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如东县2013-2014学年高二第二学期开学初测试数学试题


2014 年高二寒假作业检测试卷
学校 姓名 学号 得分 一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在试题的相应位置上. 1 1.“ m ? ”是“直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直”的 2 .(请填写“充分而不必要条件”

、 “必要而不充分条件” 、 “充要条件” 、 “既 不充分也不必要条件”之一) 2.若方程 x -2 ax +4=0 在区间(1,2]上有且仅有一个根,则实数 a 的取值范围是 3. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 =
2

. ___.

2an n ? N ? ? ,写出该数列的通项公式___ ? an ? 2

4. 在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a9 ? a10 的值为 5. 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦距是 2 ,则 m 的值是 m 4

.

.

6. 已知离心率为 e 的曲线 为 .

x2 y 2 ? ? 1 ,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦点重合,则 e 的值 2 a 7

7.函数 y ? a1? x ( a >0, a ≠1)的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx + ny -1=0 ( mn >0)上, 则
1 1 + 的最小值为 m n

.
1 1 1 ,且 m = a + ,n= b + ,则 m ? n 的最小值 a 2 b

8. 已知 a > 0, b > 0, a , b 的等差中项是 是 9.若-4< x <1,求 .

x2 ? 2 x ? 2 的最大值 2x ? 2

.

10. 在 R 上定义运算 ? 满足 x ? y ? x(1 ? y ) .若不等式( x - a ) ? ( x + a )<1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围是 .

? x ? 0, ? 11. 若 a ≥0, b ≥0,且当 ? y ? 0, 时,恒有 ax ? by ≤1,则以 a , b 为坐标的点 P(a, b) 所形 ?x ? y ? 1 ?
成的平面区域的面积等于
2

.

12. 已知函数 f ( x) =2 x +(4- m ) x +4- m , g ( x) = mx , 若对于任一实数 x , f ( x) 与 g ( x) 的值

至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是

.

13.若不等式 x -2 ax + a >0 对 x ∈ R 恒成立,则关于 t 的不等式 a 2t ?1 ? at
2

2

? 2t ? 3

的解

集为

.

14. 下列五个命题: (1) Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和且 Sn ? 0 , Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 成等比数列; (2)若 {an } 成等差数列,且常数 c ? 0 ,则数列 c (3)常数列既是等差数列,又是等比数列; (4)若等比数列 {an } 的前和为 S n ?

? ?为等比数列;
an

a1 ?1 ? q n ? 1? q



(5)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? c ,则 c ? 1 是 {an } 为等比数列的充分必要条件 ; 其中是正确命题的序号为 . (将所有正确命题的序号都填上).

二.解答题:本大题共 5 小题.共 90 分.请在试题下方指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式:

ax ? 1 >0 ( a ? R ). x ?1

(1)解这个关于 x 的不等式; (2)若 x ? ?a 时不等式成立,求 a 的取值范围.

16. 数列 ?an ? 的前 n 的和 Sn ,且 3tSn ? ? 2t ? 3? Sn?1 ? 3t ,其中 t ? 0, n ? N ? , n ? 2 (1) .求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2). 设数列 ?an ? 的公比为 f ? t ? ,数列 b1 ? 1, bn ? f ?

? 1 ? ? ? n ? 2 ? ,求数列 ?bn ? 的通项; ? bn ?1 ?

(3) .记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? L ? b2 nb2 n?1 ,求证: Tn ? ?

20 9

17. 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率 e= (1) .求椭圆 C 的方程;

3 ,一个焦点的坐标为( 3,0). 2

1 (2) .设直线 l:y= x+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 2 T.当 m 变化时,求△TAB 面积的最大值.

18. 某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产,已知该 厂连续生产 n 个月的累计产量为 f ( n) ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 吨,但如果产量超过 96 吨, 2

将会给环境造成危害. (1).请你代表环保部门给厂拟定最长的生产周期; (2).若该厂在环保部门的规定下生产,但需要每月交纳 a 万元的环保税,已知每吨产 品售价 0.6 万元,第 n 个月的工人工资为 g (n) ? 赢利,求出 a 的范围.

