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函数零点及根的分布问题


函数零点
1.函数 f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 1的零点为( A、 ?1 ?
2 2

) C、 ?1 ? )
6 2

B、 ?1 ?

6 2

D、不存在

2.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2x 的零点个数为( A、0
A. (1, 2)

B、1
B. (2 , 3)

C、2
C.

D、3
). D. (4, 5) (3, 4)

3. 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间(

4.

已知函数 f(x)=|x2-2x-3|-a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围. (1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点.

一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 根的分布情况
2

设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为
2

f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

1

表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别 如下)需满足的条件是
2

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; f n ? 0 ? ? ? ?
2

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

1、已知二次方程 ? 2m ?1? x ? 2mx ? ? m ?1? ? 0 有一正根和一负根,求实数 m 的取值范围。

2、已知方程 2x ? ? m ?1? x ? m ? 0 有两个不等正实根,求实数 m 的取值范围。
2

3、已知二次函数 y ? ? m ? 2? x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与 x 轴有两个交点,一个大于 1,一个小于 1,求
2

实数 m 的取值范围。

4 若一元二次方程 mx2 ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两个实根都大于-1,求 m 的取值范围。

5 若一元二次方程 mx ? (m ? 1) x ? 3 ? 0 的两实根都小于 2,求 m 的取值范围。
2

6 若方程 x ? (k ? 2) x ? 2k ?1 ? 0 的两根中, 一根在 0 和 1 之间, 另一根在 1 和 2 之间, 求 k 的取值范围。
2

3


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