tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关文档
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时定点定值探索性问题课件


备 高 考

启 智 慧

第二课时 定点、定值、探索性问题
研 考 点 分 层 限 时 跟 踪 练

备高考| 2 个任务

1.学会解决与圆锥曲线有关的定点、定值问题. 2.学会解决圆锥曲线中的探索性问题.

研考点| 梯度提升

考向 1 定点问题 题型:解答题 难度:低 命题指数:★☆☆

基础考点

命题热点:(1)证明直线过定点问题. (2)证明存在定点满足某个条件问题.

[自主突破] (2015· 汕头联考)已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点 F(1,0), O 为坐标原点, A,B 是抛物线 C 上异于 O 的两点. (1)求抛物线 C 的方程; 1 (2)若直线 OA,OB 的斜率之积为-2,求证:直线 AB 过 x 轴上一定点.

p 【解】 (1)因为抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),所以2=1,所以 p
2

=2. 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.
?t2 ? ?t2 ? (2)证明:a.当直线 AB 的斜率不存在时,设 A? 4 ,t?,B? 4 ,-t?. ? ? ? ?

1 因为直线 OA,OB 的斜率之积为-2, 1 t -t 所以t2·t2 =-2,化简得 t2=32. 4 4

所以 A(8,t),B(8,-t),此时直线 AB 的方程为 x=8.

b.当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+b,A(xA,yA),B(xB,yB),
2 ? ?y =4x, 联立? ? ?y=kx+b,

化简得 ky2-4y+4b=0.

4b 1 根据根与系数的关系得 yAyB= k ,因为直线 OA,OB 的斜率之积为-2,所 1 yA yB 以x · =-2,即 xAxB+2yAyB=0. x A B

2 y2 A yB 即4· 4 +2yAyB=0,

解得 yAyB=0(舍去)或 yAyB=-32. 4b 所以 yAyB= k =-32,即 b=-8k,所以 y=kx-8k,y=k(x-8). 综上所述,直线 AB 过定点(8,0).

[规律总结] 圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究 变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点 与变量无关.

考向 2 定值问题 题型:解答题 难度:中 命题指数:★★☆

能力考点

命题热点:证明或求解圆锥曲线中的定值问题.

[师生共研] x2 y2 2 (2015· 全国卷Ⅱ)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,点(2, 2) 在 C 上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

a2-b2 2 4 2 【解】 (1)由题意有 a = 2 ,a2+b2=1, 解得 a2=8,b2=4. x2 y2 所以 C 的方程为 8 + 4 =1.

(2)证明:设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). x2 y2 将 y=kx+b 代入 8 + 4 =1,得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. x1+x2 -2kb b 故 xM= 2 = 2 ,yM=k· xM+b= 2 . 2k +1 2k +1 1 yM 于是直线 OM 的斜率 kOM=x =-2k, M 1 即 kOM· k=-2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

[规律总结] 1.求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入 代数式、化简即可得出定值. 2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式, 再利用题设条件化简、变形求得. 3.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式 进行化简、变形即可求得.

[变式训练] (2015· 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1,椭 圆 C2:4x2+y2=1,若 M,N 分别是 C1,C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

2 【证明】 当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|= 2 ,则 O 到直线 3 MN 的距离为 3 . 当直线 ON 不垂直于 x 轴时,
? 设直线 ON 的方程为 y=kx? ?显然|k|> ?

2? ? , ? 2?

1 则直线 OM 的方程为 y=-kx.

? ?x2= 1 2, ? ? 4+k ?y=kx, 由? 2 2 得? 2 ? k ?4x +y =1, ?y2= 2, ? ? 4+k
2 2 1 + k 1 + k 所以|ON|2= 2.同理|OM|2= 2 . 4+k 2k -1

设 O 到直线 MN 的距离为 d, 因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2· |ON|2,
2 1 1 1 3k +3 3 所以d2=|OM|2+|ON|2= 2 =3,即 d= 3 . k +1

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.

考向 3 探索性问题 题型:解答题 难度:中 命题指数:★★☆

能力考点

命题热点:点或参数值的存在性问题.

[师生共研] x2 y2 2 (2015· 四川高考)如图 885,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,点 →· → =-1. P(0,1)在短轴 CD 上,且PC PD

图 885

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在常 → → →→ 数 λ,使得OA· OB+λPA· PB为定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.

