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重庆市第十一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(特优班)


重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下半期 数 学 试 题(理科二)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 3 ? 2i ,则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第

四象限

2 3 2 2. 已知函数 f(x)= x -2ax -3x(a∈R),若函数 f(x)的图像上点 P(1,m)处的切线方程为 3 3x-y+b=0,则 m 的值为( 1 A.- 3 1 B.- 2
2

) 1 C. 3 D. 1 2

3. 用数学归纳法证明命题:1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 增加的项数为( A. 2n ? 1 ) B. 2n
x

n2 ? n4 时,则从 n ? k 到 n ? k ? 1 左边需 2

C. 2n ? 1

D. n ? n ? 1
2

4. 已知点 P 在曲线 y= ( )

4 上,α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 α 的取值范围是 e +1

? π? A.?0, ? 4? ?
2

?π π ? B.? , ? ?4 2?

?π 3π ? C.? , ? 4 ? ?2

D.?

?3π ,π ? ? ? 4 ?


5. 点 P 是曲线 y=x -ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是( A. 2 B. 2 2
2 2

C.

3 2 2

D. 3 2 )

6. 过点(3,1)作圆(x-1) +y =1 的两条切线,切点分别为 A,B,则线段 AB 的长为( A.

3 3

B.

2 3 3

C.

4 5 5

D.
2

6 5

7. 已知曲线 y=x+lnx 在点(1,1)处的切线与曲线 y ? ax ? (a ? 2) x ? 1 相切,则 a 的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

8. 如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点,△AED、△EBF、 △FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起,使 A、B、C 三点重合于点 A′,若四面体 A?EFD 的四 个顶点在同一个球面上,则该球面的面积为( ) .

1

A. 3?

B. 6?

C.

10?
)

1 x 9. 设点 P 在曲线 y= e 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( 2 A. 2(1-ln 2) B. 1-ln 2 C.1+ln 2 D. 2(1+ln 2) ) .

10. 已知 ? , ? ? (0, ) ,且 A. ? ? ?

? 2

sin ?

?

?

sin ?

?
?
2

,则下列结论正确的是( C. ? ? ? D. ? ? ? ?

B. ? ? ? ?

?
2

2 11. 若圆 (x ? 3) ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y=2 的距离

等于 1,则半径 r 的范围为( A. ?4, 6? B.(4,6)

) C. ?4, 6? D.[4,6]

1 , f (0) ? 11,则 12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,其导函数为 f '( x) ,若 f (x) ? f '( x) ?
不等式 f ( x) ? A. (10,??)

e x ? 10 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( ) ex
,??) B. (??,0) ? (11
C. (??,11) D. ( ??, 0)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 13. 如图所示,图中曲线方程为 y=x -1,则围成封闭图形(阴影 的面积是__________. 14. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c, 若 f(x)在区间(-1,0)上单 减,则 a +b 的取值范围是________. 15. 已知 若 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 ,…, 15
2 2 3 2

部分)

调递

7+ =7

a b

a ,(a、b 均为正实数),则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a b

+b=________. 16.设函数 f(x)=ax -3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数
3

a 的值为________.
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.17 题 10 分,其它题为 12 分。解答应写出文字 说明.证明过程或演算步骤) . 17. 设函数 f ( x) ? (1 ? x) ?2 ln( 1 ? x) .
2

(Ⅰ)对任意 x0 ? [0,1] ,不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的最小值;

2

(Ⅱ)若存在 x0 ? [0,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 成立,求实数 m 的取值范围.

18.已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 (1)若 f (1) ? ?5 ,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2], 函数 g ( x) ? x ? x [ f ?( x) ?
3 2

m ] 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值范围. 2

19. 设函数 f ( x) ? ln x ?

m ,m? R. x

⑴ 当 m ? e ( e 为自然对数的底数)时,求 f ? x ? 的最小值; (2) 若对任意 b ? a ? 0,

f ?b? ? f ? a ? ?1 b?a

恒成立,求 m 的取值范围. 20.在三棱柱 ABC?A1B1C1 中, 四边形 AA1C1C 是 边长为 2 的菱形,平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∠A1AC=60°,∠BCA=90°. (1)求证:A1B⊥AC1; (2)已知点 E 是 AB 的中点,BC=AC,求二面 角 B1 ? A1E ? C1 的正弦值

A1 B1

C1

A

C B

x2 y2 21. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 y=kx 相交于 A、 B 两点(从 a b 左至右),过点 B 作 x 轴的垂线,垂足为 C,直线 AC 交椭圆于另一点 D.
(1)若椭圆的离心率为 2 ,点 B 的坐标为( 2,1),求椭圆 2

的方程; (2)若以 AD 为直径的圆恰好经过点 B,求椭圆的离心率.

