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浙江省衢州一中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷 Word版含解析


浙江省衢州一中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) x y 1. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() A. > B. ln(x +1)>ln(y +1) D.x >y
3 3 2 2

C. sinx>siny

>2. (5 分)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

3. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,则公比 q=() A.3 B. 4 C. 5 D.6 4. (5 分)将函数 y=3sin(2x+ A.在区间上单调递减 C. 在区间上单调递减 )的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数()

B. 在区间上单调递增 D.在区间上单调递增
2 2

5. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A.
x y



B.

C.

D.3

6. (5 分)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是() A. B. C.

7. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为()

A.2

B.﹣2

C.

D.﹣

8. (5 分)4cos50°﹣tan40°=()

A.

B.

C.

D.2
*

﹣1

9. (5 分)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,若 b3=﹣2,b10=12, 则 a8=() A.0 B. 3 C. 8 D.11

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的

零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为() A. B.an=n﹣1 C.an=n(n﹣1) D.

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)经过两点 A(﹣1,3) ,B(4,﹣2)的直线的倾斜角的度数等于. 12. (4 分)设 0<θ< ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ=.
2 2

13. (4 分)直线 l1 和 l2 是圆 x +y =2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3) ,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于. 14. (4 分)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=时,{an}的前 n 项和最大. 15. (4 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知 b﹣c= a, 2sinB=3sinC, 则 cosA 的值为. 16. (4 分)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上 的动点,则 的最小值为.

17. (4 分)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a ﹣2ab+b ﹣c=0 且使|2a+b|最大时, + + 的最小值为.

2

2

三.解答题(共 72 分) 18. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; ) ,x∈R,且 f( )= .

(2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0,

) ,求 f(

﹣θ) .

19. (14 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcosC=(2a﹣c)cosB, (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a﹣c=2,求△ ABC 的面积. 20. (14 分)已知点 M(3,1) ,直线 l:ax﹣y+4=0 及圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+1=0 (1)求经过 M 点的圆 C 的切线方程; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 a 的值; (3)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 ,求 a 的值. 21. (15 分)已知数列{an}满足 a1=0,a2=﹣20,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n 2 ﹣1+2(m﹣n) (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; * (Ⅲ)记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 sk≤sn. 22. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=a|x﹣1| (Ⅰ)若函数 φ(x)=|f(x)|﹣g(x)只有一个零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a≥﹣3 时,求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间上的最大值.
2 * 2 2

浙江省衢州一中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试 卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) x y 1. (5 分)已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,则下列关系式恒成立的是() A. > B. ln(x +1)>ln(y +1) D.x >y
3 3 2 2

C. sinx>siny 考点: 专题: 分析: 解答:

指数函数的图像与性质;对数函数的图像与性质. 函数的性质及应用. 本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键. x y 解:∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, = = ,故 > 不成立.

A.若 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但

B.若 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 ln(x +1)=ln(y +1)=ln2,故 ln(x +1)>ln(y +1) 不成立. C.当 x=π,y=0 时,满足 x>y,此时 sinx=sinπ=0,siny=sin0=0,有 sinx>siny,但 sinx> siny 不成立. 3 3 3 D.∵函数 y=x 为增函数,故当 x>y 时,x >y ,恒成立, 故选:D. 点评: 本题主 要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本 题的关键.

2

2

2

2

2. (5 分)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是() A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标运算, 解答: 解:根据 , ,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ(0,0)+μ(1,2) ,则 3=μ,2=2μ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2) ,则 3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2,μ=1, 故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ(3,5)+μ(6,10) ,则 3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3) ,则 3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选项 D 不能. 故选:B. 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,根据 属于基础题. 3. (5 分)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,则公比 q=() A.3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2,两式相减得 3a3=a4﹣a3,由此能求出公比 q=4. 解答: 解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,3S3=a4﹣2,3S2=a3﹣2, 两式相减得 3a3=a4﹣a3, a4=4a3, ∴公比 q=4. 列出方程解方程是关键,

故选:B. 点评: 本题考查公比的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理 运用.

