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四川省2015届高三“名校联盟”(理科)数学检测试卷及参考答案


四川省 2015 届高三“名校联盟” (理科)数学检测试卷
一、选择题 本大题有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每个小题只有一个正确选项,请将正确 选项涂在答题卷上
2 1. 设集合 M = ?a, a ? 1? , N ? x ? R | x ? 4 . 若 M

?

?

N ?

N , 则实数 a 的取值范围为(



A.

??1, 2?

B.

??2,1?

C.

??2, 2?


D.

? ??, ?2? ?2, ???

2. " a ? ?1" 是 "(a ? i)2 " 为纯虚数的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

3.执行如图所示的程序框图,当输入 n ? 30 时,则输出的结果是( A. 4 B. 5
2

C. 6

D. 7

4. 已 知 双 曲 线 C : x ?

y2 ?1 的离心率为 e ,若 p ? e ,则抛物线 3


E : x 2 ? 2 py 的焦点 F 到双曲线 C 的渐近线的距离为(
A.

3

B. 1

C.

3 2

D.

1 2

5.将 5 件不同奖品全部奖给 3 个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖 情况种数是( A. 150 ) B. 210
*

C. 240

D. 300 )

6.数列 ?xn ? 对任意 n ? N 满足 (1 ? xn )(1 ? xn?1 ) ? 2, 则 x2013 ? x2015 的值为( A. 2 B. 1 C. 0 D. ?1

7. 一 个 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 四 面 体 的 四 个 面 中 最 大 的 面 积 是 (



·1 ·

1 1

正视图

侧(左)视图

1 1 俯视图

A.

3 2

B.

2 2

C.

3 4

D.
x

1 2

8.已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? log 2 (a ? b ?1) ?a ? 0, a ? 1 ? 的图像如图所示,则 a , b 满足的关系是 ( ) y

1
?1
O x

A. 0 ? a

?1

? b?1 ? 1
?1

B. 0 ? b

?1

? a ?1 ? b ?1

C. 0 ? b ? a

?1
2

D. 0 ? a

?1

9. 若 函 数 f ( x) ? ? sin

? x ? 6sin ? x cos ? x ? 3cos2 ? x(? ? 0) 的 最 小 正 周 期 为 2? , 若 对 任 意


x ? R 都有 f ( x) ?1 ? f (? ) ?1 ,则 tan ? 的值为(
A.

3 2

B.

2 3

C. ?

3 2

D. ?

2 3

10.已知实数 a, b, c, d 满足

a ? 2ea 1 ? c ? ? 1, 其中 e 是自然对数的底数,则 (a ? c)2 ? (b ? d )2 的最小 b d ?1
·2 ·

值为( A. 4

) B. 8 C. 12 D. 18

二、填空题 本大题有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请将正确答案写在答题卷上

11.二项式 ( x ?

N 2 6 ? ) 的展开式中各项系数和与常数项分别为 M , N , 则 M x

.

? 4 x ? 3 y ? 12 ? x?3 12.已知二元一次不等式组 ? 表示的平面区域为 D.若圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 上存在点 ? y?4 ?

( x0 , y0 ) ? D, 则 r 的取值范围为

. .

13.已知 ?ABC 中 , AB ? (2,1), CA ? (3, ?4), 则 ?ABC 的面积 S ?

14.甲、乙两个公司均可独立完成某项工程.若这项工程先由甲公司施工 81 天,则余下部分再由乙公 司施工 144 天可完成,已知甲公司施工每天所需费用为 6 万元,乙公司施工每天所需费用为 3 万元,现按 合同规定,甲公司完成这项工程总量的 用的最小值为 万元.

