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辽宁省大连市五校2013-2014学年高二下学期尖子生竞赛考试数学(理)试题 Word版含答案


高二下学期尖子生竞赛考试数学(理)试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 已知集合 A ? {x |1 ? x ? 3} ,集合 B ? {x |1 ? log 2 x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. {x | 0 ? x ? 3} 2. 若 z ? B. {x | 2

? x ? 3} C. {x |1 ? x ? 3} ) D. {x |1 ? x ? 4} )

1 ? 2i ,则 z 的共轭复数的虚部为( i
D.-1

A .i B.-i C.1

3.某一批花生种子,若每 1 粒发芽的概率为 A.

3 ,则播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为( ) 5

18 125

B.

36 125

C.

48 125

D.

54 125

4. 双曲线 ( ) A.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则双曲线离心率为 a 2 b2
5 2

3 2

B.2 C.

D.3

5.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? a3 ?

?

2

0

S 1 (2 x ? )dx ,则 9 ? ( 2 S5

)

A. 9 B.

25 9

C.2

D.

9 25

6.已知函数 y ? 2 cos(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 满足 f (? x) ? ? f ( x) , 其图像与直线 y=0 的某 两个交点的横坐标分别为 x1 、 x2 , x1 ? x2 的最小值为 ? ,则( A . ? ? 2, ? ? )

?
4

B. ? ? 2, ? ?

?
2

C. ? ? 1, ? ?

?
4

D. ? ? 1, ? ?

?
2

?x ? y ? 2 ? 8.已知 O 为坐标原点,点 A(1,0) ,若点 M(x,y)为平面区域 ? x ? 1 内的一个动点,则 ?y ? 2 ? ??? ? ???? ? ) OA ? OM 的最小值为(
B. 5

A.3

C.

3 2 2

D. 2

9.已知三个互不重合的平面 ?、? 、? 且 ? ? ? ? a,? ? ? ? b, ? ? ? ? c ,给出下列命题: ① a ? b, a ? c 则 b ? c ② a ? b ? p 则 a ? c ? p ③若 a ? b, a ? c 则 ? ? ? ④若 a ? b 则 a ? c 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10. 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f(x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? (??, 0]( x1 ? x2 ) , 有
﹡ ( x1 ? x2 ) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ,则当 n∈N 时,有(



A. f (? n) < f (n ? 1) < f (n ? 1) C. f (n ? 1) < f (n ? 1) < f (? n)

B. f (n ? 1) < f (? n) < f (n ? 1) D. f (n ? 1) < f (? n) < f (n ? 1)
2

11、斜率为 2 的直线 L 经过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,且交抛物线与 A、B 两点,若 AB 的中点到抛物线准线的距离 1,则 P 的值为( A.1 B. )

4 5

C.

3 5

D.

2 5

12.若定义在 R 上的函数 f(x)的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ?( x) ? f ( x) , 则 f (2011) 与 f (2009)e 的大小关系为( A、 f (2011) < f (2009)e C、 f (2011) > f (2009)e
2 2


2

B、 f (2011) = f (2009)e D、不能确定

2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横线上) 13. ( x 2 ?

1 9 ) 的展开式中含 x 9 的项的系数为________ 2x

15.投两枚均匀的骰子,已知点数不同,则至少有一个是 6 点的概率为______ 16.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R ) 图象上任意一点处的切线的斜率都小于 1, 则实数
3 2

a 的取值范围是______ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a cos C ?

(1)求角 A 的大小 (2)若 a ? 1 ,求△ABC 的周长 L 的取值范围。 18.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为矩形,侧棱 PA⊥平面 ABCD,其中 BC=2AB=2PA=6,M、N 为侧棱 PC 上的两个三等分点 (1)求证:AN∥平面 MBD (2)求异面直线 AN 与 PD 所成角的余弦值 P (3)求二面角 M-BD-C 的余弦值。 19.某网站体育版块足球栏目组发起了“射手的连续进球与射手 在场上的区域位置有关系”的调查活动,在所有参与调查的人中, 持“有关系” “无关系” “不知道”态度的人数如表所示: 40 岁以下 有关系 800 无关系 450 150 不知道 200 300 N A D

1 c?b 2

M

40 岁以上(含 40 岁) 100

B

C

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知从持有关系态度的人中 抽取 45 人,求 n 的值 (Ⅱ)在持“不知道”态度的人中,用分层抽样的方法抽取 10 人看作一个总体。①从这 10 人中选取 3 人,求至少一人在 40 岁以下的概率②从这 10 人中人选取 3 人,若设 40 岁以下的 人数为 X,求 X 的分布列和数学期望。

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

x2 y 2 21 1 x y , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,右焦点到直线 ? ? 1 的距离 d ? 2 a b 7 2 a b

O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程 (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A、B 两点,证明点 O 到直线 AB 的 距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ?

a 1 在 (0, ) 内有极值 x ?1 e 1 e

(1)求实数 a 的取值范围 (2)若 x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) 求证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ?

