tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2010年北京市中学生数学竞赛高一年级决赛试题及参考解答


中学生数学

2010 年 8 月上

第 399 期( 高中)

2010 年北京市中学生数学竞赛 高一年级决赛试题及参考解答
试题
一、 填空题( 满分 40 分, 每小题 8 分) 1. 函数 y = f ( x ) 是定 义在 R 上的周期为 3 的函 数, 图 1 中表示的是该函数 在区间[

- 2, 1] 上的图像. 则 f ( 2010) 的值等于 f ( 5) f ( 16) . 2. 方程 x 2 - x + 的立方和等于 . 1 = 1 的所 有根 2010 2010
图1

( 3) 求 S

A BC

的值.

三、 满分 15 分) 能否将 2010 写成 k 个互 ( 不相等的质数的平方和? 如果能, 请确定出所 有的 k 值, 并对相应的 k 值 各写出一个例子; 如果不能, 请简述理由. 四、 满分 15 分) 已知平面上 9 个点, 任两 ( 点间的距离都不小于 1. 证明, 其中至少存在 两个点间的距离不小于 3. 五、 满 分 15 分) ( 已知如图 4, 凸四边形 A BCD 的对角 线交点 为 O. O1 , O2 , O3 , O4 分 别 为 % A OB, % BOC, %COD, %DOA 的 内 切圆圆心, 对应的内切 圆半径 r 1 , r 2 , r 3 , r 4 满足关系式
图2 图4

数 学 竞 赛 之 窗

3. 如 图 2, A B 与 !O 切于点 A , 连接 B 与 !O 内一点 D 的线 段交 圆于点 C. 并且 A B = 6, DC= CB = 3, OD = 2, 则 !O 的半径等于 .

1 1 1 1 + = + . r1 r3 r2 r4 求证: ( 1) 四边形 A BCD 存在内切圆; ( 2) O1 , O2 , O3 , O4 四点共圆.

4. 满足方程 f ( x ) + ( x - 2) f ( 1) + 3f ( 0) = x 3 + 2( x ? R) 的函数 f ( x ) = . 5. 若 一 个 自 然 数比 它 的 数 字 和恰 好 大 2007, 这样的自 然数叫做# 好数?. 则 所有# 好 数?的和等于 . 二、 满分 15 分) 如 ( 图 3, 四个阴 影三 角形 的面积都等于 1. ( 1) 求 证: CB 2 = C1 B 2 , A C2 = A 1 C 2 , BA 2 = B1 A 2 ;
图3

参考解答
1. 答 - 1 . 2 理由 f ( 5) = f ( - 1) = - 1, f ( 16) = f ( 1) = 2, f ( 2010) = f ( 0) = 1, 则 f ( 2010) 1 1 = = - . f ( 5) f ( 16) ( - 1) ( 2) 2 669 . 335

( 2) 求证: S AB 1 B 2 C 2 = S BC 1 C 2 A 2 = S CA 1 A 2 B 2 ;

2. 答

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

33

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn

中学生数学

2010 年 8 月上

第 399 期( 高中)

数 学 竞 赛 之 窗


2

方程 x 2 - x +

1 = 1 等价于 2010 2010 & ?

足方程. 5. 答 20145. 解 设 f ( n) = n- S ( n) , 其中 S ( n) 是自然 数 n 的 数 字和. 则函 数 f ( n) 是非 严 格 的增 函数. f ( 2009) < f ( 2010) = f ( 2011) = ( = f ( 2019) = 2007< f ( 2020) . 所以满足 条件的所 有自然数 只有 10 个: 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019. 其和为 2010+ 2011+ 2012+ 2013+ 2014 + 2015 + 2016 + 2017 + 2018 + 2019= 20145. 二. 解 答 ( 1) 设 A B1 2 B 1 C = , 连接 A B ,

1 1 x - x+ = 2010 2010 与 x - x+
2

1 1 = 2010 2010 1 = 0. 1005 1 x 3x 4= . 1005

由&得 由?得 所以 所以

x 1 = 1, x 2 = 0; x 2- x +

x 3 + x 4 = 1, x 3+ x 4
3 3

= ( x 3 + x 4 ) ( ( x 3 + x 4 ) 2 - 3x 3 x 4 ) = 1 = 334. 335 所以 x 3 + x 3 + x 3 + x 3 = 1+ 0+ 1 2 3 4 3. 答 解 22. 延长 BD 交 圆 334 669 = . 335 335 13 1 = 11005 335