2 1 ,乙公司完成这项工程总量的 ,那么完成这项工程所需总费 3 3

15.直线 l : y ? m ( m 为实常数)与曲线 E : y ?| ln x | 的两个交点 A、B 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,且

x1 ? x2 ,曲线 E 在点 A、B 处的切线 PA、PB 与 y 轴分别交于点 M、N.有下面 5 个结论:
① | MN |? 2; ②三角形 PAB 可能为等腰三角形;③若直线 l 与 y 轴的交点为 Q, 则 PQ ? 1; ④若点 P 到
2 直线 l 的距离为 d , 则 d 的取值范围为 (0,1); ⑤当 x1 是函数 g ( x) ? x ? ln x 的零点时, AO ( O 为坐标

原点)取得最小值. 其中正确结论的序号为 .

三、解答题 本大题有 6 个小题,共 75 分,请将解答过程和答案写在答题卷上 16. A, B, C 是 ?ABC 的三个内角,且 C ? 2 B , (Ⅰ)求证: sin A ? 3sin B ? 4sin B ;
3

(Ⅱ)若 ?ABC 是锐角三角形,求

AB ? BC 的取值范围. AC
·3 ·

17. 空气质量按照空气质量指数大小分为六级,相对应空气质量的六个类别(见下表) ,指数越大, 级别越高说明污染情况越严重,对人体的危害也越大. 为 了 调 查 某 城 市 空 气 质 量 状 况 , 指数 当日 PM2.5 浓 度(微克/立方 米)范围 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 级别 一 二 三 四 五 六

?0,50? ?50,100? ?100,150? ?150, 200? ? 200,300? ?300,500?

对近 300 天空气中 PM2.5 浓度进行统计,得出这 300 天中 PM2.5 浓度的频率分布直方图.

将 PM2.5 浓度落入各组的频率视为概率,并假设每天的 PM2.5 浓度相互独立. (Ⅰ)当空气质量指数为一级或二级时,人们可正常进行户外运动,根据样本数据频率分布直方图, 估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率. (Ⅱ)当空气质量为“重度污染”和“严重污染”时,出现雾霾天气的概率为 该市出现雾霾天气的天数,求随机变量 ? 的分布列、期望 E ? 和方差 D ? .
·4 ·

5 .用 ? 表示在未来 3 天里 8

18.已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, 平面 PAB ? 平面 ABCD, R、S 分别是棱 AB、PC 的中点, AD / / BC, AD ? AB, PD ? CD, PD ? PB, AB ? BC ? 2 AD ? 2, (Ⅰ)求证:①平面 PAD ? 平面 PBC; ② RS / / 平面 PAD (Ⅱ)若点 Q 在线段 AB 上,且 CD ? 平面 PDQ, 求二面角 C ? PQ ? D 的余弦值. C

D S Q A P R B

19. 已知数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是等比数列,函数 f ( x) ? b1x2 ? b2 x ? b3 的图象在 y 轴 上的截距为 ?4 ,其最大值为 a6 ? (Ⅰ)求 a6 的值; (Ⅱ)若 d ? 0且f (a2 ? a8 ) ? f (a3 ? a11 ), 求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ;

7 . 2

·5 ·

(Ⅲ)设 Tn ?

1 1 ? ? a6 a7 a7 a8

?

1 (n ? 6) ,若 Tn 的最小值为 2,求 d 的值. an an?1

20. 已知圆锥曲线 E : ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 4c c为正常数 ,过原点 O 的直线与曲线 E
2 2 2 2

?

?

交于 P 、 A 两点,其中 P 在第一象限, B 是曲线 E 上不同于 P, A 的点,直线 PB, AB 的斜率分别为 k1 、

k2 , 且 k1k2 ? 0.
(Ⅰ)若 P 点坐标为 (1, ), 求圆锥曲线 E 的标准方程; (Ⅱ)求 k1 ? k2 的值; ( Ⅲ ) 若 PD ? x 轴 于 点 D, D 点 坐 标 为 (m, 0), 存在? ? R使AD=? BD, 且 直 线 AB 与 直 线

3 2

l:x?

