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空间向量的坐标表示


§3.1.3 空间向量的坐标表示
【学习目标】
1、掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的 坐标表示; 2、会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题。

(一)学习重点
空间向量运算的坐标表示;

(二)学习难点
空间向量运算的坐标表示的应用。

(三)学习方法
自主合作探究

【回顾·预习】
1、平面向量基本定理

2、平面向量的坐标运算: 设 a ? (a1, a2 ), b ? (b 1 , b2 ), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

?

?

? ?

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2

? a ? (?a1, ?a2 )(? ? R)
? ?? ? ? ?

?

(2) a // b(b ? 0) ? a ? ?b 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0
(3) | a |?

?

2 a12 ? a2

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 )

??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

? ? ? ? a ?b cos a, b ? ? ? ? | a || b |

a1b1 ? a2b2
2 2 a ? a2 b12 ? b2 2 1

【自主·合作·探究】
1、⑴空间向量基本定理

⑵基底: ⑶单位正交基: 由空间向量基本定理知,存在有序实数组{x,y,z}使得 p ? xe1 ? ye2 ? z e3 ,我们把 x,y, z 称作向量 p 在单位正交基底 e1, e2, e3 下的坐标,记作 p ? ?x,y,z ? 。
1

2、空间向量运算的坐标表示: 设 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ), A( x1, y1, z1 ), B( x2 , y2 , z2 ) ,则 (1) a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 )

?

?

? ?

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? a1b2 ? a2b2 ? a3b3

? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R)
? ? ? ?? ?

?

(2) a // b ? a ? ?b(b ? 0) 即 a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
(3) a ?

a1 2 ?a2 ? a3

2

2

??? ? ??? ? ??? ? AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 )
??? ? d AB ?| AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos a, b ? ? ? ? 2 3 2 | a || b | a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

【精讲点拨】
例 1、有以下命题:①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的 关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么 点 O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c ,也是 空间的一个基底。其中正确的命题是( ) 。 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 例 2、 M, N 分别是四面体 OABC 的边 OA, BC 的中点, P, Q 是 MN 的三等分点。 用向量 OA , OB , OC , 表示 OP 和 OQ 。

? ?

? ?

??? ? ??? ? ????

? ??

? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3、已知 a ? ? 2, ?3,1? , b ? ? 2,0,3? , c ? ? 0,0,2 ? ,求: (1) a ? b ? c ; (2) a ? 6b ? 8c .

?

?

2

例 4、如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点 E1 , F 1 分别是 A 1B 1 , C1D 1 的一个四等分点, 求直线 BE1 与 DF 1 所成角的余弦值.

例 5,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E、F 分别是 BB1,D1B1 的中点,求证 EF⊥DA1

【当堂达标】

? ???? 1、若 a,b,c 为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成基底的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a, a ? b, a ? b B. b, a ? b, a ? b C. c, a ? b, a ? b D. a ? 2b, a ? b, a ? b

? ?

2、已知向量 a =(2,4,x) , b =(2,y,2) ,若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值是( ) A. -3 或 1 B.3 或-1 C. -3 D.1 ??? ? ??? ? 3、已知 A ? ? 3,5, ?7 ? , B ? ? ?2,4,3? ,求 AB, BA, 线段 AB 的中点坐标及线段 AB 的长度.

4、已知空间三点 A(-2,0,2) ,B(-1,1,2) ,C(-3,0,4) 。设 a = AB , b = AC , (1)求 a 和 b 的夹角 ? ; (2)若向量 k a + b 与 k a -2 b 互相垂直,求 k 的值.

3

5、正方体 ABCD— A1 B1C1 D1 中,E、F 分别是 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角 的余弦值为( )A.

3 3

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 6

【反思·提升】 【作业】课本 P97 【拓展·延伸】
A组

1、 3

1、已知a ? ?2, ?1?a ? b ? c , ?2?a ? 6b ? 8c - 3, 1?, b ? ?2, 0, 3?, c ? ?0, 0, 2? 。求:

? ?

2、已知 a ? ?2, 且 a ⊥ b ,求 x 的值。 ?1 , 3?, b ? ?? 4, 2,x?,

B组 3、如图,已知空间四边形 OACB 中,OA=OB,CA=CB,点 E,F,G,H 分别是 OA,OB,CB,CA 的中点。求证:四边形 EFGH 是矩形。

C组

? ? ? 4 已 知 关 于 x 的 方 程 x2 ? ? t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有 两 个 实 根 , c ? a? t b ,且 ? ? ? a ? ? ?1 , 1 ?, b 3 ?,? ?1 ? , ,当 0, t 2 取何值时, c 的模取得最大值.

4


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