4. (5 分)将函数 y=3sin(2x+ A.在区间上单调递减 C. 在区间上单调递减

)的图象向右平移

个单位长度,所得图象对应的函数()

B. 在区间上单调递增 D.在区间上单调递增

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式, 然后利用复合函数 的单调性的求法求出函数的增区间,取 k=0 即可得到函数在区间上单调递增,则答案可求. 解答: 解:把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度,

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin. 即 y=3sin(2x﹣ 当函数递增时,由 . 取 k=0,得 . ) . ,得

∴所得图象对应的函数在区间 上单调递增. 故选:B. 点评: 本题考查了函数图象的平移, 考查了复合函数单调性的求法, 复合函数的单调性满 足“同增异减”原则,是中档题. 5. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 则△ ABC 的面积是() A. B. C. D.3
2 2



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 2 2 2 分析: 将“c =(a﹣b) +6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC,比较两 式,得到 ab 的值,计算其面积. 2 2 2 解答: 解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴S△ ABC= = .

故选:C. 点评: 本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也 是最方便的定理之一,2015 届高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角 函数,向量,不等式等放在一起综合考查. 6. (5 分)若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是() A. B. C. 考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于 x+y 的不等关系式, 进而可求出 x+y 的取值范围. 解答: 解:∵1=2 +2 ≥2?(2 2 ) 变形为 2
x+y x y x y x y



≤ ,即 x+y≤﹣2,当且仅当 x=y 时取等号.

则 x+y 的取值范围是(﹣∞,﹣2]. 故选 D. 点评: 利用基本不等式, 构造关于某个变量的不等式, 解此不等式便可求出该变量的取值 范围, 再验证等号是否成立,便可确定该变量的最值,这是解决最值问题或范围问题的常 用 方法,应熟练掌握.

7. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为()

A.2

B.﹣2

C.

D.﹣

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 对不等式组中的 kx﹣y+2≥0 讨论,当 k≥0 时,可行域内没有使目标函数 z=y﹣x 取 得最小值的最优解, k<0 时, 若直线 kx﹣y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y﹣2=0 与 x 轴的交点的 左边,z=y﹣x 的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直 线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解答: 解:对不等式组中的 kx﹣y+2≥0 讨论,可 知直线 kx﹣y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y ﹣2=0 与 x 轴的交点的右边,

故由约束条件

作出可行域如图,

由 kx﹣y+2=0,得 x= ∴B(﹣ ) .



由 z=y﹣x 得 y=x+z. 由图可知,当直线 y=x+z 过 B(﹣ 此时 ,解得:k=﹣ . )时直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小.

故选:D. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 8. (5 分)4cos50°﹣tan40°=() A. B. C. D.2 ﹣1

考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系;诱导公式的作用;二倍角的 正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式第一项利用诱导公式化简, 第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦, 通 分后利用同分母分式的减法法则计算,再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简, 整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,约分即可得到结果. 解答: 解:4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=

=

=

=

=

=



故选 C 点评: 此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及 诱导公式的作用,熟练掌握公式是解本题的关键.

9. (5 分)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1﹣an(n∈N ) ,若 b3=﹣2,b10=12, 则 a8=() A.0 B. 3 C. 8 D.11 考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 先利用等差数列的通项公式分别表示出 b3 和 b10,联立方程求得 b1 和 d,进而利用 叠加法求得 b1+b2+…+bn=an+1﹣a1,最后利用等差数列的求和公式求得答案. 解答: 解:依题意可知 ∵bn=an+1﹣an, ∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1, ∴a8=b1+b2+…+b7+3= +3=3 求得 b1=﹣6,d=2

*

故选 B. 点评: 本题主要考查了数列的递推式.考查了考生对数列基础知识的熟练掌握.

10. (5 分)已知函数 f(x)=

,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的

零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为() A. B.an=n﹣1 C.an=n(n﹣1) D.

