? 2 2 ,求 AE 的长.

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

4

在 平 面 直 角 坐 标 系

中 xOy 中 , 直 线

l 的 参 数 方 程 为

(t为参数) ,若以坐标原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,曲线C的极坐标方程为 ??(1??cos 2??) ??8cos??. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相切,求直线 l 与坐标轴围成的三角形的面积. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ??0,b ??0, a ??b ??1, 求证:

1 1 1 ? ? ? 8; a b ab 1 1 (2) (1 ? )(1 ? ) ? 9 a b
(1)

九中四模数学答案(理科) 一. 1-12 CCADCD DABBBA 二. 13-16 ?

1 2

1 3

24

120

17. (1) ?a, b ? 在直线 2 x cos B ? y cosC ? c cos B 上 , 所以 2a cos B ? b cos C ? c cos B , 由正 弦定理得 2 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B , 所以 2 sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin A 因为 sin A ? 0 所以 cos B ? 分

1 2

?6

1 2 3 , b ? 2, 由正弦定理得 sin A ? , A ? 30? 2 3 3 . BC 在 BA 方向上的投影为 BC ? cos B ? 3
(2) B ? 60? ,因为 a ? 18.

??12 分

5

19. ( 1 ) 证 明 : 因 为 AD ⊥ 侧 面 PAB , PE? 平 面 PAB , 所 以 AD ⊥ PE . 又 因 为 △ PAB 是 等 边 三 角 形 , E 是 线 段 AB 的 中 点 , 所 以 PE ⊥ AB . 因为 AD∩AB=A,所以 PE⊥平面 ABCD.而 CD? 平面 ABCD,所以 PE⊥CD. ?.4 分 (2) 解 : 以 E 为 原 点 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 则 , , 设 设 为平面 PDE 的法向量, 由 与 平 面 PDE , 即 成 , 可得 角 为 , , , 所以,PC 与平面 PDE 所成的角的正弦值为 20. (1)由题知, x ? 2 ,且 k1 ?
2

PC





θ



???12 分

y

x?2 x?2 2 x y ? ? 1? y ? 0? 整理得曲线 C 方程为 ??.4 分 4 3 (2)证明:设 NQ 与 x 轴交于 D(t ,0) ,则直线 NQ 的方程为 x ? my ? t ?m ? 0?

, k2 ?

y

,则 k1 ? k 2 ?

y 3 ?? x?2 x?2 4 ?

y

6

记 N ( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,由对称性知 M ( x2 ,? y 2 ) ,由 ?

消x得 ?x ? my ? t 3m 2 ? 4 y 2 ? 6mty ? 3t 2 ? 12 ? 0 所以 ? ? 48 3m 2 ? 4 ? t 2 ? 0 6m t ? y1 ? y 2 ? ? 2 ? y1 ? y2 ? 3m ? 4 由 M , N , S 三点共线知 k NS ? k MS ,即 ? ? 2 x1 ? 4 x2 ? 4 ? y ? y ? 3t ? 12 1 2 2 ? 3m ? 4 ? 所以 y1 ?my2 ? t ? 4? ? y2 ?my1 ? t ? 4? ? 0 整理得 2my 1 y 2 ? ?t ? 4?? y1 ? y 2 ? ? 0 2 2m?3t ? 12? ? 6m t?t ? 4? ? 0 即 24m?t ? 1? ? 0, t ? 1 所以直线 NQ 过定点 D?1,0? 所以 3m 2 ? 4

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12

?

?

?

?

?????.. 分

12

7

g/(x)<0,

g(x)

g/(x)>0 ,,, g(x2)

g(x)

g(x) g(x)

g/(x)>0, g(x)

g/(x)<0,, g(x1) ,

g(x)

……….

12 分

8

即 g (t ) ? g ( s ) ? e ? 2 ? 22. (1)

1 . e

连接 BE,由题 意知△ABE 为直角三角形. 因为∠ABE=∠ADC=90°,∠AEB=∠ ACB,所以△ABE∽△ADC.

AB AE = ,即 AB·AC=AD·AE. AD AC 又 AB=BC,所以 AC·BC=AD·AE. ????4 分 (2)因为 FC 是圆 O 的切线, 2 所以 FC =FA·FB. 又 AF=2,CF=2 2,所以 BF=4,AB=BF-AF=2. 因为∠ACF=∠FBC,又∠CFB=∠AFC,所以△AFC∽△CFB. AF AC AF·BC 2 所以 = ,得 AC= = 2,cos∠ACD= . FC BC FC 4
所以 所以 sin∠ACD= 所以 AE= 14 =sin∠AEB. 4 = 4 14 . 7
2

AB
sin∠AEB

????10 分

23.(1) 由 ? (1 ? cos2? ) ? 8 cos? 得 ?? sin ? ? ? 4? cos? 得直角坐标方程为 y ? 4 x
2

????4 分

(2) ?

? x ? t ? 3m ? y ? ? 3t ? 2m

2 代入 y ? 4 x 得 (t为参数)

3t 2 ? 4( 3m ? 1)t ? 4m2 ? 4 3m ? 0
由? ? 0得m ? ?

3 3
? 3? ? 1 ? ?, 0 , ? ,0 ? 与 y 轴交点 ? ? ? 3 ? 3 ? ? ?

????7 分

则直线与 x 轴交点为 ? ? 则S ?

1 1 3 3 ? ? ? 2 3 3 18

????10 分

24.(1)由 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1, 所以

1 1 1 1 1 a?b 1 1 a?b a?b ? ? ? ? ? ? 2( ? ) ? 2( ? ) a b ab a b ab a b a b

9

b a ? 2( ? ) ? 4 ? 4 ? 4 ? (当且仅当 8 a ? b时取等) 即证 ????5 分 a b 1 1 1 1 1 (2) (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? ? ? a b a b ab 1 1 1 ?8 由(1)知 ? ? a b ab 1 1 1 1 1 ?9 所以 (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? ? ? ????10 分 a b a b ab

10


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