3

22. 已知函数 f(x)= x +ax-lnx. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 ln x , F ( x) ? 3g ( x) ? 2 xg?( x) ,若函数 F(x)在定义域内有 两个零点 x1,x2,且 x1<x2,求证: F ?(

2

x1+x2 ) <0. 2

4

重庆市第十一中学 2015 至 2016 学年度高二下半期 数 学 试 题(理科二)答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 D 5 A 6 C 15. 55 7 B 8 B 16. 4 9 A 10 C 11 B 12 D

二、13. 2

?9 ? 14. ? ,+∞? ?5 ?

2x ? x ? 2? 2 ? , 1? x 1? x 当 x ? (0,1) 时, f ' ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上单调递增,
三、17. 解: (Ⅰ)? f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 所以 f ( x)max ? f (1) ? 4 ? 2 ln 2 ,不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 恒成立, 等价于 m ? f ( x)max ? 4 ? 2 ln 2 ,所以 m 最小值为 4 ? 2 ln 2 。对任意 x0 ? [0,1] , . (Ⅱ)若存在 x0 ? [0,1] ,使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 成立,等价于 m ? f ( x) min ? 1,所以 m 的取值范围为 [1,??) . 18.解(1)根据题意知, f (1) ? ?5 ,则 a ? 2 ,又 f ( x ) ?

2(1 ? x) ,x ? 0 x

f(x)的单调递减区间为(1,+∞),单调递增区间为(0,1]; a (2)∵f′(2)=- =1,∴a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3.
2

? 2 3 2 ∴g(x)=x +? +2?x -2x,∴g′(x)=3x +(m+4)x-2. ?2 ? ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=-2,

?m

? g ?(t ) ? 0 ,由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立, ? g ?(3) ? 0 2 2 ∴ 3t ? (m ? 4)t ? 2 ? 0 ,则有 ? ( m ? 4) ? 3t ? 对于任意的 t∈[1,2] t 2 2 37 又 3t ? 在[1,2]上为增函数,则 ? ( m ? 4) ? 6 ? ,∴- <m<-9. 3 t 2 e 19. (1)由题设,当 m ? e 时, f ( x) ? ln x ? ,易得函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) x 1 e x?e ? f ?( x) ? ? 2 ? 2 x x x
∴?

? 当 x ? (0, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, e) 上单调递减;
当 x ? (e, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (e, ??) 上单调递增;

e ? 当 x ? e 时, f ( x) 取得极小值 f (e) ? ln e ? ? 2 ,? f ( x) 的最小值为 2 e f (b) ? f (a) ? 1 恒成立 (2)对任意 b ? a ? 0, b?a
等价于 f (b) ? b ? f (a) ? a 恒成立 设 h( x) ? f ( x) ? x ? ln x ?

m ? x( x ? 0) x
5

?等价于h( x) 在 (0, ??) 上单调递减
? h?( x) ? 1 m ? ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立 x x2 1 1 ? m ? ? x 2 ? x ? ?( x ? ) 2 ? ( x ? 0) 恒成立 2 4 1 1 1 ?1 ? ? x) ( =0 仅在 x ? 时成立) ? m ? (对 m ? , h ,?m 的取值范围是 ? , ?? ? 4 2 4 ?4 ?
20 解:(1)证明:取 AC 的中点 O,连接 A1O, 因为平面 ABC⊥平面 AA1C1C,A1O⊥AC, 所以 A1O⊥平面 ABC,所以 A1O⊥BC. 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C, 所以 AC1⊥BC.在菱形 AA1C1C 中,AC1⊥A1C, 所以 AC1⊥平面 A1BC,所以 A1B⊥AC1. (2)以点 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O?xyz,则 A(0,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),C1(0, 3), E (1,0,0, ) , A ,0,? 3) , 1 (0,0, 3) , B 1 (2,2, 3) , A 1E ? (1 设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 A1B1E A1B1 ? (2,2,0) , A1C1 ? (0,2,0, ) , 的法向量,则有 ?