【解】 (1)由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). → → 又点 P 的坐标为(0,1),且PC· PD=-1,
2 1 - b =-1, ? ? ?c 2 于是? = , ?a 2 2 2 2 ? ?a -b =c .

解得 a=2,b= 2.

x2 y2 所以椭圆 E 的方程为 4 + 2 =1.

(2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标 分别为(x1,y1),(x2,y2).
2 2 x y ? ? + =1, 联立? 4 2 得(2k2+1)x2+4kx-2=0. ? ?y=kx+1,

其判别式 Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 4k 2 所以 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . 2k +1 2k +1 →· → +λPA →· → 从而,OA OB PB

=x1x2+y1y2+λ[ x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 ?-2λ-4?k2+?-2λ-1? = 2k2+1 λ-1 =- 2 -λ-2. 2k +1 λ-1 所以,当 λ=1 时,- 2 -λ-2=-3. 2k +1

→· → +λPA →· → =-3 为定值. 此时,OA OB PB 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD. →· → +λPA →· → =OC →· → +PC →· → =-2-1=-3. 此时,OA OB PB OD PD → → →→ 故存在常数 λ=1,使得OA· OB+λPA· PB为定值-3.

[规律总结] 求解探索性问题的步骤 第一步:假设其结论成立、存在等; 第二步:在这个假设下进行推理论证; 第三步:如果推理论证得到了一个合情合理的推理结果,就肯定假设,对 问题作出正面回答,如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面 回答.

[变式训练] x2 y2 2 (2015· 北京高考)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,点 P(0,1)和 点 A(m,n)(m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M. (1)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示). (2)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N.问:y 轴上是否存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在, 说明理由.

? ?b=1, ?c 2 【解】 (1)由题意得? = , ?a 2 2 2 2 ? a = b + c , ? x2 2 故椭圆 C 的方程为 2 +y =1. 设 M(xM,0). 因为 m≠0,所以-1<n<1, n-1 直线 PA 的方程为 y-1= m x.
? m ? m ? 所以 xM= ,即 M?1-n,0? . ? 1-n ? ?

解得 a2=2.

(2)因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B(m,-n). m 设 N(xN,0),则 xN= . 1+n |OM| “存在点 Q(0, yQ)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点 Q(0, yQ)使得 |OQ| |OQ| =|ON|”,即 yQ 满足 y2 Q=|xM||xN|.

m m m2 2 因为 xM= ,xN= , 2 +n =1, 1-n 1+n
2 m 所以 y2 =2. Q=|xM||xN|= 1-n2

所以 yQ= 2或 yQ=- 2. 故在 y 轴上存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ,且点 Q 的坐标为(0, 2)或(0, - 2).

启智慧| 解题有招
解析几何类答题规则 圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点,试题以椭圆和抛物线与直线、圆 等的位置关系为背景,多与向量、函数、不等式等知识综合命题,考查轨迹方 程的求解、最值与范围问题的求解、定点与定值问题的求证、存在性、探究性 问题等.综合考查考生的各种数学思想与技能,多以压轴题形式出现,是高考 的一个难点.

[案例研析] x2 y2 (14 分)(2015· 天津高考)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F(-c,0),离
2 3 b 心率为 3 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= 4 截得的线

4 3 段的长为 c,|FM|= 3 . (1)求直线 FM 的斜率; (2)求椭圆的方程; (3)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2,求直线 OP(O 为原点)的 斜率的取值范围.

【审题策略】 (1) 找a,b,c关系 ―→ 代入求k (2) 设椭圆,直线方程 ―→ 解点M ――→ 解得方程
联立方程 点p横坐 结合椭圆 得斜率与P (3) 设FP斜率 ――――→ ――――→ ―→ 分类讨论
由FM

标范围

横坐标关系

答题模板 第一步:审题建 联

套用模板 c2 1 【解】 (1)由已知,有a2=3,又由 a2=b2+c2,可得 a2=3c2, 1分

2 2 b = 2 c . 分析条件和结

论,建立联系, 设直线 FM 的斜率为 k(k>0),则直线 FM 的方程为 y=k(x+ 初步寻求解题 突破口.
? c).由已知,有? ? ?
2 |kc| ? c?2 ?b?2 3 ? ? ? ? ? ? + 2 = 2 ,解得 k= 3 . 2 ? k +1? ? ? ? ?

