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导数综合分类解析


导数综合分类解析

利用导数证明不等式 1.求证下列不等式

x2 x2 (1) x ? ? ln(1 ? x) ? x ? x ? (0 , ? ?) (相减) 2 2(1 ? x)
(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?

r />2

) (相除)

(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 , 证: (1) f ( x) ? ln(1 ? x) ? ( x ? ∴ y ? f ( x) 为 (0 , ? ?) 上 ? ∴ ln(1 ? x) ? x ?

?
2

)
f ?( x) ? 1 x2 ?1 ?1? x ? ?0 1? x x ?1

x2 ) f (0) ? 0 2
∴ x ? (0 , ? ?)

f ( x) ? 0 恒成立 g (0) ? 0

x2 2

g ( x) ? x ?

x2 ? ln(1 ? x) 2(1 ? x)

g ?( x) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 1 2x 2 ? ? ?0 1 ? x 4(1 ? x 2 ) 4(1 ? x) 2
∴ x ? (0 , ? ?) x ?

∴ g ( x) 在 (0 , ? ?) 上 ? (2)原式 ?

x2 ? ln(1 ? x) ? 0 恒成立 2(1 ? x)

x ? tan x ? 0
∴ f ?( x) ?

sin x 2 ? x ?

令 f ( x) ? sin x / x x ? (0 ,

?
2

) cos x ? 0

? cos x( x ? tan x) ∴ x ? (0 , ) 2 2 x ? 2 2x ∴ sin x ? f( )? 2 ? ?
(3)令 f ( x) ? tan x ? 2 x ? sin x

f ?( x) ? 0

(0 ,

?
2

)?

f (0) ? 0

f ?( x) ? sec2 x ? 2 ? cos x ?

(1 ? cos x)(cos x ? sin 2 x) cos2 x

2 ∴ tan x ? x ? x ? sin x

x ? (0 ,

?

)

f ?( x) ? 0

∴ (0 ,

?
2

)?

2.设 a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值;
1

(Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln2x-2a ln x+1. (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ? 2ln x ? 2a ,x ? 0 , 故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 ,于是 F ?( x) ? 1 ? 2 ? x ? 2 ,x ? 0 ,
x x
x x

列表如下:

x
F ?( x)
F ( x)

(0, 2)

2 0

(2, ? ∞)

?

?

极小值 F (2) ? ? 故知 F ( x) 在 (0, 2) 内是减函数,在 (2 , ? ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处取得极小值
F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

(Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ? ∞) 内单调增加. 所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x ? 0 .(利用单调性证明不等式) 故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln 2 x ? 2a ln x ? 1 . 3.已知函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln(1 ? x) , h( x) ? (1)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? g ( x);

x . 1? x

kx (k ? 0) 恒成立,求实数 k 的取值范围; k?x 1 x ' 解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 F ( x) = 1 ? , ? 1? x 1? x
(2)当 x ? 0 时,不等式 g ( x) ? 当 x ? 0 时, F ( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,
'

又 F ( x) 在 x ? 0 处连续,所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 , 所以 f ( x) ? g ( x) 。 (2)设 G ( x) ? g ( x) ?

kx , k?x

k2 则 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0, G ( x) ? ln(1 ? x) ? k ? , k?x
G ' ( x) ? 1 k2 x 2 ? ( 2k ? k 2 ) x ? ? , 1 ? x (k ? x) 2 (1 ? x)( k ? x) 2

x 2 ? (2k ? k 2 ) x ? 0 的根为 0 和 k 2 ? 2k ,
即在区间(0, ? ?) 上, G' ( x) ? 0 的根为 0 和 k ? 2k ,
2

若 k ? 2k ? 0 ,则 G ( x) 在 (0, k ? 2k ) 单调递减,
2
2

2

且 G(0) ? 0 ,与 G ( x) 在(0, ? ?) 恒大于 0 矛盾; 若 k ? 2k ? 0 , G ( x) 在(0, ? ?) 单调递增,
2

且 G(0) ? 0 ,满足题设条件,所以 k ? 2k ? 0 ,所以 0 ? k ? 2. 。
2

利用导数求和 4.利用导数求和: (1) 解: (1)当 x=1 时,



; 当 x≠1 时,

, 两边都是关于 x 的函数,求导得

即 单调区间讨论 5.设 a ? 0 ,求函数 f ( x) ?

x ? ln( x ? a)( x ? (0,??) 的单调区间.

