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人教B版2-2第一章 导数及其应用单元检测


人教 B 版 2-2 第一章 导数及其应用单元检测
1.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f ′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) ) B.(-1,+∞) )

2.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值,最小值分别是(

A.5,-15 C.-4,-15 B.5,-4 D.5,-16

3. 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在 x=± 1 处均有极值, 且 f(-1)=-1, 则 a、 b、 c 的值为( 1 3 A.a=- ,b=0,c=- 2 2 1 3 B.a= ,b=0,c=- 2 2 1 3 C.a=- ,b=0,c= 2 2 1 3 D.a= ,b=0,c= 2 2

)

4.已知函数 f(x)的导数为 f ′(x)=4x3-4x,且 f(x)的图象过点(0,-5),当函数 f(x)取得极大 值-5 时,x 的值应为( A.-1 C.1 B.0 D.± 1 ) )

5.若函数 f(x)=x3-12x 在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是( A.k≤-3 或-1≤k≤1 或 k≥3 B.-3<k<-1 或 1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数

6.已知函数 f(x) =ax2-1 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 8x-y+2=0 平行,若数
?1? 列?f?n? ? 的前 n 项和为 Sn,则 S2010 的值 为( ? ?

)

2010 A. 2011 4020 C. 4021

1005 B. 2011 2010 D. 4021 )

1 7..若 a>2,则函数 f(x)= x3-ax2+1 在区间(0,2)上恰好有( 3
1

A.0 个零点 C.2 个零点

B.1 个零点 D.3 个零点

8.已知实数 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=3x-x3 的极大值点坐标为(b,c),则 ad 等 于( ) A.2 C.-1 B.1 D.-2

9. (2011· 山东潍坊一模)已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx+1 有两个极值点 x1、x2,且 x1∈[-2, -1],x2∈[1,2],则 f(-1)的取值范围是( 3 A.[- ,3] 2 C.[3,12] 3 B.[ ,6] 2 3 D.[- ,12] 2 )

10. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y=f ′(x)的图象可能为图 中的( )

1- x 11.已知函数 f(x)= +lnx,若函数 f(x)在[1,+∞)上为增函数,则正实数 a 的取值范围 ax 为________. 12.已知曲线 y=x2-1 在 x=x0 处的切线与曲线 y=1-x3 在 x=x0 处的切线互相平行,则 x0
2

的值为________. 13.设 P 为曲线 C:y=x2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的斜率的范围是[-1,3], 则点 P 纵坐标的取值范围是________. 14.函数 y=f(x)的定义域为(a,b),y=f ′(x)在(a,b)上的图象如图,则 y=f(x)在区间(a,b)上 极大值的个数为________.

15.如图是函数 y=f(x)的导函数的图象,给出下面四个判断. ①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数; ②x=-1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中,所有正确判断的序号是________.

2 16.已知函数 f(x)=x3+ax2-x+c,且 a=f ′( ). 3 (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. (3)设函数 g(x)=[f(x)-x3]· ex,若函数 g(x)在 x∈[-3,2]上单调递增,求实数 c 的取值范围.
3

17.设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(x))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值点. 1 1 18. 设函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a, b∈R), 在其图象上一点 P(x, y)处的切线的斜率记为 f(x). 3 2 (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. . 19.设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图所示, 且与 y=0 在原点相切, 若函数的极小值为 -4.

(1)求 a、b、c 的值; (2)求函数的递减区间. 20.已知 f(x)=lnx+x2-bx. (1)若函数 f(x)在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2)当 b=-1 时,设 g(x)=f(x)-2x2,求证函数 g(x)只有一个零点. 1 1 21. 设函数 g(x)= x3+ ax2-bx(a, b∈R), 在其图象上一点 P(x, y)处的切线的斜率记为 f(x). 3 2 (1)若方程 f(x)=0 有两个实根分别为-2 和 4,求 f(x)的表达式; (2)若 g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求 a2+b2 的最小值. (理)(2011· 天津文,19)已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. (2)当 t≠0,求 f(x)的单调区间. (3)证明:对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
4