8 2 2 n ? n ? 1 万元,若每月都 5 5

19. 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为, Sn , S4 ? 2S2 ? 4, bn ? (1)求公差 d 的值; (2)若 a1 ? ?

1 ? an . an

5 ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值; 2

(3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 成立,求 a1 的取值范围.

2014 年高二数学寒假作业检测试卷 参考答案
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在试题的相应位置上. 1. 充分而不必要条件
1 2

5? 2. ? ?2, ? ? 2?

3. an ?
4 3

2 n ?1
1 2

4. 24
3 2

5. 5 或 3 11. 7+2 6

6.

4 3

7. 4

8. 5,当且仅当 a=b= 时取等号 13. (-2,2) 14. (1)(2) (5)

9.

10. - <a<

12(-∞,4)

二.解答题:本大题共 6 小题.共 90 分.请在试题下方指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知不等式:

ax ? 1 >0 ( a ? R ). x ?1
(2)若 x ? ?a 时不等式成立,求 a 的取值范围.

(1)解这个关于 x 的不等式;

1? (1) 综上所述, a<-1 时,解集为 ? ?x ? 1 ? x ? ? ;a=-1 时,原不等式无解; ? a?

-1<a<0 时,解集为 ? x

? 1 ? ? x ? ?1? ;a=0 时,解集为{x|x<-1}; ? a ?

1? a>0 时,解集为 ? ?x x ? ?1 ? 或x ? ? . ? a?

(2)∵x=-a 时不等式成立,∴

? a2 ?1 >0,即-a+1<0,∴a>1,即 a 的取值范围为 a>1. ? a ?1

16.数列 ?an ? 的前 n 的和 Sn ,且 3tSn ? ? 2t ? 3? Sn?1 ? 3t ,其中 t ? 0, n ? N ? , n ? 2 ⑴.求证:数列 ?an ? 是等比数列; ⑵.设数列 ?an ? 的公比为 f ? t ? ,数列 b1 ? 1, bn ? f ?

? 1 ? ? ? n ? 2 ? ,求数列 ?bn ? 的通项; ? bn ?1 ?

⑶.记 Tn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? L ? b2 nb2 n?1 ,求证: Tn ? ?

20 9

16.证明?1?: Q 3tSn ? ? 2t ? 3? Sn ?1 ? 3t, ? 3tS n -1 ? ? 2t ? 3? S n ? 2 ? 3t ? n ? 3? ? 3tan ? ? 2t ? 3? an -1 ? 0 ? n ? 3?,又a1 =1,? 3t ? a1 +a2 ? ? ? 2t ? 3? a1 ? 3t ? a2 = ? a a 2t ? 3 2t ? 3 2t ? 3 , ? n = ? t ? 0 ?, ? n ? 3, t ? 0 ?,且 2 = 3t an -1 3t a1 3t

an 2t ? 3 2t ? 3 = 的等比数列; ? n ? 2,t ? 0 ? ? 数列?an ? 是首项为1,公比为 an -1 3t 3t

? 1 ? ? 1 ? 2 解 ? 2 ?: ? b1 ? 1, b1 ? 1, bn ? f ? ? b1 ? 1, bn ? f ? ? ? n ? 2 ?, ? = +bn -1 ? n ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ?1 ? 3 2 2 2n ? 1 ? bn -bn -1 = ? n ? 2 ?, ? 数列?bn ? 是首项为1公差为 的等差数列, ? bn = 3 3 3
解 ? 3 ?: Q b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 ? ? 4 4 ?Tn ? ? ? 5 ? 9 ? 13 ? L ? ? 4n ? 1? ? ? 4n ? 1?, ? 9 9? 4 4 20 ? ? ? 2n 2 ? 3n ?, Q Tn ? Tn ?1 ? ? ? 4n ? 1? ? 0, ? 数列?Tn ? 单调递减, ? Tn ? T1 =9 9 9
3 ,一个焦点的坐标为( 3,0). 2

17. 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率 e= (1)求椭圆 C 的方程;