考点: 根的存在性及根的个数判断;等差数列的通项公式. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的零点的定义,构造两函数图象的交点,交点的横坐标即为函数的零点, 再通过数列及通项公式的概念得所求的解. x x x 解答: 解:当 x∈(﹣∞,0]时,由 g(x)=f(x)﹣x=2 ﹣1﹣x=0,得 2 =x+1.令 y=2 , y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(﹣∞,0]上的图象,由图象易知交点为(0, 1) ,故得到函数的零点为 x=0. 当 x∈(0,1]时,x﹣1∈(﹣1,0],f(x)=f(x﹣1)+1=2 ﹣1+1=2 ,由 g(x)=f(x) x﹣1 x﹣1 x﹣1 ﹣x=2 ﹣x=0,得 2 =x.令 y=2 ,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1] 上的图象,由图象易知交点为(1,1) ,故得到函数的零点为 x=1. 当 x∈(1,2]时,x﹣1∈(0,1],f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1=2 +1,由 g(x)=f(x) x﹣2 x﹣2 x﹣2 ﹣x=2 +1﹣x=0,得 2 =x﹣1.令 y=2 ,y=x﹣1.在同一个坐标系内作出两函数在区 间(1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1) ,故得到函数的零点为 x=2. 依此类推,当 x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次 为(3,1) , (4,1) ,…, (n+1,1) ,得对应的零点分别为 x=3,x=4,…,x=n+1. 故所有的零点从小到大依次排列为 0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为 an=n﹣1. 故选 B.
x﹣1﹣1 x﹣2 x﹣1 x﹣1

点评: 本题主要考查了函数零点的概念及零点的求法、 数列的概念及简单表示; 培养学生 观察、 分析、 归纳、 推理的能力; 解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想. 二.填空题(每小题 4 分,共 28 分) 11. (4 分)经过两点 A(﹣1,3) ,B(4,﹣2)的直线的倾斜角的度数等于 135°. 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 利用两点间的斜率公式可求得直线 AB 的斜率,从而可得其倾斜角. 解:∵A(﹣1,3) ,B(4,﹣2) , =﹣1,

∴直线 AB 的斜率 k=

设直线 AB 的倾斜角为 θ(0°≤θ<180°) , 则 tanθ=﹣1, ∴θ=135 °. 故答案为:135°. 点评: 本题考查直线的斜率, 掌握直线的斜率与其倾斜角之间的关系是关键, 属于基础题.

12. (4 分)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ= .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出. 解答: 解:∵ ∥ ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) , ∴sin2θ﹣cos θ=0, 2 ∴2sinθcosθ=cos θ, ∵0<θ< ,∴cosθ≠0.
2

∴2tanθ=1,

∴tanθ= . 故答案为: . 点评: 本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题. 13. (4 分)直线 l1 和 l2 是圆 x +y =2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3) ,则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 .
2 2

考点: 圆的切线方程;两直线的夹角与到角问题. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 设 l1 与 l2 的夹角为 2θ,由于 l1 与 l2 的交点 A(1,3)在圆的外部,由直角三角形 中的变角关系求得 sinθ 的值,可得 cosθ、tanθ 的值,再计算 tan2θ. 解答: 解:设 l1 与 l2 的夹角为 2θ,由于 l1 与 l2 的交点 A(1,3)在圆的外部, 且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA= , 圆的半径为 r= , ∴sinθ= ∴cosθ= ∴tan2θ= , ,tanθ= , = ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查直线和圆相切的性质, 直角三角形中的变角关系, 同角三角函数的基 本关系、二倍角的正切公式的应用,属于较基础题. 14. (4 分)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=8 时,{an}的前 n 项和最 大. 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 可得等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,进而可得结论. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8>0, ∴a8>0,又 a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0, ∴等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数, ∴等差数列{an}的前 8 项和最大, 故答案为:8. 点评: 本题考查等差数列的性质和单调性,属中档题.

15. (4 分) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知 b﹣c= a, 2sinB=3sinC, 则 cosA 的值为﹣ .

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用正弦定理求得 a=2c,b= 值. 解答: 解:在△ ABC 中, ∵b﹣c= a ①,2sinB=3sinC, ∴2b=3c ②, ∴由①②可得 a=2c,b= . ,再由余弦定理求得 cosA= 的

再由余弦定理可得 cosA= 故答案为:﹣ .