人教 B 版 2-2 第一章 导数及其应用单元检测答案
1、 [答案] [解析] B

由题意,令 φ(x)=f(x)-2x-4,则

φ′(x)=f ′(x)-2>0. ∴φ(x)在 R 上是增函数. 又 φ(-1)=f(-1)-2× (-1)-4=0, ∴当 x>-1 时,φ(x)>φ(-1)=0, ∴f(x)-2x-4>0,∴f(x)>2x+4.故选 B. 2、[答案] [解析] A

∵y′=6x2-6x-12=0,得 x=-1(舍去)或 x=2,故函数 y=f(x)=2x3-

3x2-12x+5 在[0,3]上的最值可能是 x 取 0,2,3 时的函数值,而 f(0)=5,f(2)=-15, f(3)=-4,故最大值为 5,最小值为-15,故选 A. 3、[答案] C [解析] f ′(x)=3ax2+2bx+c,所以由题意得

? 0, ?f ′?1= ?f ′?-1?=0. ?f?-1?=-1,

?3a+2b+c=0, 即?3a-2b+c=0, ?-a+b-c=-1,

1 3 解得 a=-2,b=0,c=2. 4、[答案] [解析] B

由导函数与原函数的关系知,f(x)=x4-2x2+a(a 为常数),

∵f(0)=-5,∴a=-5,∴f(x)=x4-2x2-5, 令 f ′(x)=4x3-4x=0 得,x1=1,x2=0,x3=1, 当 x∈(-∞,-1)时,f ′(x)<0, 当 x∈(-1,0)时,f ′(x)>0, 当 x∈(0,1)时,f ′(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,
5

∴f(x)在(-∞,-1)和(0,1)上单调递减,在(-1,0)上和(1,+∞)上单调递增,故 f(x)在 x=0 处取得极大值 5,故选 B. 5、[答案] [解析] B

因为 y′=3x2-12,由 y′>0 得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由

y′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以 有 k-1<-2<k+1 或 k-1<2<k+1,解得-3<k<-1 或 1<k<3,故选 B. 6、[答案] [解析] ∴a=4, ∴f(x)=4x2-1, 1 ∴f?n= ? 1 1 1 = · 4n -1 2n-1 2n+1
2

D

∵f ′(x)=2ax, ∴f(x)在点 A 处的切线斜率为 f ′(1)=2a, 由条件知 2a=8,

1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1? ? ?
?1? 1? 1 ?1 1? 1 1 1 1? 1 1 - - ? ? ? ? ∴ 数 列 ?f?n? 的 前 n 项 和 S = + + … + = + + … + n ? 3? 2 ?3 5? f?1? f?2? f?n? 2 ? 2 ? ?

1 ? ? 1 ?2n-1-2n+1? ? ? 1 ? 1? n 2010 =2?1-2n+1?= ,∴S2010=4021. ? ? 2n+1 7、[答案] B

[解析] f ′(x)=x2-2ax=x (x-2a)=0? x1=0, x2=2a>4.易知 f(x)在(0,2)上为减函 11 1 数,且 f(0)=1>0,f(2)= 3 -4a<0,由零点判定定理知,函数 f(x)=3x3-ax2+1 在区 间(0,2)上恰好有一个零点. 8、[答案] [解析] A

∵a,b,c,d 成等比数列,∴ad=bc,

又(b,c)为函数 y=3x-x3 的极大值点, ∴c=3b-b3,且 0=3-3b2,
6

?b=1 ?b=-1 ∴? 或? ,∴ad=2. ?c=2 ?c=-2 9、[答案] 理C f ′?-2?≥0,

[解析]

?f ′?-1?≤0, 由条件可得,? f ′?1?≤0, ?f ′?2?≥0,
作出其可行域,

?4b-c-3≤0, 即? 4b+c+3≤0, ?8b+c+12≥0,
8b-c-12≤0, 10. [答案] D

易知目标函数 z=2b-c 的取值范围是[3,12].

