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3.1.2瞬时速度与瞬时加速度


复习回顾: 复习回顾:
设曲线C是函数y=f(x) y=f(x)的图 设曲线C 是函数y=f(x)的图 1. 曲线上一点处的切线斜率: 曲线上一点处的切线斜率: 象 , 在 曲 线 C 上 取 一 点 P(x,y) 及 邻 近 的 一 点 Q(x +?x, x)) 过 、 两点作割线 则割线 f(x+ ?x)), P、Q两点作割线,,则割线 的斜率为 两点作割线, 则割

线PQ的斜率为 f (x0 + ?x) ? f (x0 ) k PQ = 。当 ? x→0时 , 动点 将沿曲线 → 时 动点Q将沿曲线 ?x 趋向于定点P,从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线 趋向于定点 , 从而割线 也将随之变动而趋向于切线 的斜率趋向于切线PT的斜率 PT。此时割线 的斜率趋向于切线 的斜率 。此时割线PQ的斜率趋向于切线 的斜率, 当△x→0时,割线 的斜率 时 割线PQ的斜率 的极限,就是曲线在点P处的 的极限,就是曲线在点 处的 切线的斜率, 切线的斜率,即
y f(x0+?x) Q Q f(x0) O P )) )α ) ? x0
M

y=f(x) Q

T

f ( x + ?x) ? f ( x) k = lim ?x→0 ?x

x0+?x

x

练习:曲线的方程为 求曲线在点P(1,2) 练习:曲线的方程为y=x2+1 ,求曲线在点 处的切线方程。 处的切线方程。 曲线在点P(1,2) 解:曲线在点 处的切线斜率为: 处的切线斜率为:
f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) k = lim ?x →0 ?x (1 + ?x) 2 + 1 ? (1 + 1) = lim ?x → 0 ?x 2?x + (?x) 2 = lim ?x → 0 ?x =2
8 6 4 2


2

P(1,2)

-2 O

因此,点 切线的方程为y-2=2(x-1) 即 y=2x 因此 点p(1,2)切线的方程为 切线的方程为

问题情境1: 问题情境 : 平均速度: 平均速度:物体的运动位移与所用时间 的比称为平均速度。 的比称为平均速度。 平均速度反映物体在某一段时间段内 运动的快慢程度。 运动的快慢程度。那么如何刻画物体 在某一时刻运动的快慢程度? 在某一时刻运动的快慢程度?

3.1.2瞬时速度与瞬时 瞬时速度与瞬时 加速度

问题情境2: 问题情境 :
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 高跳台腾空到入水的过程 跳水运动员从 不同时刻的速度是不同的。假设t 中,不同时刻的速度是不同的。假设 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 员相对于水面的高度为 试 确定t=2s时运动员的速度。 时运动员的速度。 确定 时运动员的速度 (1)计算运动员在 到2.1s(t∈[2,2.1])内的 计算运动员在2s到 计算运动员在 ∈ 内的 平均速度。 平均速度。
H ( 2.1) ? H ( 2) v= = 13.59( m / s ) 2 .1 ? 2
(2)计算运动员在 到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t]) 计算运动员在2s到 ⊿ ∈ ⊿

内的平均速度。 内的平均速度。

时间区间 [2, [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] 当△t→0时, 时

△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

平均速度 -13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049

v → ?13.1

该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。 该常数可作为运动员在 时的瞬时速度。 时的瞬时速度 即t=2s时,高度对于时间的瞬时变化率。 时 高度对于时间的瞬时变化率。

构建数学: 瞬时速度) 构建数学: 瞬时速度) (
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 。 设物体作直线运动所经过的路程为 为起始时刻,物体在? 时间内的平均速度为 以t0为起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

?s f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) ?v = = 。 ?t ?t
?v 可作为物体在 0时刻的速度的近似值,? t 越小, 可作为物体在t 时刻的速度的近似值, 越小, ?s 近似的程度就越好。所以当? → 时 近似的程度就越好。所以当?t→0时,极限 lim ?t → 0 ?t 就是物体在t 时刻的瞬时速度, 就是物体在 0时刻的瞬时速度,即

v |t =t0

?s = lim ?t →0 ? t

f (t0 + ?t) ? f (t0 ) = lim 。 ?t →0 ?t

构建数学: 瞬时加速度) 构建数学: 瞬时加速度) (
设物体作直线运动的速度为v=f(t), 以 t0 为起始 , 设物体作直线运动的速度为 时刻,物体在? 时间内的平均加速度为 时刻,物体在?t时间内的平均加速度为

?v f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) a = 。 = ?t ?t

a

可作为物体在t 时刻的加速度的近似值, 越小, 可作为物体在t0时刻的加速度的近似值, t 越小, ?

近似的程度就越好。所以当? → 时 近似的程度就越好。所以当?t→0时,极限 就是物体在t 时刻的瞬时加速度, 就是物体在 0时刻的瞬时加速度,即

lim
?t → 0

?v ?t

a t =t0

?v = lim= ?t ?t →o

f (t0 + ?t) ? f (t0 ) = lim 。 ?t →0 ?t

例1:设一辆轿车在公路上做加速直线运动, :设一辆轿车在公路上做加速直线运动, 假设t 时的速度为 时的速度为v(t)=t2+3, 假设 s时的速度为 时轿车的加速度; (1)求t=3s时轿车的加速度; ) 时轿车的加速度 时轿车的加速度。 (2)求t=t0s时轿车的加速度。 ) 时轿车的加速度 练习P62 1、2、 练习 、 、


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