=

=﹣ ,

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题. 16. (4 分)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上 的动点,则 的最小值为 5.

考点: 向量的模. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,利用解析法求解, 以直线 DA, DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0) ,设 P(0,b) (0≤b≤a) ,求出 据向量模的计算公式,即可求得 ,根

,利用完全平方式非负,即可求得其最小值.

解答: 解:如图,以直线 DA,DC 分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系, 则 A(2,0) ,B(1,a) ,C(0,a) ,D(0,0) 设 P(0,b) (0≤b≤a) 则 ∴ ∴ =(2,﹣b) , =(1,a﹣b) ,

=(5,3a﹣4b) = ≥5.

故答案为 5.

点评: 此题是个基础题.考查向量在几何中的应用,以及向量模的求法,同时考查学生灵 活应用知识分析解决问题的能力.
2 2

17. (4 分)对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a ﹣2ab+b ﹣c=0 且使|2a+b|最大时, + + 的最小值为﹣1. 考点: 一般形式的柯西不等式;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先把:4a ﹣2ab+b ﹣c=0,转化为 =
2 2 2

,再由柯西不等式得到

|2a+b| ,分别用 b 表示 a,c,在代入到 + + 得到关于 b 的二次函数,求出最小值即可. 解答: 解:∵4a ﹣2ab+b ﹣c=0, ∴ = 由柯西不等式得,
2 2 2

=|2a+b|

2

故当|2a+b|最大时,有



,c=b

2

∴ + + =

=

当 b=﹣2 时,取得最小值为﹣1. 故答案为:﹣1 点评: 本题考查了柯西不等式,以及二次函数的最值问题,属于难题. 三.解答题(共 72 分) 18. (14 分)已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; ) ,x∈R,且 f( )= .

(2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0,

) ,求 f(

﹣θ) .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式以及 f( (2)由(1)可得 f(x)= 由 θ∈(0, sin(x+ )= ,求得 A 的值.

) ,根据 f(θ)+f(﹣θ)= ,求得 cosθ 的值,再 ﹣θ) 的值. )= .

) ,求得 sinθ 的值,从而求得 f(

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=Asin(x+ ∴Asin( ∴A= . sin(x+ )+ ) , + )=Asin =A? = ,

) ,x∈R,且 f(

(2)由(1)可得 f(x)= ∴f(θ)+f(﹣θ)= ∴cosθ= ∴f(

sin(θ+

sin(﹣θ+ .

)=2

sin

cosθ=

cosθ= ,

,再由 θ∈(0, ﹣θ)= sin(

) ,可得 sinθ= ﹣θ+ )=

sin(π﹣θ)=

sinθ=



点评: 本题主要考查三角函数的恒等变 换,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 19. (14 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcosC=(2a﹣c)cosB, (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b= ,a﹣c=2,求△ ABC 的面积. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)已知等式利用正弦定理化简,整理后再利用诱导公式变形,求出 cosB 的值, 即可确定出∠B 的大小; (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式,将 cosB 的值代入,利用完全平方公式变形,将 a﹣c 与 b 的值代入求出 ac 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 解答: 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理得:sinBcosC=2sinAcosB﹣cosBsinC, 整理得:2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0, ∴cosB= , 则 B= ;

(Ⅱ)∵cosB= ,b=
2 2 2

,a﹣c=2,
2 2 2

∴b =a +c ﹣2accosB,即 7=a +c ﹣ac=(a﹣c) +ac=4+ac, 整理得:ac=3, 则 S△ ABC= acsinB= ×3× = .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 20. (14 分)已知点 M(3,1) ,直线 l:ax﹣y+4=0 及圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+1=0 (1)求经过 M 点的圆 C 的切线方程; (2)若直线 l 与圆 C 相切,求 a 的值; (3)若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 ,求 a 的值. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)圆方程化为标准方程,分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求 经过 M 点的圆 C 的切线方程; (2)利用圆心到直线的距离等于半径,即可求出 a 的值; (3)利用弦心距与半径,半弦长的关系,即可求出 a 的值. 解答: 解: (1)圆方程化为(x﹣1) +(y﹣2) =4 ∴圆心(1,2) ,半径为 2 斜率不存在时,经过 M 点的直线方程为 x=3,满足题意; 设经过 M 点的圆 C 的切线方程为 y﹣1=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣3k+1=0 ∴d= =2
2 2 2 2

