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江苏省泰州市靖江市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省泰州市靖江市高一(上)期中数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1. (5 分)已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩B=. 2. (5 分)函数 的定义域.

3. (5 分)函数 f(x)=2x

+3,函数 g(x)=3x﹣5,则 f(g(2) )=. 4. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x(x∈[a,b]) 的值域为[﹣1,3],当 a=﹣1 时,b 的取值范 围是. 5. (5 分)函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是. 6. (5 分)已知定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,当 a, b∈(﹣∞,0)时总有 范围是. 7. (5 分)设 A={(x,y)|x∈R,y∈R},B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A→B 是一个映射,且 f: (x,y)→ ,则 B 中(﹣5,2)在 f 作用下对应 A 中的元素为. >0(a≠b) ,若 f(m+1)>f(2m) ,则实数 m 的取值
2 2

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,f(f(f(

) ) )的值为.

9. (5 分)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数,所以 f(x)是增函数; 2 2 (2)若函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,则 b ﹣8a<0 且 a>0; 2 (3)y=x ﹣2|x|﹣3 的递增区间为[1,+∞) ; (4)y=1+x 和 其中正确命题的个数是. 10. (5 分)设 a=log30.8,b=log30.9,c=0.8 ,则 a,b,c 按由小到大的顺序排列为.
0.9

表示相等函数.

11. (5 分)已知函数 f(x)=

,则满足 f(x)<1 的 x 的取值范围是.

12. (5 分)50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实 验做得正确得有 31 人,两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有人. 13. (5 分)已知函数 f(x)= 上是增函数,则 a 的取值范围为. 14. (5 分)设函数 f(x)= 构成一个正方形区域,则 a 的值为. (a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(x) ) (s,t∈D) (x ﹣ax﹣a)的值域为 R,且 f(x)在(﹣3,1﹣
2



二、解答题: (本大题共 6 小题,共,90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (15 分)计算下列各式: (1) ;

(2)已知

=2,计算

的值.

16. (14 分)已知函数 (1)求集合 A; (2)若 A?B,求 a 的取值范围.

的定义域为集合 A,B={x|x<a}

17. (14 分)设函数 f(x)=

(a>0,b>0,x∈R) .

(1)当 a=b=2 时,证明:函数 f(x) 不是奇函数; (2)设函数 f(x) 是奇函数,求 a 与 b 的值. 18. (15 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今 年为止,森林面积为 .

(1)求 p%的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

19. (16 分)函数 f(x)对 x>0 有意义,当 m,n∈(0,+∞)时,恒有 f(mn)=f(m)+f (n)成立,并且 f(2)=1,当 x>1 时,f(x)>0. (1)求证:f(1)=0; (2)求 f(4)的值; (3)求证:f(x)在(0,+∞) 上为增函数; (4)求满足 f(x)+f( )<2 的 x 的集合.

20. (16 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)= (1)求 a,b 的值;



(2)若不等式﹣m +(k+2)m﹣ <f(x)<m +2km+k+ 对一切实数 x 及 m 恒成立,求实 数 k 的取值范围; (3)定义:若存在一个非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数 x 都恒成 立,那么,我们把 f(x)叫以 T 为周期的周期函数,它特别有性质:对定义域中的任意 x,f (x+nT)=f(x) , (n∈Z) .若函数 g(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,切当 x∈(﹣1, 1)时,g(x)=f(x)﹣x,求方程 g(x)=0 的所有解.