请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分) 如图⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于点 N,过点 N 的 切线交 CA 的延长线于 P B (Ⅰ)求证: PM 2 ? PA ? PC (Ⅱ)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM,求 MN 的长 23. (本小题满分 10 分) N 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半 O M A P

C

? ?x ? ? 轴建立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t?m 2 (t 是参数) 2 t 2

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程和直线 L 参数方程转化为普通方程 (Ⅱ)若直线 L 与曲线 C 相交于 M、N 两点,且 MN ? 2 2 ,求实数 m 的值 24. (本小题满分 10 分) 设全集 U ? R (1)解关于 x 的不等式 x ? 1 ? a ? 1 ? 0(a ? R ) ( 2 )记 A 为 (1) 中不等式的解集,集合 B ? ? x | sin(? x ?

? ?

?

? ? ) ? 3 cos(? x ? ) ? 0 ? ,若 3 3 ?

(CU A) ? B 恰有 3 个元素,求 a 的取值范围。

2013—2014 学年度下学期省五校高二尖子生竞赛 数学试题答案(理科)

三.解答题 17.解: (Ⅰ)? a cos C ? c ? b
1 2 1 ? sin A cos C ? sin C ? sin B 2

(2 分)

1 ? sin A cos C ? sin C ? sin( A ? C ) 2
1 ? sin A cos C ? sin C ? sin A cos C ? cos A sin C 2 1 ? sin C ? cos A sin C 2 ? sin C ? 0 ? cos A ? 1 2

(4 分)

?0 ? A ? ? ?A?

?
3

( 6 分)

?A?

? 3 ? sin A ? ,由正弦定理得 3 2
2 3 2 3 sin B, c ? sin C 3 3

b?

(8 分)

L ? a ? b ? c ? 1?

2 3 2 3 (sin B ? sin C ) ? 1 ? (sin B ? sin( A ? B)) 3 3

? 1?
?A?

2 3 3 3 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? 2sin( B ? ) 3 2 2 6
? B ? (0, 2? ? ? 5? )? B ? ? ( , ) 3 6 6 6

(10 分)

?
3

1 ? ? ? sin( B ? ) ? 1 即 2 ? L ? 3 2 6

∴△ABC 的周长 L 的取值范围为 (1,3] 18.解: (Ⅰ)证明:连结 AC 交 BD 于 O,连结 OM, ∵底面 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 中点, ∵M、N 为侧棱 PC 的三等分点,∴CM=MN, ∴OM∥AN, ∵ OM ? 平面 MBD,AN ? 平面 MBD ∴AN∥平面 MBD

(12 分)

(4 分)

(Ⅱ)如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0) ,B(3,0,0), C(3,6,0),D(0,6,0) P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2) ∵ AN ? (1, 2, 2), PD ? (0, 6, ?3),
???? ??? ? ???? ??? ? AN ? PD 0 ? 12 ? 6 2 5 cos ? AN , PD ?? ???? ??? ? ? ? 15 3? 3 5 AN ? PD

????

??? ?

(6 分)

∴异面直线 AN 与 PD 所成的角的余弦值为

2 5 15

(8 分)

(3)∵侧棱 PA⊥底面 ABCD

∴平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0, 0,3), 设平面 MBD 的法向量为 m ? ( x, y, z ),
??? ? ???? ? ?? ??? ? ?? ???? ? ? BD ? (?3, 6, 0), BM ? (?1, 4,1), 并且 m ? BD, m ? BM
??3 x ? 6 y ? 0 ,令 y=1,得 x=2,z=-2 ?? ?? x ? 4 y ? z ? 0

??? ?

??

∴平面 MBD 的一个法向量为 m ? (2,1, ?2),
??? ? ?? ??? ? ?? AP ? m 2 cos ? AP, m ?? ??? ? ?? ? ? 3 AP m

??

(10 分)

由图知二面角 M ? BD ? C 是锐角 ∴二面角 M ? BD ? C 的余弦值为
2 3

(12 分)

19. (Ⅰ)由题意,得

800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ? 45 n

∴n=100 (Ⅱ)设所选取的人中有 m 人在 40 岁以下 则
200 m ? ,解得 m=4 200 ? 300 10

(2 分)

(4 分)

①记“至少一人在 40 岁以下”为事件 A 则 P( A) ? 1 ?
3 C6 5 ? 3 C10 6

(6 分)

②X 的可能取值为 0,1,2,3
P( x ? 0) ?
3 C6 1 ? 3 C10 6

P( x ? 1) ?

1 2 C4 C6 1 ? 3 C10 2

2 1 C4 C 3 P( x ? 2) ? 3 6 ? C10 10

3 C4 1 P( x ? 3) ? 3 ? C10 30

(10 分)

∴x 的分布列为 X P 0
1 6

1
1 2

2
3 10

3
1 30

1 1 3 1 6 E ( x ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 6 2 10 30 5 1 2

(12 分)

20.(Ⅰ)由 e ? 得 ? ,即 a ? 2c,? b ? 3c

c a

1 2

由右焦点到直线 ? ? 1 的距离为 d ?
bc ? ab a 2 ? b2

x a

y b

21 7



?