则 连接 则 所以

S

AB B

1 2

= .
图6

B 1 C 2 , CA 2 , B 1 C 2 )CA 2 , A C2 A B 1 = = . C2 A 2 B1 C S
AB C
2 2

于 E , 延 长 OD 交 圆 于 F , G( 如图 5) . FG 是 !O 的直径. 设 !O 的半 径为 r , 由切割线定理得 BC BE = BA 2 , DC= DF DG, 设
图5

S A B 2 C2 = S A 2 B2C2 所以 由 所以 S
AB C

= ,

S A B1 B2C2 = 2 .
2 1

= 1+ = S

AB C
2

,

C 1 B 2 = B 2 C. B C1 = , 同法可得 C1 A A C2 = C2 A 1 .

即 3( DE+ 6) = 62 = 36, 所以 DE= 6. 由相交弦定理可得 DE 即 6 3= ( r - 2) ( r + 2) , 所以 18= r - 4. 解得 r = 4. 答 解 f ( x ) = x - x + 1. 取 x = 1 和 x = 0 代 入 方 程, 得
3 3 3 2

同理, 设

S BC 1 C 2 A 2 = 2

22.

CA 1 = !, 同法可得 A 1B S CA 1 A 2 B 2 = 2! BA 2 = A 2 B 1 .

综上, 得 CB 2 = C 1 B 2 , A C 2 = A 1 C2 , B A 2 = B 1 A 2 . ( 2) 由上所证, 由于 C1 B 2 = B 2 C. 易知 所以 S
BC B
1 2

f ( 1) + ( 1- 2) f ( 1) + 3f ( 0) = 1 + 2, f ( 0) + ( 0- 2) f ( 1) + 3f ( 0) = 0 + 2, f ( 0) = 1, f ( 1) = 1.
3

进而得

于是 f ( x ) = x + 2- ( x - 2) f ( 1)
3

= S

BB C
2

,

也就是 1+ S BC 1 C2 A 2 = 1+ S CA 1 A 2 B 2 , S BC 1 C 2 A 2 = S CA 1 A 2 B 2 .

- 3f ( 0) = x - x + 1. 经检验, 所求的函数满

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

34

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn

中学生数学

2010 年 8 月上

第 399 期( 高中)

同理由 可证得 因此 ( 3) 由 即 即

B A 2 = B1 A 2 , S A B 1 B 2 C 2 = S BC 1 C2 A 2 . S A B 1 B 2 C 2 = S BC 1 C 2 A 2 = S CA 1 A 2 B 2 . S A B 1 B 2 C 2 = S BC 1 C 2 A 2 = S CA 1 A 2 B 2 . A B 1 B C1 CA 1 = = . B1 C C1 A A 1 B
2 2

不是一个质数的平方. k= 3 时, 若 2010= p 1 + p 2 + p 3 . 其中必有 一个偶质数 的平方, 两个奇质数的 平方. 左边 被 8 除余 2, 右边被 8 除余 6, 等式不能成立. k= 5 时, 若 2010= p 2 + p 2 + p 2 + p 2 + p 2 . 其 1 2 3 4 5 中必有一个偶质数的平方, 4 个奇质数的平方. 左 边被 8 除余 2, 右边被 8 除余 0, 等式不能成立. 1 ,
2 2 2 2

2 = 2! 2 , = = != , S S

这样由 即
2

AA B AB B

=

2 1

S S

CA B
2 2

2 1

1+

CB B

=

k= 9 时, 若 2010= p 2 + p 2 + p 2 + p 2 + p 2 + 1 2 3 4 5 p 6 + p 7 + p 8 + p 9 , 其中必有一个偶质数的平方, 两个奇质数的平方. 左边被 8 除余 2, 右边被 8 除余 4, 等式不能成立. 只有 k = 7 时, 2010= p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 2 + p 2 + p 2 , 左边被 8 除余 2, 右边被 8 除余 2, 5 6 7 等式可能成立. 我们试算可知, 2 + 3 + 7 + 11 + 13 + 17 + 37 = 2010, 因此, 2010 只可以表示为 7 个不同质数的 平方和. 唯一地 k = 7, 其例如上. 四. 证明 设已知的 9 个点的集合记为 S . 则在平面上可画一直线 l , 使 S 在 l 同一侧. 平 移直线 l, 直到遇 到 S 中的点 O 为止. 这时, S 中的点在直线 l 上或 l 的同一侧. , 以 O 为圆心 1 为半 径画圆与直线 l 交成半 圆区域 P , 再 以 O 为圆 心 3 为半 径画半 圆, 如 图 7 所示, 与直线 l 和前 面画的半圆( O, 1) 交成半圆环 Q.
图7
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

数 学 竞 赛 之 窗

- - 1= 0.