3分

x2 y2 3 (2)由(1)得椭圆方程为3c2+2c2=1, 直线 FM 的方程为 y= 3 4分 第二步:求解方 (x+c), 2 2 两个方程联立,消去 y ,整理得 3 x + 2 cx - 5 c =0, 程 利 用 定 义 法 或 解得 x=-5c 或 x=c. 3 待定系数法,结 ? 2 3 ? ? 合已知条件,求 因为点 M 在第一象限,所以点 M 的坐标为? c , c ? ?. 5 分 3 ? ? 解直线或圆锥 ? ? 4 3 ?2 2 ?2 3 由 | FM | = ? c + c ? + c - 0 ? 3 ? = 3 ,解得 c=1,所以椭 曲线方程. ? ? x2 y2 圆的方程为 3 + 2 =1. 6分

第三步:联立消 元

y (3)设点 P 的坐标为(x,y),直线 FP 的斜率为 t,即 t= , x+1

联 立 直 线 方 程 则直线 FP 的方程为 y=t(x+1)(x≠-1), 与曲线方程,消 t?x+1?, ? ?y= 2 2 ? 与椭圆方程联立 x y 元,利用根与系 + 2 =1, ? 3 ? 数的关系设而 消去 y,整理得 2x2+3t2(x+1)2=6. 不求.

8分

第四步:解答证 明 又由已知,得 t=

6-2x2 3 2> 2,解得- <x< -1,或- 2 3?x+1?

结 合 题 意 求 解 1<x<0. y 最值、范围、定 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= , x 点、定值或证明 存在性问题.注 意分类讨论. 即 y=mx(x≠0),与椭圆方程联立, 2 2 整理可得 m =x2-3.
2

10 分

? 3 ? ①当 x∈?-2,-1?时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0,于是 m ? ?

第五步:反思回 顾 反思解题过程, 点,注意解题规 范.



? 2 2 3? 2 2 ? ? - ,得 m ∈ . , 2 ? ? x 3 3 ? ?3

12 分

②当 x∈(-1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0,
? 2 2 2 3? ? ? - ,得 m ∈ . - ∞ ,- 2 ? ? x 3 3 ? ? ? 2 3? ? 的斜率的取值范围是 ?-∞,- ? ?∪ 3 ? ?

查 看 易 错 易 误 于是 m=-

综上,直线 OP
? ? ? ?

2 2 3? ? . , 3 3 ? ?

14 分

[抢分训练] 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l, 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点, 且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 【解】 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0),且可知其左 焦点为 F′(-2,0).
? ?c=2, 从而有? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2. 解得? ? ?a=4.

又 a2=b2+c2,所以 b2=12, x2 y2 故椭圆 C 的方程为16+12=1.

3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y=2x+t. ? 3 ?y=2x+t, 由? 2 2 得 3x2+3tx+t2-12=0. ? x + y =1, ?16 12 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3×(t2-12)≥0,

解得-4 3≤t≤4 3. |t| 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4,得 =4,解得 t=±2 13. 9 4+1 由于±2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在.



推荐相关:

...一轮复习课后作业:第八章 平面解析几何 第9节 第2课...

2018届高三数学(理)一轮复习课后作业:第八章 平面解析几何 第9节 第2课时 圆锥曲线的综合应用 - 课时作业 A组 基础对点练 1.(2017· 唐山统考)已知抛物线 ...


...第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文北师大版_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 ...


...第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文新人教版_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 ...


...第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 范围、最值...


...第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范...

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教师用书文_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 ...


...第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范...

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题试题理_数学_高中教育_教育专区。第 2 课时题型一 范围问题 范围、最值...


...大一轮复习平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课...

2018版高考数学大一轮复习平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题教师用书文新人教版_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时题型一 定点问题 ...


...平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值...

浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时题型一 定点问题 定点、...


...大一轮复习平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课...

2018版高考数学大一轮复习平面解析几何9.8圆锥曲线的综合问题第3课时定点定值探索性问题教师用书文北师大版_数学_高中教育_教育专区。第 3 课时题型一 定点问题 ...


...复习第九章平面解析几何9.9圆锥曲线的综合问题第1课...

(浙江专用)2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.9 圆锥曲线的综合问题 第 1 课时 圆锥曲线的综合问题教师用书 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com