2

2

2014-2015 学年江苏省泰州市靖江市高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题线 上. ) 1. (5 分)已知集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则 A∩B={3,5,13}. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分析集合 A、B 的公共元素,由交集的意义即可得答案. 解答: 解:根据题意,集合 A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13}, A、B 公共元素为 3、5、11, 则 A∩B={3,5,13}, 故答案为:{3,5,13}. 点评: 本题考查集合交集的运算,注意写出集合的形式. 2. (5 分)函数 的定义域(﹣∞,2].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 偶次根式的被开方数应非负得不等式 16﹣4 ≥0,利用指数函数的单调性解此不等式 即可,答案要填准确. 解答: 解:由题意得: x 16﹣4 ≥0 x 2 ∴4 ≤4 ∵4>1 x ∴y=4 为 R 上的增函数 ∴x≤2 故答案为: (﹣∞,2] 点评: 本题重点考查偶次根式的被开方数应非负和指数函数的单调性解此不等式,注意函 数的定义域应为集合或区间的形式. 3. (5 分)函数 f(x)=2x+3,函数 g(x)=3x﹣5,则 f(g(2) )=5. 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 求出 g(2)的值,然后求解 f(g(2) )的值即可. 解答: 解:∵函数 g(x)=3x﹣5, ∴g(2)=3×2﹣5=1, ∵函数 f(x)=2x+3, ∴f(g(2) )=f(1)=2×1+3=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查函数值的求法,基础知识的考查,比较简单. 4. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x(x∈[a,b]) 的值域为[﹣1,3],当 a=﹣1 时,b 的取值范 围是[1,3]. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知函数的解析式,我们可以判断出函数图象的形状,单调性及最值,根据函数 f 2 (x)=x ﹣4x,x∈[0,a]的值域是[﹣4,0],易结合二次函数的图象和性质得到答案. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣2x 的图象是开口方向朝上,以直线 x=1 为对称轴的抛物线; 在区间[﹣1,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, 且 f(﹣1)=f(3)=3,f(x)min=f(1)=﹣1, 若定义域为[﹣1,b],值域为[﹣1,3], 则 1≤b≤3 故答案为:[1,3]. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据已知条件确定二次函数的图象和性 质,是解答本题的关键.基本知识的看. 5. (5 分)函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是(﹣∞,0) . 考点: 复合函数的单调性.
2 2 x

专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将 f(x)化简,注意到 x≠0,即 f(x)=2lg|x|,再讨论其单调性,从而确定其减区 间; 也可以函数看成由 増异减”再来判断. 解答: 解:方法一:y=lgx =2lg|x|, ∴当 x>0 时,f(x)=2lgx 在(0,+∞)上是增函数; 当 x<0 时,f(x)=2lg(﹣x)在(﹣∞,0)上是减函数. 2 ∴函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) .
2

复合而成, 再分别讨论内层函数和外层函数的单调性, 根据“同

方法二:原函数是由
2

复合而成,

∵t=x 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数; 又 y=lgt 在其定义域上为增函数, ∴f(x)=lgx 在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)为增函数, 2 ∴函数 f(x)=lgx 的单调递减区间是(﹣∞,0) . 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题是易错题,学生在方法一中,化简时容易将 y=lgx =2lg|x|中的绝对值丢掉,方法 二对复合函数的结构分析也是最常用的方法,此外,本题还可以利用数形结合的方式,即画出 y=2lg|x|的图象,得到函数的递减区间. 6. (5 分)已知定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) ,当 a, b∈(﹣∞,0)时总有 范围是 >0(a≠b) ,若 f(m+1)>f(2m) ,则实数 m 的取值 .
2 2

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可先通过函数是偶函数将原不等式中的函数自变量转化为非负数,再利用函数 的单调性研究,将不等式转化为两个自变量的大小比较,解不等式,得到本题结论. 解答: 解:∵定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f(﹣x)=f(x) , ∴f(x)是偶函数,且 f(﹣x)=f(x)=f(|x|) . ∵当 a,b∈(﹣∞,0)时总有 ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵f(m+1)>f(2m) , ∴f(|m+1|)>f(|2m|) , ∴0<|m+1|<|2m|, 2 2 ∴4m >(m+1) >0, >0(a≠b) ,





∴m<﹣1 或 ∴实数 m 的取值范围是 故答案为:

或 m>1. . .