解得 = 5+ 1 ( 负根舍去!) . 2 所以 S A B 1 B2 C2 = S BC 1 C2 A 2 = S CA 1 A 2 B2 = 5+ 1. 因此 三. 解 S
A BC

= 4+ 3( 5+ 1) = 7+ 3 5.

( 1) 设 p i 为质数, 若 2010 能写成

k 个质数的平方和, 则当 k = 10 时, 取最小的 10 个互不相等的质数的平方和, 则 4+ 9+ 25+ 49+ 121+ 169+ 289+ 361+ 529+ 841= 2397> 2010, 因此 k ? 9. ( 2) 因为只有一个偶质数 2, 其余质数都是 奇数, 而奇数的平方仍是奇数, 并且被 8 除余 1. 所以若 k = 2, 4, 6, 8 时, 则 2010 = 则 p i 都是奇数. 若 2010= p + p + (+ p , 左边 2010 被 8
2 1 2 2 2 k

+p

2 i

除余 2. 当 k = 4 时, 右边被 8 除余 4; 当 k = 6 时, 右边被 8 除余 6; 当 k = 8 时, 右边被 8 除余 0, 这 3 种情况等式都不能成立. 当 k= 2 时, 由于质数中只有 3 被 3 除余 0, 而其余 所有质数的 平方都被 3 除余 1. 因 此, 两个不同质数的平方和被 3 除余 1 或余 2, 而 2010 被 3 除余 0. 所以, 2010 不能表为 2 个 互不相等的质数的平方和. 因此, 当 k= 2, 4, 6, 8 时, 2010 都不能表示 为 2 个、 个、 个、 个质数的平方之和. 4 6 8 ( 3) 对 k= 1, 3, 7, 9 时, k= 1 时, 2010 显然
2

我们看到, 已知 9 个点中一个点为 O, 其余 8 个点不能在半圆区域 P 中, 我们证明, 这 8 个 点中至少有一个点不在半圆环 Q 中. 事实上, 我们以 O 为始点作射 线, 将半圆 环 Q 等分为圆心角为 ? 的 7 个相等的小区域, 7

如图记为 Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , Q 5 , Q6 , Q7 , 我们估计 Qi 中两点间的距离( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) .

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

35

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn

中学生数学

2010 年 8 月上
2

第 399 期( 高中)
2 2 2

半圆环宽度

T V= 3- 1< 0. 733< 1;

等式左右两 边同时添加 x + y + u + v
2 2 2 2

数 学 竞 赛 之 窗

2? 3 WT < WT = 14 < 0. 778< 1. 且 = = VW = ? 2 ? 3- cos + sin 2 7 7

得: 2ac + ( u + v - 2kuv) + ( x + y - 2kx y ) = 2bd + ( x + v - 2kx v) + ( y + u - 2k y u) , 即 2ac+ c + a = 2bd+ d + b , a+ c= b+ d,
2 2 2 2 2 2 2 2

即( a+ c) 2 = ( b+ d) 2

3- 2 3cos ?+ cos2 ?+ sin2 ? 7 7 7 ? 4- 2 3cos < 7 ? 4- 2 3co s 6 ( 因为 cos ?< cos ?) 6 7

由此得证四边形 A B CD 存在内切圆. ( 2) 设 ?A OB = # 易知, O1 , O, O3 三点 共 , 线, O2 , O, O4 三点共线, 且 O1 O3 . O2 O4 . 因此要 证 O1 , O2 , O3 , O4 四点共圆, 我们必须证明 OO1 OO3 = OO2 OO4 . 或者 r2 r4 = # cos2 # sin 2 2
2