分析:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运 算能力. 1 1 解: f ?( x) ? ? ( x ? 0) . 2 x x?a 当 a ? 0, x ? 0 时

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x) ? 0 ? x 2 ? (2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? (2a ? 4) ? a ? 0 .
2 2

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0,?? ) 内单调递增. (ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

即 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x) 在 x=1 处连续,因此, 函数 f ( x) 在(0,+ ? )内单调递增
3

(iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 .
2 2

解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x) 在区间 (0,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 (2 ? a ? 2 1 ? a ,??) 内也单调递增. 令 f ?( x) ? 0,即x ? (2a ? 4) x ? a ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .
2 2

(2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减. 因此,函数 f ( x) 在区间
6.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ)由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)
2

?

f ( 0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?( x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1
2

分离常数 7.已知函数 f ( x) ? x ln x .(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)若对所有 x ? 1都有 f ( x) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围. 解: f ( x) 的定义域为(0,+?),
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f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 1 1 ? 1? ?1 ? x ? ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? .从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递 e e ? e? ?e ? 1 1 增.所以,当 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e (Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , ,+?) 上为增函数, a x ? 1 . 故 g ( x) 在 (1 所以,x ? 1时,g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f (x) ?
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错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? e

a ?1

,此时,若 x ? (1,x0 ) ,

则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数.所以 x ? (1,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即

1] . f (x) ? ax ?1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ??,
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4

解法二: 依题意, 得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, 即不等式 a ? ln x ? ? ?) 上恒成立, 恒成立 . 令 g ( x) ? ln x ?

1 对于 x ? [1 , ? ?) x

1 , x

则 g ?( x) ?

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . 当 x ? 1 时,因为 x x2 x ? x ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x? 故 g ( x) 是 (1 , ? ?) 上的增函数, ( ??, 1] . g ?( x) ?
3

所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是

8.已知 f ?x ? ? x ln x, g ?x ? ? x ? ax ? x ? 2
2

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ?t , t ? 2??t ? 0? 上的最小值; (Ⅲ)对一切的 x ? ?0,?? ? , 2 f ?x ? ? g ?x ? ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
'

(Ⅰ) f ( x) ? ln x ? 1, 令f
'

'

?x ? ? 0, 解得0 ? x ? 1 ,
e

? 1? ? f ?x ?的单调递减区间是? 0, ?; ……2 分 ? e?

1 令f ' ?x ? ? 0, 解得x ? , e
?1 ? ? f ?x ?的单调递减区间是? ,?? ?. ……4 分 ?e ?
1 ,t 无解;……5 分 e 1 1 1 1 (ⅱ)0<t< <t+2,即 0<t< 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;……7 分 e e e e 1 1 (ⅲ) ? t ? t ? 2 ,即 t ? 时, f ( x)在[t , t ? 2]单调递增 , e e
(Ⅱ)(ⅰ)0<t<t+2<

f ( x) min ? f ( t ) ? tlnt ……9 分
1 ? 1 0?t ? ?e ……10 分 ? f ( x) min ? e , 1 ? t? ?tlnt e
(Ⅲ)由题意: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 ? 2 在 x ? ?0,?? ? 上恒成立
2

即 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1
2

5

3 1 ……11 分(分离常数) x? 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? ……12 分 1 3 1 则 h ' ?x ? ? ? ? ?? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ? x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
可得 a ? ln x ? 当 0 ? x ? 1 时, h ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0
' '

?当 x ? 1时, h? x ? 取得最大值, h? x ? max =-2……13 分
? a ? ?2 .
9.已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? 调区间;
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a (Ⅰ)求函数 F ( x) 的单 (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . x
1 2


(Ⅱ)若以函数 y ? F ( x)( x ? (0,3]) 图像上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的最小值; 解 析 : ( I
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F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ?

F '? x? ?

1 a x?a ? ? 2 ? x ? 0 ? ∵ a ? 0 , 由 F ' ? x? ? 0 ? x ? ? a, ? ??, ∴ F ? x ? 在 x x2 x
由 F ' ? x ? ? 0 ? x ? ? 0, a ? , ∴ F ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减。 ∴ F ? x?
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a ? x ? 0? x

? a, ?? ? 上单调递增。

的单调递减区间为 ? 0, a ? ,单调递增区间为 ? a , ?? ? 。 ( II ) F ' ? x ? ?

x ?a 1 x?a 0 ? x ? 3? , k ? F ' ? x0 ? ? 0 2 ? ? 0 ? x0 ? 3? 恒 成 立 2 ? x0 2 x
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? 1 2 ? ? x0 ? (分离常数) ? a ? ? ? x0 ? 2 ? max

当 x0 ? 1 时, ? 求取值范围

1 1 1 2 1 x0 ? x0 取得最大值 。∴ a ? ,∴ amin ? 2 2 2 2

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10.设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的 2

最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , 因为 x ? ( ??, ??) , f ( x ) ? m , 即
' 2
'

3 3x 2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ? ,即 m 的最大值 4
6

为?

3 4
' ' '

(2) 因为 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ; 所 以 当 x ? 1 时 , f ( x) 取 极 大 值

f (1) ?

5 ?a ; 2

当 x ? 2 时 , f ( x) 取 极 小 值

f (2) ? 2 ? a ;
故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?
2

5 . 2

11.已知 a 是实数, 函数 f ?x ? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零 点,求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ? 3 ? a ? ? 8a ? 24a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 7 2

①当 a ?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ? ?1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

? ?1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?
解得 a ? 5 或 a ?

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2 a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

?3 ? 5 2

综上所求实数 a 的取值范围是

a ?1 或

a?

?3 ? 5 . 2

7


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