∴k= ∴切线方程为 3x﹣4y﹣5=0 综上,经过 M 点的圆 C 的切线方程为 x=3 和 3x﹣4 y﹣5=0; (2)∵直线 l 与圆 C 相切,∴ =2,解得 a=0 或 a= ;

(3)圆心(1,2)到直线 ax﹣y+4=0 的距离为 ∵直线 l 与圆 C 相交与 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 ∴( ) +(
2

, ,

) =4,解得 a=﹣ .

2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,圆心到直线的距离公式的应用,考查计算能力,属 于基础题.

21. (15 分)已知数列{an}满足 a1=0,a2=﹣20,且对任意 m、n∈N 都有 a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n 2 +2 (m﹣n) ﹣1 (Ⅰ)求 a3,a5; * (Ⅱ)设 bn=a2n+1﹣a2n﹣1(n∈N ) ,证明:{bn}是等差数列; * (Ⅲ)记数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 sk≤sn. 考点: 数列的求和;等差关系的确定. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)欲求 a3,a5 只需令 m=2,n=1 赋值即可. (Ⅱ)以 n+2 代替 m,然后利用配凑得到 bn+1﹣bn,和等差数列的定义即可证明. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn=8n﹣2,数列{bn}单调递增,即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,令 m=2,n=1,可得 a3=2a2﹣a1+2=6 再令 m=3,n=1,可得 a5=2a3﹣a1+8=20 * (Ⅱ)当 n∈N 时,由已知(以 n+2 代替 m)可得 a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8 于是﹣(a2n+1﹣a2n﹣1)=8 即 bn+1﹣bn=8 所以{bn}是公差为 8 的等差数列 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,bn=8n﹣2,数列{bn}单调递增, * ∵正整数 k,使得对任意 n∈N 均有 sk≤sn. ∴k=1. 点评: 本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推 理论证、分析与解决问题的能力.同时考查了等差数列的定义,通项公式,和数列求和的方 法. 22. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣1,g(x)=a|x﹣1| (Ⅰ)若函数 φ(x)=|f(x)|﹣g(x)只有一个零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a≥﹣3 时,求函数 h(x)=|f(x)|+g(x)在区间上的最大值. 考点: 函数最值的应用;函数的零点. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)方程|f(x)|=g(x)可化为|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0,易知 x=1 已是该方程的根, 从而要使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等于 1 的解或无解,结合图象 可得 a 的范围; (2)当 a≥﹣3 时,求出函数 h(x)=|f(x)|+g(x)的解析式,根据分段函数最值的求法, 分别求出各断上函数的最值,然后求出它们的最大值即可. 2 解答: 解: (1)函数 φ(x)=|f(x)|﹣g(x)只有一个零点,即|x ﹣1|=a|x﹣1|,变形得 |x﹣1|(|x+1|﹣a)=0, 显然,x=1 已是该方程的根,从而要使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等 于 1 的解或无解, 作出函数 y=|x+1|的图象如图所示: 结合图形得 a<0. 2 (2)h(x)=|f(x)|+g(x)=)=|x ﹣1|+a|x﹣1|
2

*

=



当﹣2≤x<﹣1 时,

,当 x=﹣2 时,h(x)的最大值为 h(﹣2)=3a+3; ,

当﹣1≤x≤1 时,h(x)的最大值为 max{h(﹣1) ,h(1) ,h(﹣ )}=max{0, 2a}= .

点评: 本题考查函数的零点和二次函数在定区间上的最值问题, 其中求出函数的解析式是 关键,求出分段函数在各断上的最值,再比较大小是难点,考查运算能力和分类讨论的数学 思想.


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