4c 2 交于点 M , 记直线 PA 、PM 的斜率分别为 k3 、k4 , 问是否存在常数 ? , 使 k1 ? k3 ? ?k4 , 若 m

存在, 求出 ? 的值,若不存在,说明理由.

·6 ·

21. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 , (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)已知正数 ?、? 满足 ? ? ? , f (? ) ? f ( ? ). ①若 ?、? 都属于区间 ?1,3? , 且 ? ? ? ? 1, 求实数 a 的取值范围.

②求证:

? ?? ?

2 . a

四川省 2015 届高三“名校联盟” (理科)数学检测试卷参考答案

·7 ·

一、选择题 1~5 BABDA 二、填空题 11. 240 三、解答题 16. 解: (Ⅰ)由题设 12. 6~10 DADCB

[

12 ,5] 5

13.

11 2

14. 900

15. ①③④⑤

sin A ? sin( B ? C ) ? sin 3B ? sin 2 B cos B ? cos 2 B sin B ? 2sin B cos 2 B ? (1 ? 2sin 2 B)sin B ? 2sin B(1 ? sin 2 B) ? (1 ? 2sin 2 B)sin B ? 3sin B ? 4sin 3 B
(Ⅱ) 6分

?ABC为锐角三角形

? 0<B ? ?

?
2

且0<2B ?

?
2

且0<? ? 3B ?

?
2



?
6

<B ?

?
4

,

2 3 ? cos B ? 2 2 AB ? BC sin C ? sin A sin 3B ? sin 2 B 由正弦定理 ? ? AC sin B sin B 2 ? ?4sin B ? 2 cos B ? 3 ? 4 cos 2 B ? 2 cos B ? 1 1 5 ? 4(cos B ? ) 2 ? 4 4 易得所求取值范围为( 2 ? 1,3 ? 2)

12 分

17.解: (Ⅰ)当空气质量为一级时,对应的 PM2.5 浓度落在 ?0,50? 中,其频率 P 1 =0.003 ? 50=0.15 , 当空气质量为二级时,对应的 PM2.5 浓度落在 ? 50,100? 中,其频率 P 2 =0.006 ? 50=0.30 ,故由样本 数据频率分布直方图估算该市居民每天可正常进行户外运动的概率 P 1 +P 2 =0.45 (Ⅱ)空气质量为“重度污染”和“严重污染”即 PM2.5 浓度落在 ? 200,500? 的频率为
·8 ·

0.002 ? 50+0.001? 50+4 ? 0.00025 ? 50=0.20 ,则由题设知在未来每一天中出现雾霾天气的概率 5 1 1 7 P =0.20 ? = . ? P(? =k )=C3k ? ( ) k ? ( )3? k ? k ? 0,1, 2,3? . 8 8 8 8
随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

21 512 1 3 1 7 21 . 显然 ? 服从二项分布,??的期望E? =3 ? = .方差D? =3 ? ? = 8 2 8 8 64

343 512

147 512

1 512

18.解: (Ⅰ) 证明: ①

平面PAB ? 平面ABCD且相交于直线AB,

而AD ? 平面ABCD, AD ? AB ? AD ? 平面PAB, 又PB ? 平面PAB ? PB ? AD, 又PB ? PD ,AD ? PB ? 平面PAD. 故平面PAD ? 平面PBC
② 取PB中点T , 连接RT、ST ,

PD ? D .
4分

PB ? 平面PBC ,

RT / / PA, ST / / BC.

且PB ? PA, PB ? BC. ? PB ? RT , PB ? ST .
又RT ST =T , 则PB ? 平面RST . 又PB ? 平面PAD, ? 平面RST / / 平面PAD. 且RS ? 平面RST , 故RS / / 平面PAD.
(Ⅱ) 8分

CD ? 平面PDQ,? PQ ? CD.

又PQ ? AD, CD

AD ? D,? PQ ? 平面ABCD.

又DQ, CQ在平面ABCD内,? PQ ? DQ且PQ ? CQ 则?CQD是二面角C ? PQ ? D的一个平面角.