1 (2)设直线 l:y= x+m 与椭圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 T. 2 当 m 变化时,求△TAB 面积的最大值. x2 y2 解:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 3 ∵c= 3,e= = , a 2 2 ∴a=2,b =a2-c2=1, x2 ∴椭圆 C 的方程是 +y2=1. 4 2 x +y2=1, 4 (2)由 1 y= x+m, 2 1 得 x2+4( x+m)2=4,即 x2+2mx+2m2-2=0. 2 令 Δ>0,得 8-4m2>0,∴- 2<m< 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0), 则 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 5 = · (x1+x2)2-4x1x2= 5(2-m2). 4 1 1 1 又∵x0= (x1+x2)=-m,y0= x0+m= m, 2 2 2 1 ∴M(-m, m). 2 设 T(t,0), 1 0- m 2 1 ∵MT⊥AB,∴kMT· kAB= ·=-1, t+m 2 3 3 解得 t=- m,∴T(- m,0). 4 4 1 2 1 2 5 ∴|MT|= m + m = |m|. 16 4 4

? ? ?

1 1 5 ∴S△TAB= |AB|· |MT|= · 5(2-m2)· |m| 2 2 4 5 = -(m2-1)2+1. 8 ∵- 2<m< 2, 5 ∴当 m2=1,即 m=± 1 时,S△TAB 取得最大值为 8

n ?1 ? f (1), . ? f (n) ? f (n ? 1), n ? N , n ? 2 1 1 ? f (n) ? n(n ? 1)(2n ? 1),? f (1) ? 1, 当n ? 2时, f (n ? 1) ? (n ? 1)n(2n ? 3) , 2 2 2 ? f (n) ? f (n ? 1) ? 3n ? 2n . 16 2 ? n ? 6, 令 f (n) ? f (n ? 1) ? 96, 即3n ? 2n ? 96 ? 0, 解得:3 ? n ? N ,? nmax ? 6. 3 2 (2)若每月都赢利,则 (3n ? 2n) ? a ? g (n) ? 0, n ? N , n ? 6 恒成立. 5 1 1 2 即 a ? (n ? 2) ? , n ? 1, 2,3, 4,5, 6, 恒成立, 5 5 1 1 1 2 令 h(n) ? (n ? 2) ? , n ? 1, 2,3, 4,5, 6,? n ? 2时h( n)最小,且h(2) ? 5 5 5 1 所以 0 ? a ? . 5
18. 解: (1)第 n 个月的月产量= ? 19. 已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为, Sn , S4 ? 2S2 ? 4, bn ? (1)求公差 d 的值; (2)若 a1 ? ?

1 ? an . an

5 ,求数列 ?bn ? 中的最大项和最小项的值; 2

(3)若对任意的 n ? N * ,都有 bn ? b8 成立,求 a1 的取值范围.
19.解: ? 2 ? a2 ? a3 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 4,? 4d ? 4, d ? 1; ?1? ? S4 ? 2S2 ? 4, 5 7 1 1 ,? 数列?an ?的通项公式为an ? a1 ? ? n -1? ? n - , bn ? 1 ? ?1? 7 2 2 an n2 1 7 7 ? ? ? ? ?函数f ? x ? ? 1 ? 在 -?, ? 和 ? , ? ? ? 上分别是减函数, ? b3 ? b2 ? b1 ? 1, 7 ? 2 2 ? ? ? ? x2 当n ? 4时, 1 ? bn ? b4 ,? 数列?bn ?的最大项是b4 ? 3,最小项为b3 ? -1.

? 2 ? ? a1 ? -

? 3?由bn ? 1 ?

1 1 得bn ? 1 ? an n ? a1 -1 1 在 ? -?, 1- a1 ? 和?1- a1, ? ? ? 上分别是减函数, x ? a1 -1

?函数f ? x ? ? 1 ?

且x ? 1- a1时,y ? 1; x ? 1- a1时y ? 1, ? 对任意的n ? N * , 都有bn ? b8 ,? 7 ? 1- a1 ? 8,? a1 ? ? -7,-6 ?


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