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基本不等式学案


基本不等式学案
学习目标: (1)掌握基本不等式 (2)注意使用基本不等式的条件与注意点 教学过程: 一、引入:在北京召开的第 24 届数学家大会的会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图” 设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,我们把“风车”造型抽象成图一。

思考 1:这个“风车”中含有哪些的几何图形? 思考 2:这些几何图形的面积有什么关系呢? 1、正方形的面积 S=_______.

2、四个全等 Rt 三角形的面积和 S =_______.

'

3、S 与 S 有什么样的关系?

'

4、S 与 S 有相等的情况吗?何时相等?

'

二、重要不等式:对任意的实数 a , b , a ? b ? 2ab ,当且仅当_________等号成立
2 2

注:如果 a ? 0, b ? 0 ,用 a , b 代替 a , b ,上式可变为_____________
? 三、基本不等式:当 a, b ? R , ab ?

a?b ,当且仅当 a ? b 等号成立 2

证明:

1: ab 叫做几何平均数,

a?b 叫做算术平均数。 2 a?b 2 ? ) (a, b? R ,当且仅当 a ? 时取到等号) b 2

2:基本不等式经常如下使用:

(1)a ? b ? 2 ab ?????(2)ab ? (

3:两个正数, 积为定值,则和有最小值;和为定值,则积有最大值。

四、典例剖析: 例 1: (1)用篱笆围一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短,最短的篱笆时多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大。最大面积是多少?
2

例 2: x ? 0 ,当 x 取什么值, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

课堂练习: 1、 (1) 若正数m, n满足m ? n ? 6, 则mn有最 (2)若正数m, n满足mn ? 6, 则m ? 3n有最 2、已知 x ? 0 ,则函数 y ? x ? 值,此时 m ? , n? ,n ? . .

此时m ? 值,

4 的最小值为 . x 4 3、已知 x ? 3 ,则函数 y ? x ? 的最小值为__________. x?3
4、用 20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?

五、课堂小结

六、课堂作业 1、书面作业 2、探究作业:如图,AB 是圆 O 的直径,Q 是 AB 上任一点, AQ=a,BQ=b,过点 Q 作垂直于 AB 的弦 PQ,连接 AP,BP。


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