[解析] 当 y=f(x)为增函数时,y=f ′(x)>0,当 y=f(x)为减函数时,y=f ′(x)<0,可判断 D 成 立.

11、[答案] [解析]

[1,+∞)

1-x ax-1 ∵f(x)= ax +lnx,∴f ′(x)= ax2 (a>0),

ax-1 ∵函数 f(x)在[1, +∞)上为增函数, ∴f ′(x)= ax2 ≥0 对 x∈[1, +∞)恒成立, ∴ax 1 -1≥0 对 x∈[1,+∞)恒成立,即 a≥ x对 x∈[1,+∞)恒成立,∴a≥1. 12、 [答案] [解析] 2 0 或-3

由条件知,2x0=-3x2 0,

2 ∴x0= 0 或-3. ?3 ? 13、[答案] ?4,3? ? ?
7

[解析]

设 P(a,a2-a+1),y′|x=a=2a-1∈[-1,3],∴0≤a≤2.

1? 3 1 3 ? ∴a2-a+1=?a-2?2+4,当 a=2时,取最小值4,当 a=2 时,取最大值 3,故 ? ? ?3 ? P 点纵坐标范围是?4,3?. ? ? 14. [答案] 2
[解析] 由 f ′(x)在(a,b)上的图象可知 f ′(x)的值在(a,b)上,依次为+-+-+,∴f(x)在(a, b)上的单调性依次为增、减、增、减、增,从而 f(x)在(a,b)上的极大值点有两个.

15. [答案] ②③
[解析] 由函数 y=f(x)的导函数的图象可知: (1)f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在[-1,2]上为增函数,在[2,4]上为减函数; (2)f(x)在 x=-1 处取得极小值,在 x=2 处取得极大值. 故②③正确.

16、[解析]

(1)由 f(x)=x3+ax2-x+c 得,

f ′(x)=3x2+2ax-1. 2 2 2 2 4 1 当 x=3时,得 a=f ′(3)=3× (3)2+2a× (3)-1=3a+3,解之得 a=-1. (2)由(1)可知 f(x)=x3-x2-x+c. 1 则 f ′(x)=3x2-2x-1=3(x+3)(x-1),列表如下: x f ′(x) f(x) 1 (-∞,-3) + ? ↗ 1 -3 0 有极大值 1 (-3,1) - ↘? 1 0 有极小值 (1,+∞) + ↗?

1 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-3)和(1,+∞); 1 f(x)的单调递减区间是(-3,1). (3)函数 g(x)=(f(x)-x3)· ex=(-x2-x+c)· ex,
8

有 g′(x)=(-2x-1)ex+(-x2-x+c)ex=(-x2-3x+c-1)ex, 因为函数在区间 x∈[-3,2]上单调递增, 所以 h(x)=-x2-3x+c-1≥0 在 x∈[-3,2]上恒成立. 只要 h(2)≥0,解得 c≥11,所以 c 的取值范围是[11,+∞). (1)f ′(x)=3x2-3a.

17、[解析]

因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切, ? 0, ?f ′?2= ?12-3a=0, 所以? 即? ? 8. ?f?2= ?8-6a+b=8. 解得 a=4,b=24. (2)f ′(x)=3(x2-a)(a≠0). 当 a<0 时,f ′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;此时函数 f(x)没有极值 点. 当 a>0 时,由 f ′(x)=0 得 x=± a. 当 x∈(-∞,- a)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x∈(- a, a)时,f ′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈( a,+∞)时,f ′(x)>0,函数 f(x)单调递增. 故 x=- a是 f(x)的极大值点,x= a是 f(x)的极小值点. 18、[解析] (1)根据 导数的几何意义知 f(x)=g′(x)=x2+ax-b,由已知-2,4 是

?-2+4=-a 方程 x2+ax-b=0 的两个实根,由韦达定理? , 4=-b ?-2× ?a=-2 ∴? ,f(x)=x2-2x-8. ?b=8 (2)g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,所以在[-1,3]区间上恒有 f(x)=g′(x) =x2+ax-b≤0, 即 f(x)=x2+ax-b≤0 在[-1,3]上恒成立