2,

? x ? 3z ? 0 不妨取 z=1 可得 ?2 x ? 2 y ? 0

n1 ? ( 3,? 3,1) 设 n2 ? ( x, y, z) 是平面 A1C1E 的法向量,则有
? x ? 3z ? 0 不妨取 z=1 可得 n2 ? ( 3,0,1) , ? ?2 y ? 0
设二面角 B1 ? A1E ? C1 为 θ ,则 n1 ? n2 ? 3 ? 1 ? 7 ? 2 cos? .则 sin ? ?

21 7

= , ? ?a 2 a =4, x y 21. 解:(1)由题意,? 2 1 解得 所以椭圆的方程为 + =1. 4 2 + =1, b =2, a b ? ?a =b +c ,

c

2

2 2

2 2

? ? ? ? ?

2 2

2

2

2

(2)法一:设 B(x1,y1),D(x2,y2),则 A(-x1,-y1),C(x1,0). → → 因为 A,C,D 三点共线,所以AC∥AD, → → 由AC=(2x1,y1),AD=(x1+x2,y1+y2), y1+y2 y1 k 得 2x1(y1+y2)=(x1+x2)y1,即 = = . x1+x2 2x1 2

? ? 又 B,D 均在椭圆上,有? x y ? ?a +b =1,②
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1,① a2 b2

(x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) ①-②,得 =- , 2 2

a

b

2 y1-y2 b x1+x2 2 b 所以直线 BD 的斜率 k′= =- 2· =- · 2, x1-x2 a y1+y2 k a

2

6

由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B,所以 AB⊥BD,即 k·k′=-1, c 2 2 2 所以 a =2b ,所以椭圆的离心率 e= = . a 2 法二:设 B(t,kt),则 A(-t,-kt),C(t,0), 所以直线 AD 的方程为 y= (x-t). 2

k

? ? ak 由? 消去 y,得 b x + (x-t) =a b , 4 k y= (x-t), ? ? 2
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 + =1, a2 b2

2a k t 即(4b +a k )x -2a k tx+a k t -4a b =0,所以 xA+xD= 2 2 2, 4b +a k 2 2 2 2 2 3a k +4b a2k3 2a k t ? ? 从而 xD= 2 2 2 2 t, 2 2 2t?, 2 2+t,即 D? 4b +a k ? 4b +a k ? 4b +a k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

a2k3 2 2t-kt 2 4b +a k 2b 所以直线 BD 的斜率 k′= 2 2 =- , 2 3a k +4b a2k 2 2 2 t-t 4b +a k 由于以 AD 为直径的圆恰好经过点 B,所以 AB⊥BD,即 k·k′=-1, c 2 2 2 所以 a =2b ,所以椭圆的离心率 e= = a 2
2

22. 解: (Ⅰ)∵ x ? 0 , f ?( x) ?

2 x 2 ? ax ? 1 a ? a2 ? 8 2 ,由 2 x ? ax ? 1 ? 0 得 x1 ? <0 x 2

a ? a2 ? 8 舍去, x2 ? ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, x2 ) 上为减函数,在 ( x2 ,??) 上为增 2
函数。 (Ⅱ)由已知 g ( x) ? x ? ax ? ln x , F ( x) ? ? x ? ax ? 3ln x ? 2 ,
2 2

则 F ?( x) ? ?2 x ? a ?

3 ? 2 x 2 ? ax ? 3 ? , x x

F ?(

x1 ? x2 6 ………………① ) ? ?( x1 ? x2 ) ? a ? 2 x1 ? x2
2 2

又 ? x1 ? ax1 ? 3ln x1 ? 2 ? 0 , ? x2 ? ax2 ? 3ln x2 ? 2 ? 0 两 式 相 减 有

x1 x x2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? a) ? 3 ln 1 ? 0 , 则 x1 ? x2 ? a ? 代 入 ① 有 x2 x1 ? x2 3 ln

7

x1 x ?x 6 3 x 2( x2 ? x1 ) x2 ? F ?( 1 2 ) ? ? (ln 1 ? ) x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1 x2 x1 ? x2 3 ln

x1 ) 3 x1 x1 ? x2 x x2 F ?( )? {ln ? } ,令 t ? 1 , 则 t ? (0,1) x 2 x2 ? x1 x2 x2 1? 1 x2 2(1 ?
h(t ) ? ln t ? 2(1 ? t ) 1 ? 4) (t ? 1)2 , h?(t ) ? ? ? ?0 1? t t (1 ? t )2 (1 ? t )2 t
3 ? 0 则 F ?( x1+x2 ) <0 2 x2 ? x1

则 h(t ) 在 (0,1) 上为增函数,则有 h(t ) ? h(1) ? 0 ,又

8


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