点评: 本题考查了函数的奇偶性、函数的单调性、函数的定义域、不等式的解法,还考查 了化归转化的数学思想和分析问题解决问题的能力,本题有一定的综合性,属于中档题. 7. (5 分)设 A={(x,y)|x∈R,y∈R},B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:A→B 是一个映射,且 f: (x,y)→ 7) . 考点: 映射. 分析: 根据两个集合之间的对应关系,写出 B 中(﹣5,2)对应的 A 中的元素(x,y)的 方程组,解方程组即可. 解答: 解:设 B 中(﹣5,2)在 f 作用下对应 A 中的元素为(x,y) ,则 B 中(﹣5,2)在 f 作用下对应 A 中的元素为(﹣3,﹣

故由条件可得



解得



故答案为(﹣3,﹣7) . 点评: 本题主要考查映射的定义,在映射 f 下,像和原像的定义,属于基础题

8. (5 分)已知函数 f(x)=

,f(f(f(

) ) )的值为 6.

考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用分段函数逐步求解函数值 即可.

解答: 解:函数 f(x)=



f(f(f(

) ) )=f(f(0) )=f(﹣

)=(

) +1=6.

2

故答案为:6. 点评: 本题考查分段函数的应用,函数的值的求法,基本知识的考查. 9. (5 分)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数,所以 f(x)是增函数; (2)若函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,则 b ﹣8a<0 且 a>0; 2 (3)y=x ﹣2|x|﹣3 的递增区间为[1,+∞) ; (4)y=1+x 和 其中正确命题的个数是 0. 考点: 二次函数的性质;判断两个函数是否为同一函数;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: ①此命题是假命题,举反例说明命题错误; ②由函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,还可能是其它情形,即可判断真假; ③讨论 x 的正负化简绝对值,然后利用二次函数的图象找出函数的增区间即可判断此命题的 真假; ④根据函数 y=1+x 和 得到它们表示的对应法则不同,即可判断.
2 2 2

表示相等函数.

解答: 解:①举一个例子 y=﹣ ,当 x<0 时,函数为增函数,当 x>0 时,函数为增函数, 但是在 x≠0 时,函数不单调,所以错误; ②由若函数 f(x)=ax +bx+2 与 x 轴没有交点,则 b ﹣8a<0 且 a>0,或者 b ﹣8a<0 且 a< 0,或者 a=b=0;所以此命题错; 2 ③当 x≥0 时,y=x ﹣2x﹣3,为对称轴为直线 x=1 的开口向上的抛物线,所以[1,+∞)为函 2 数的增区间;当 x<0 时,y=x +2x﹣3,为对称轴为直线 x=﹣1 的开口向上的抛物线,所以[﹣ 2 1,0]为增区间,综上,y=x ﹣2|x|﹣3 的递增区间为[1,+∞)和[﹣1,0],故③不正确; ④因为 y=1+x 和 =|1+x|表示的函数的解析式不同,故命题不正确.
2 2 2

故答案为:0. 点评: 此题是一道综合题,要求学生掌握函数单调性的判断与证明和二次函数的性质,判 断两个函数是否为同一函数,会利用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10. (5 分)设 a=log30.8,b=log30.9,c=0.8 ,则 a,b,c 按由小到大的顺序排列为 a<b<c. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 0.9 分析: 由 y=log3x 是增函数,再结合指数的性质,能比较 a=log30.8,b=log30.9,c=0.8 的 大小. 解答: 解:∵y=log3x 是增函数, ∴a=log30.8<log30.9=b<log31=0, 0.9 c=0.8 >0,
0.9

∴a<b<c. 故答案为:a<b<c. 点评: 本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要注意指数性质和对数函数的性 质的合理运用.