9

?a+b≥1 ?f?-1?≤0 这只需满足? 即可,也即? , 而 a2 + b2 可 视 为 平 面 区 域 ?f?3?≤0 b - 3 a ≥9 ? ?a+b≥1 ?a=-2 ? 内的点到原点距离的平方, 其中点(-2,3)距离原点最近. 所以当? ?b-3a≥9 ?b=3 时,a2+b2 有最小值 13.
19.[解析] (1)函数的图象经过(0,0)点,∴c=0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点,y′=3x2+2ax+b, ∴b=0,∴y=x3+ax2,y′=3x2+2ax. 2 ∵当 x=- a 时,函数有极小值-4. 3 2a?3 ? 2a?2 ∴? ?- 3 ? +a?- 3 ? =-4,得 a=-3. (2)y′=3x2-6x<0,解得 0<x<2.∴递减区间是(0,2). 20.[解析] (1)∵f(x)在(0,+∞)上递增, 1 ∴f ′(x)= +2x-b≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 即 b≤ +2x 对 x∈(0,+∞)恒成立, x 1 ? ∴只需 b≤? ?x+2x?min, 1 2 ∵x>0,∴ +2x≥2 2,当且仅当 x= 时取“=”, x 2 ∴b≤2 2,∴b 的取值范围为(-∞,2 2]. (2)当 b=-1 时,g(x)=f(x)-2x2=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞), 1 ∴g′(x)= -2x+1 x 2x2-x-1 ?x-1??2x+1? =- =- , x x ?2x+1??x-1? 令 g′(x)=0,即- =0, x ∵x>0,∴x=1, 当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, ∴函数 g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴当 x≠1 时,g(x)<g(1),而 g(1)=0,∴g(x)<0,
10

∴函数 g(x)只有一个零点. 21.[解析] (1)当 t=1 时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f ′(x)=12x2+6x-6,f ′(0)=-6,所 以曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x. t (2)解:f ′(x)=12x2 +6tx-6t2,令 f ′(x)=0,解得 x=-t 或 x= ,因为 t≠0,以下分两种情况 2 讨论: t ①若 t<0,则 <-t,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2

x f ′(x) f(x)

?-∞, t ? 2? ?
+ ↗?

? t ,-t? ?2 ?
- ? ↘

(-t,+∞) + ? ↗

t? ?t ? 所以,f(x)的单调递增区间是? ?-∞,2?,(-t,+∞);f(x)的单调递减区间是?2,-t?. t ②若 t>0,则-t< ,当 x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表: 2 x f ′(x) f(x) (-∞,-t) + ? ↗

?-t, t ? 2? ?
- ? ↘

? t ,+∞? ?2 ?
+ ? ↗

t t? ? ? 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),? ?2,+∞?:f(x)的单调递减区间是?-t,2?, t? ?t ? (3)证明:由(2)可知,当 t>0 时,f(x)在? ?0,2?内单调递减,在?2,+∞?内单调递增,以下分 两种情况讨论: t ①当 ≥1,即 t≥2 时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增. 2 f(0)=t-1>0, f(1)=-6t2+4t+3≤-6× 4+4× 2+3<0.所以对任意 t∈[2, +∞), f(x)在区间(0,1) 内均存在零点. t? t ?t ? ②当 0< <1,即 0<t<2 时,f(x)在? ?0,2?内单调递减,在?2,1?内单调递增, 2 t? 73 73 若 t∈(0,1],f? ?2?=-4t +t-1≤-4t <0, f(1)=-6t2+4t+3≥-6t+4t+3=-2t+3>0,
11

t ? 所以 f(x)在? ?2,1?内存在零点. t? 73 73 若 t∈(1,2),f? ?2?=-4t +(t-1)<-4t +1<0, f(0)=t-1>0, t? 所以 f(x)在? ?0,2?内存在零点. 所以,对任意 t∈(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点, 综上,对任意 t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

12


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