·9 ·

设PA ? a, PB ? b. 由题设知, PD 2 ? a 2 ? 1, PC 2 ? b 2 ? 4, CD 2 ? 5. 又PC 2 ? PD 2 ? CD 2 , 1 3 ? a 2 ? 2 ? b 2 且a 2 ? b 2 ? 4, 得a ? 1, b ? 3, 从而AQ ? , BQ ? . 2 2 5 5 在Rt ?CDQ中,CQ ? , DQ ? . 2 2 DQ 5 cos ?CQD ? ? CQ 5 即二面角C ? PQ ? D的余弦值为 5 . 5
12 分

19.解: (Ⅰ) 设等比数列 {bn }的公比为q,由题设b3 ? ?4,

? b1 ? ?

4 4 , b2 ? ? . 2 q q

4 4 2 x ? x ? 4 ? ?( x ? 1) 2 ? 3 2 q q q 7 1 ? f ( x)在R上的最大值为 ? 3,即a6 ? ? ?3,? a6 ? . 2 2 则f ( x) ? ?
(Ⅱ)

4分

d ? 0且f (a2 ? a8 ) ? f (a3 ? a11 ),? f ( x)图象的对称轴方程为
(a3 ? a11 ) ? (a2 ? a8 ) 2a7 ? 2a5 ? ? 2a6 ? 1. 2 2 2 由此得 ? ?1,即q ? ?2. q x?

? 等比数列{bn }的通项公式bn ? b3q n ?3 ? ?(?2) n ?1 ? n ? N * ?
(Ⅲ) 当公差d ? 0时, an ? a6 ?

8分

1 n ?5 , 此时Tn ? ? 4(n ? 5). 2 a6 a6

n ? 6,?Tn的最小值为T6 =4,不合题设.
当d ? 0时, Tn ? 1 a7 ? a6 a8 ? a7 ( ? ? d a6 a7 a7 a8 ? an?1 ? an ) an an?1

·10·

? ?

1 1 1 1 1 ( ? ? ? ? d a6 a7 a7 a8

?

1 1 ? ) an an ?1 ( n ? 6, n ? N ? )

1 1 1 1 1 ( ? ) ? (2 ? ) 1 d a6 an ?1 d ? (n ? 5)d 2 易知Tn是关于n的增函数, ?Tn的最小值为T6 ?

4 1 ? 2, 得d ? . 1 ? 2d 2 1 ?综上,满足题设条件的公差d ? . 2
20. 解: (Ⅰ) 设R( x, y), F 1 (?c,0), F2 (c,0).

12 分

由题设 RF1 ? RF2 ? 4c,? F1F2 ? 2c ? 4c. 则由椭圆的定义可知点R的轨迹是以F1、F2为焦点, 4c为长轴长的椭圆. 故圆锥曲线E为椭圆,其标准方程为 x2 y2 ? ? 1. 4c 2 3c 2

3 曲线E经过点P(1, )代入解得c ? 1. 2 x2 y 2 故满足条件的曲线E的标准方程为 ? ? 1. 4 3
(Ⅱ) 设P(m, n), B( x0 , y0 ),

4分

A, P两点关于原点对称, ? A(?m, ?n). 且
2 2 2 x0 2 y0 2 x0 2? m 2 y0 ? n 2 y0 ? n m2 n2 3 ? ? 1, ? ? 1. ? ? ? 0, 即 =. 2 2 2 2 2 2 2 2 4c 3c 4c 3c 4c 3c x0 ? m 4

又k1 ?

y0 ? n y ?n y 2 ? n2 3 , k2 ? 0 ,? k1k2 ? 02 ?? 2 x0 ? m x0 ? m x0 ? m 4
n n m2 n 2 , k3 ? , 2 ? 2 ? 1, 2m m 4c 3c

8分

(Ⅲ)由已知可设P(m, n),? A(?m, n)且k2 ?