=

4- 2 3

3 = 1. 2

r1 r3

&

可见, 每个 Qi 中任两点 间的距离 都小于 1. 所以每个 Qi 中至多分布 S 的前述 8 个点中 的 1 个点. 因此, 前述 8 个点中至少有一点 A 要分布 在半圆( O, 3) 之外. 因此 OA , 3. 五. 证明 ( 1) 设 A B= a, BC= b, CD= c, D A = d, A O= x , BO= y , CO= u, DO= v, cos ?A OB = k, 则 cos ?BOC= - k. 根据 已知等式 r = S ( 其中, S 是三 角形的面积, p p

事实上, 设 由 O 引 向 !( O1 , r 1 ) , !( O2 , r 2 ) , !( O 3 , r 3 ) , !( O4 , r 4 ) 的切线长分别为 l1 , l2 , l3 , l4 , 则有 l1 = 1 # ( x + y - a) = r 1 cot ; 2 2

l2 = 1 ( y + u- b) = r 2 t an # ; 2 2 l3 = l4 = 1 # ( u+ v- c) = r 3 cot ; 2 2 1 # ( v+ x - d) = r 4 t an , 2 2

是半周长, r 是内切圆半径) , 由已知条件得到 关系式 a+ x+ y c+ u+ v b+ y+ u d+ x + v + = + , xy uv yu xv 由此得出 平方得
2 2

因为 a+ c= b+ d, 则有 l 1 + l 3 = l2 + l 4 , 这意味着 ( r 1 + r 3 ) cot # # = ( r 2 + r 4 ) tan 2 2 1 1 1 1 r1 + r3 = r2 + r4 , / # # = r 2 r 4 t an , 2 2 ?

auv+ cx y = bx v+ d y u. a u v + c x y + 2auvcx y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考虑到已知关系式 有 r1 + r 3 r 2 + r 4 = r 1 r3 r 2r 4 r 1 r 3 cot r 1 r3
2

= b x v + d y u + 2bx vdy u. 用余弦定 理表 示 a , b , c , d 并代 入上 式, 得 ( x + y - 2kx y ) u v + ( u + v - 2kuv) x y + 2acx y uv = ( y + u + 2k uy ) x v + ( x + v + 2kx v ) y u + 2bdx y uv. 化简得 2ac- 2kuv - 2k x y = 2bd + 2kx v + 2ky u .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? 0 /得 即成立

r 2 r4 = . # 2 # sin 2 cos 2 OO3 = OO2 OO4 ,

所以有 OO1

因此 O1 , O2 , O3 , O4 四点共圆. ( 北京数学会普及委员会提供)

网址: zxs s. chin ajou rnal . net . cn

36

电子邮箱: zx ss@ chinajournal. net . cn


推荐相关:

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答一、填空题(满分 40 分,每小题...


2013年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题解答

2|× |?2|= 4. 即 3k+1=OG× GC= 4,因此 k =1. 2013 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及解答 第1页 共5页 4.定义在 R 上的偶函数 f (...


2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答

2011北京市中学生数学竞赛高一年级初赛参考解答_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2011 年北京市中学生数学竞赛 高中一年级初赛试题及参考解答一、选择题(每小题 6 ...


2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题 1.设函数 f ? x ? 对 x ? 0 ...


2014年全国中学生数学能力竞赛高一年级组决赛试题

2014年全国中学生数学能力竞赛高一年级决赛试题_学科竞赛_初中教育_教育专区。2014年全国中学生数学能力竞赛高一年级决赛试题2014 年全国中学生数学能力竞赛 高一年级...


2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

2014 年高中数学竞赛决赛参考答案 11.24 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 D 6 B 二、...


2010年安徽省高中数学竞赛试题及详解答案

2010年安徽省高中数学竞赛试题及详解答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2010 年全国...2 2010 年全 国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准一、填空题(...


2012年各省高中数学竞赛预赛试题汇编

2012 年高中数学联赛北京市预赛试卷(高一年级)---第 83 页 2 乐才数学 ...31 乐才数学 18785349214 2012 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)参考解答一、...


2013年北京市中学生数学竞赛 高一组

2013年北京市中学生数学竞赛 高一组_学科竞赛_初中教育_教育专区。2013 年北京市...2013 年北京市中学生数学竞赛高中年级初赛试题解答选择题答案 1 D 2 B 3 B...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com