11. (5 分)已知函数 f(x)=

,则满足 f(x)<1 的 x 的取值范围是(﹣1, ) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 直接利用已知条件转化不等式求解即可. 解答: 解:函数 f(x)= ,则满足 f(x)<1

可得:x≤0 时,﹣x<1,解得:﹣1<x≤0; x>0 时,2x<1,解得 0 综上:x∈(﹣1, ) . 故答案为:x∈(﹣1, ) . 点评: 本题考查分段函数的应用,不等式的解法,考查计算能力,基本知识的考查, 12. (5 分)50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实 验做得正确得有 31 人,两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 25 人. 考点: 专题: 分析: 解答: 则有 集合的包含关系判断及应用. 数形结合法. 根据题设条件,先做出文氏图,再结合文氏图进行求解. 解:设 A={做对物理实验的学生},B={做对化学实验的学生}, .

∴(40﹣x)+x+(31﹣x)+4=50, x=25.

这两种实验都做对的有 25 人. 故答案为:25. 点评: 本题考查集合的关系判断,解题时要先作出文氏图,数形结合效果较好. 13. (5 分)已知函数 f(x)= (x ﹣ax﹣a)的值域为 R,且 f(x)在(﹣3,1﹣
2



上是增函数,则 a 的取值范围为[0,2]. 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意可得,函数 y=x ﹣ax﹣a 能够取遍所有的正数,由△ =a +4a≥0,求得 a 的范围 ①.再根据函数 y=x ﹣ax﹣a 在(﹣3,1﹣
2

)上是减函数且为正值,故 ≥1﹣

,且当 x=1

﹣ 时 y≥0,由此求得 a 的范围②.结合①②求得 a 的范围. 2 2 解答: 解:由函数 f(x)= (x ﹣ax﹣a)的值域为 R,可得函数 y=x ﹣ax﹣a 能够取 遍所有的正数, 故有△ =a +4a≥0,求得 a≤﹣4,或 a≥0 ①. 2 再根据 f(x)在(﹣3,1﹣ )上是增函数,可得函数 y=x ﹣ax﹣a 在(﹣3,1﹣ 减函数且为正值, 故 ≥1﹣ ,且当 x=1﹣ 时 y≥0.
2

)上是

即 a≥2﹣2 ,且 4﹣2 ﹣a(1﹣ )﹣a≥0. 求得 2﹣2 ≤a≤2 ②. 结合①②求得 0≤a≤2, 故答案为:[0,2]. 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,对数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题. (a<0)的定义域为 D,若所有点(s,f(x) ) (s,t∈D)

14. (5 分)设函数 f(x)=

构成一个正方形区域,则 a 的值为﹣4. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 由所有的点(s,f(t) ) (s,t∈D)构成一个正方形区域知,函数的定义域与值域的 区间长度相等,利用二次函数的最值与二次方程的根,建立 a,b,c 关系式,求得答案. 2 解答: 解:设函数 u=ax +bx+c 与 x 轴的两个交点的横坐标为:x1,x2,x1<x2 ∵s 为定义域的两个端点之间的长度, 就是[x1,x2]f(t) (t∈D)就是 f(x)的值域,也就是[0,f(x)max], 且所有的点(s,f(t) ) (s,t∈D)构成一个正方形区 ∴|x1﹣x2|=

∵|x1﹣x2|=

=



=

∴a=﹣4 故答案为:﹣4 点评: 本题借助二次函数及二次方程的有关性质,探讨函数的定义域和值域问题,注意二 次函数的开口方向,形式比较新颖,是个中档题. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共,90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (15 分)计算下列各式: (1) ;

(2)已知

=2,计算

的值.

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题(1)利用指数幂的运算性质进行运算,得到本题结论; (2)本题利用因式分解 公式,分解后利用已知条件“ =2”代入求值,得到本题结论.

解答: 解: (1)

=1+ × = ;

﹣10+27

(2)∵

=2,



=

= =2. 点评: 本题考查了因式分解和指数幂的运算,本题难度不大,属于基础题.

16. (14 分)已知函数 (1)求集合 A; (2)若 A?B,求 a 的取值范围.