21 ,解得 a ? 2, b ? 3 , 7
x2 y 2 ? ? 1。 4 3

所以椭圆 C 的方程为

(4 分)

(Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 )
x2 y 2 直线 AB 的方程为 y=kx+m 与椭圆 ? ? 1 联立消去 y 得 4 3

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0
8km 4m 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

x1 ? x2 ? ?

(6 分)

∵OA⊥OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0

即? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0
? (1 ? k 2 ) 4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m2 ? 0 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k

∵OA⊥OB,∴ OA2 ? OB 2 ? AB 2 ? 2OA ? OB, 当且仅当 OA=OB 时取“=” 由 d ? AB ? OA ? OB 得 d ? AB ? OA ? OB ?
AB 2 2

(10 分)

AB ? 2d ?

4 21 7 4 21 7

即弦的长度最小值是

(12 分)

21.解: (Ⅰ) 0<x<1 或 x>1 时, f ?( x) ? ?

1 x

a ( x ? 1) 2 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ? ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2

由 f ?( x) ? 0 在 (0, ) 内有解,令 g ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? ? )( x ? ? ) ,

1 e

1 ? ?? =1 不妨设 0 ? ? ? ,则 ? ? e ,因 g (0) ? 1 ? 0 ,所以 e 1 1 a?2 1 g( ) ? 2 ? ? 1 ? 0 ,解得 a ? e ? ? 2 e e e e

(5 分)

(?) 证明:由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a 或 x ? ? ,由 f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 1 或1 ? x ? ? ,

得 f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? ,1) 上单调递减,在 (1, ? ) 上单调递减, 在 ( ? , ??) 上单调递增。由 x1 ? (0,1) ,得 f ( x1 ) ? f (? ) ? ln ? ?
x2 ? (1, ??) ,得 f ( x2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ?

a ,由 a ?1

a ,所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) ,因 ? ?1

为 ? ? ? ? 1, ? ? ? ? a ? 2 ,所以
f ( ? ) ? f (? ) ? ln ? ? ln 1 ??( 1 1 ? ) ? ?1 ? ?1 1

?

?? ? ?? ? ? 2 ln ? ? ? ? ? 2 ln ? ? ? ? ( ? ? 1)(? ? 1) 2 ? (? ? 2)

? 2 ln ? ? ? ?

1

?
1

(9 分)

记 h( ? ) ? 2 ln ? ? ? ? ( ? ? e)
?

则 h?( ? ) ?

2

?

?1?

1

?2

? 0 , h( ? ) 在 (0, ??) 上单调递增,

所以 h( ? ) ? h(e) ? e ? 2 ?

1 e

故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ?

1 e

(12 分)

22.解: (Ⅰ)连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形, 则∠OBN=∠ONB,∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN,∠PNM=900-∠ONB ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN 由条件,根据切割线定理,有 PN 2 ? PA ? PC 所以 PM 2 ? PA ? PC (Ⅱ)OM=2,在 Rt△BOM 中, BM ? OB 2 ? OM 2 ? 4 延长 BO 交⊙O 于点 D,连接 DN
BO BM ? BN BD

(3 分)

(5 分)

由条件易知△BOM∽△BND,于是



2 3 4 ,得 BN=6 ? BN 4 3

(8 分)

所以 MN=BN-BM=6-4=2 23.解: (Ⅰ)曲线 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 直线 L 的普通方程为 x-y-m=0 (Ⅱ)因为曲线 C: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4

(10 分) (2 分) (4 分) (6 分)

所以,圆心到直线的距离是
2?0?m 2

d ? 4 ? ( 2) 2 ? 2 ?

(8 分)

所以 m=0 或 m=4

(10 分)

此时原不等式的解集为 (2 ? a, ??) ? ? ??, a ?

(5 分)

? ? ? ? B ? ? x | sin(? x ? ) ? 3 cos(? x ? ) ? 0 ? ? ? x | 2sin(? x) ? 0? 3 3 (Ⅱ) (6 分) ? ? ? ?x | x ? k , k ? Z?

∵ (CU A) ? B 恰有 3 个元素,∴ a ? 1 , CU A ? ? x | a ? x ? 2 ? a? ∵a ?1 ∴2? a ?1 ∴1? CU A (7 分)

∵ (CU A) ? B 恰有 3 个元素 ∴?
??1 ? a ? 0 ?0 ? a ? 1 ??2 ? a ? ?1 或? 或? ?2 ? 2 ? a ? 3 ?3 ? 2 ? a ? 4 ?1 ? 2 ? a ? 2

(9 分)

解得: ?1 ? a ? 0

所以 a 的取值范围为 (?1, 0]

(10 分)


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