·11·

由Ⅱ ( )知k1 ? ? 又

3m . 2n

存在? ? R使 AD ? ? BD,? A、B、D三点共线,

? AB所在直线方程为y ?

n ( x ? m), 2m 4c 2 4c 2 n(4c 2 ? m 2 ) 易得直线AB与直线l : x ? 的交点M 的坐标为( , ), m m 2m 2 n(4c 2 ? m 2 ) n? n(3m 2 ? 4c 2 ) 2n 2 ? 3m 2 2m 2 则k4 ? ? ? . 4c 2 2 m(m 2 ? 4c 2 ) 4mn m? m n 3m 2n 2 ? 3m 2 而k1 ? k3 ? ? ? , m 2n 2mn
13 分

? k1 ? k3 ? 2k4 , 故存在? =2使k1 ? k3 ? ? k4 .

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ? 2ax 2 ? x ? 0?. x

当a ? 0时,f ? (x ) ? 在 0 (?? 0 , 上恒成立 ) ? f (x ) 在 (0 ?? , 上递增 ) . 1 2a 1 设f ?( x )? 0 ?x? 2a 1 1 ? f ( x)在(0, )上递增,在( , ??)上递减. 2a 2a 当a ? 0时 ,设f ? x ( ? ) ? 0 ?0x ?
综上,当a ? 0时,f ( x)的单调递增区间为(0, ??), 当a ? 0时,f ( x)的单调递增区间为(0, f ( x)的单调递减区间为( 1 ) 2a
4分

1 , ??). 2a

Ⅰ )知当a ? 0时, f ( x)在[1,3]上递增, 不合题意,? a ? 0. (Ⅱ)①由(
·12·

由题设, f (? ) ? f ( ? ) ? ln ? ? a? 2 = ln ? ? a? 2 ? ln ? ? ln ? ? a(? +? ) ? 0 ? ln ? ? ln(? ? 1) ? a(2? +1) ? 0 设h( x) ? ln x ? ln( x ? 1) ? a(2 x ? 1) ? h?( x) ? 1 1 ? ? 2ax x x ?1 1 ? ? 2ax ? 0在(1, 2)上恒成立 x( x ? 1) (?) x ? [1, 2]

? h( x)在[1, 2]上递增. 由(?)式知? 是函数h( x)在[1, 2]上的零点,其充要条件为 ? h(1) ? 0 ? ? ln 2 ? 3a ? 0 1 3 1 ?? ? ln ? a ? ln 2 ? 5 2 3 ?h(2) ? 0 ?ln 2 ? ln 3 ? 5a ? 0 1 3 1 故a的取值范围为[ ln , ln 2]. 5 2 3
Ⅰ )知, f ( x)在(0, ②由( 1 1 )上递增, 在( , ??)上递减. 2a 2a
9分

又f (? ) ? f ( ? ),?? 与? 不可能同在一个单调区间. 不妨设? ? (0, ? 要证? ? ? ? 1 1 2 1 ), ? ? ( , ??), 则 ?? ?( , ??). a 2a 2a 2a 2 2 2 , 只须证? ? ? ? , 即证f ( ? ) ? f ( ? ? ). a a a 2 2 1 ? x) ? ln x ? ln( ? x) ? 2 ? 2 2ax(0 ? x ? ) a a 2a
2 2a ( x ?

构造函数g ( x) ? f ( x) ? f (

1 2 ) 1 1 1 2 a g ?( x) ? ? ? 2 2a ? ? 0在(0, )上恒成立. x 2 2 2a ?x x( ? x) a a 1 1 ? g ( x)在(0, ]上递增, 则g ( x) ? g ( ) ? 0. 2a 2a 0 ?? ? 1 2 ,? g (? ) ? 0, 即f (? ) ? f ( ??) ? 0 a 2a 2 ? ? ), a
14 分
·13·

则f ( ? ) ? f (? ) ? f ( ?? ?

2 2 ? ? , 故 ? +? ? . a a


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