的定义域为集合 A,B={x|x<a}

考点: 集合的包含关系判断及应用;函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: (1)被开方数大于等于 0,分式的分母不为 0,可求出集合 A. (2)由 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 解答: (本题 13 分) 解: (1)∵ ∴﹣2<x≤3∴A={x|﹣2<x≤3}

(2)∵B={x|x<a},A={x|﹣2<x≤3} 又 A?B ∴a∈(3,+∞) 点评: 本题主要考查了函数的定义域及其求法,以及并集及运算和子集的概念,属于基础 题.

17. (14 分)设函数 f(x)=

(a>0,b>0,x∈R) .

(1)当 a=b=2 时,证明:函数 f(x) 不是奇函数; (2)设函数 f(x) 是奇函数,求 a 与 b 的值. 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)①当 a=b=2 时,计算 f(1)与 f(﹣1) ,如果不相等,可得 f(x)不是奇函数. 2x x (2)当 f(x)是奇函数时,f(﹣x)=﹣f(x) ,化简整理得(2a﹣b)2 +(2ab﹣4)2 +(2a ﹣b) ,这是关于 x 的恒等式,由此求得 a、b 的值. 解答: 解: (1)①当 a=b=2 时,f(x)=)= = ,∵f(1)= =0,

f(﹣1)=

= ,f(﹣1)≠﹣f(1) ,f(x)不是奇函数.

(2)当 f(x)是奇函数时,f(﹣x)=﹣f(x) , 即 =﹣
2x

对任意实数 x 成立.
x

化简整理得(2a﹣b)2 +(2ab﹣4)2 +(2a﹣b) ,这是关于 x 的恒等式, 所以, ,所以 ,或 .

点评: 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明,属于中档题. 18. (15 分)一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少 p%,10 年后森林面积变为 ,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今 年为止,森林面积为 .

(1)求 p%的值; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? 考点: 数列的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)根据每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年, 根据每年砍伐面积的百分比,可建立方程,解之即可得到每年砍伐面积的百分比; (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 .根据题意:到今年为止,森林剩余面积为原来的

.可列出关于 m 的等式,解之即可; (3)根据题意设从今年开始,以后砍了 n 年,再求出砍伐 n 年后剩余面积,由题意,建立关 于 n 的不等关系,利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年. 解答: 解: (1)由题意得: ,即 ,

解得:

(2) 设经过 m 年森林面积为 解得 m=5 故到今年为止,已砍伐了 5 年.

, 则

, 即





(3)设从今年开始,以后砍了 n 年,则 n 年后森林面积为





,即(1﹣p%) ≥

n







≤ ,解得 n≤15

故今后最多还能砍伐 15 年. 点评: 本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化.解 决实际问题通常有四个步骤: (1)阅读理解,认真审题; (2)引进数学符号,建立数学模型; (3)利用数学的方法,得到 数学结果; (4)转译成具体问题作出解答,其中关键是建立数学模型. 19. (16 分)函数 f(x)对 x>0 有意义,当 m,n∈(0,+∞)时,恒有 f(mn)=f(m)+f (n)成立,并且 f(2)=1,当 x>1 时,f(x)>0.

(1)求证:f(1)=0; (2)求 f(4)的值; (3)求证:f(x)在(0,+∞) 上为增函数; (4)求满足 f(x)+f( )<2 的 x 的集合.

