错位相减法是一种常用的数列求和方法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如 An=BnCn，其中 Bn 为等差数列，Cn 为等比数列；分别列出 Sn，再把所有式子同时乘以等 比数列的公比，即 kSn；然后错一位，两式相减即可。 如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么这个数列的前 n 项和可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的 例如：求和 Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 当 x=1 时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2； 当 x 不等于 1 时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； ∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 两式相减得(1-x)Sn=1+2[x+x^2+x^3+x^4+…+x^(n-1)]-(2n-1)*x^n； 化简得 Sn=1/1-x+(2x-2x^n)/(1-x)^2-(2n-1)*x^n/1-x 3 错位相减法解题 错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是 a 前面的系数和 a 的指数是相 等的情况下才可以用。这是例子： S=a+2a^2+3a^3+……+(n-2)a^(n-2)+(n-1)a^(n-1)+na^n （1） 在（1）的左右两边同时乘上 a。 得到等式（2）如下： aS= a^2+2a^3+3a^4+……+(n-2)a^(n-1)+(n-1)a^n+na^(n+1) （2） 用（1）—（2） ，得到等式（3）如下： （1-a）S=a+(2-1)a^2+(3-2)a^3+……+(n-n+1)a^n-na^(n+1) （3） （1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1) S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n 用这个的求和公式。 （1-a）S=a+a^2+a^3+……+a^(n-1)+a^n-na^(n+1) 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到 S 的通用公式了。 例子:求和 Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)· x 的 n-1 次方（x 不等于 0） 解：当 x=1 时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2;; 当 x 不等于 1 时，Sn=3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)· x 的 n-1 次方 所以 xSn=x+3x^2+5x^3+7x 四次方……..+(2n-1)· x 的 n 次方 所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x 的 n-2 次方)－(2n-1)· x 的 n 次方。 化简得：Sn=(2n-1)· x 地 n+1 次方－(2n+1)· x 的 n 次方+(1+x)/(1-x)平方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n 2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以 Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法 这个在求等比数列求和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n 两边同时乘以 1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n