考点: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;证明题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)令 m=n=1,运用条件,即可得证; (2)令 m=n=2,由条件即可得到; (3)令 0<s<t,则 ,由 x>1 时,f(x)>0,则 f( )>0,即有 f(t)=f(s ) ,

运用条件即可得证; (4)运用条件不等式即为 f(x﹣3)<f(4) ,由 f(x)在(0,+∞) 上为增函数,即可得到 不等式组,解出即可. 解答: (1)证明:令 m=n=1,则 f(1)=2f(1) ,即有 f(1)=0; (2)解:令 m=n=2,则 f(4)=2f(2) ,而 f(2)=1,则 f(4)=2; (3)证明:令 0<s<t,则 则 f( )>0,即有 f(t)=f(s ,由 x>1 时,f(x)>0, )=f(s)+f( )>f(s) ,

则 f(x)在(0,+∞) 上为增函数; (4)解:f(x)+f( 即为 f(x )<2

)<2=f(4) ,

即为 f(x﹣3)<f(4) , 由 f(x)在(0,+∞) 上为增函数,



,解得,3<x<7.

则解集为(3,7) . 点评: 本题考查抽象函数及运用,考查解决抽象函数值的常用方法:赋值法,考查函数的 单调性的证明以及运用:解不等式,属于中档题.

20. (16 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)= (1)求 a,b 的值;



(2)若不等式﹣m +(k+2)m﹣ <f(x)<m +2km+k+ 对一切实数 x 及 m 恒成立,求实 数 k 的取值范围;

2

2

(3)定义:若存在一个非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对定义域中的任何实数 x 都恒成 立,那么,我们把 f(x)叫以 T 为周期的周期函数,它特别有性质:对定义域中的任意 x,f (x+nT)=f(x) , (n∈Z) .若函数 g(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数,切当 x∈(﹣1, 1)时,g(x)=f(x)﹣x,求方程 g(x)=0 的所有解. 考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由题意,函数在 R 上是奇函数,由于其在原点有定义故一定有 f(0)=0,再结 合 f(﹣1)=﹣f(1) ,由此两方程即可求出 a、b 的值; (2)本小题的不等式恒成立,故可由(1)解出的函数解析式求出函数的最值,将恒成立的 不等式﹣m +(k+2)m﹣ <f(x)<m +2km+k+ 对一切实数 x 及 m 恒成立成立,再由二次 函数的性质研究此不等式组,解出参数 K 的取值范围; (3)由题设条件函数是周期为 2 的奇函数,故可先研究其一个周期上的零点,再由周期性得 出所有的零点,由于函数是奇函数易得 f(0)=0,再由周期性的性质与奇函数的性质可得出 由此解得 f(﹣1)=f(1)=0,由此知一个周期上的零点,再由周期性得 出结论 解答: 解: (1)∵定义在 R 上的奇函数 f(x)= ∴f(0)=0, 即﹣1+b=0,b=1 ∵f(x)= ,f(﹣x)=﹣f(x) , .
2 2



=﹣

= 即 a=2 故 a=2,b=1 (2)f(x)= ,= ( )

值域为: (﹣ , ) ∵不等式﹣m +(k+2)m﹣ <f(x)<m +2km+k+ 对一切实数 x 及 m 恒成立,
2 2

则需且只需

m∈R 恒成立



对 m∈R 恒成立

只需

解得﹣1≤k≤0, ﹣x

(3)当 x∈(﹣1,1)时 g(x)=f(x)﹣x=﹣ + 显然 y=

,y=﹣x 均为减函数,故 g(x)在(﹣1,1)上为减函数,

由于 g(0)=0,故在(﹣1,1)内 g(x)=0 有唯一根 x=0 由于 g(x)周期为 2,由此有 x∈(2k﹣1,2k+1)内有唯 一根 x=2k(k∈N)① 综合得 x=2k(k∈N)为 g(x)=0 的根 又因为 g(﹣1)=g(﹣1+2)=g(1)得﹣g(1)=g(1) 故 g(1)=0,因此得 g(2k+1)=0(k∈N)② 综合①②有 g(x)=0 的所有解为一切整数 点评: 本题考查函数恒成立的问题,函数恒成立的问题由于其抽象,推理难度大,方法不 易得出而使得解此类题比较困难,解此类题,理解题意,对题设中所给的恒成立的关系进行准 确转化是解题的关键,对探究意识要求较高,此类题思维难度过大. ,属于难题.


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