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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题45 导数的求法


第 45 讲:导数的求法
【考纲要求】 ① 能根据导数定义,求函数 y = C , y = x, y = x 2 , y = x 3 , y =

1 ,y = x

x 的导数

② 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 ,能 求简单的复合函数 [ 仅限于形如 f ( ax + b) ] 的导数 ●常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 :

【基础知识】 一、求导的方法 (1)利用常见八种函数的导数公式 ① C ′ = 0 (C 为常数) ④ (cos x )′ = ? sin x ⑦ ( a )′ = a ln a (2)利用导数的运算法则
x x

② ( x )′ = nx

n

n ?1

(n ∈ Q )
1 log a e x

③ (sin x )′ = cos x ⑥ (ln x )′ =

⑤ (log a x )′ = ⑧

1 x

(e x )′ = e x

二、求导时要注意求导方法的先后顺序。

【方法讲评】

例1

求函数 f(x)= ? x + x 在 x = ?1 附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.

2

解:

?y ? (?1 + ?x) 2 + (?1 + ?x) ? 2 = = 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 + ?x)2 + (?1 + ?x) ? 2 = = lim (3 ? ?x ) = 3 ?x → 0 ?x ?x → 0 ?x

f ′(?1) = lim

方法二 解题方法 例2 求函数 f ( x) =

利用八种初等函数的导数公式解答 直接利用八种初等函数的导数公式解答。

1 的导数. x
1 ? 1 1 1 ? 1 ?1 1 ?3 ) = ( x 2 )1 = ? x 2 = ? x 2 2 2 x

解:由题得f 1 ( x) = (

【方法点评】在使用 ( x n )′ = nx n ?1 (n ∈ Q ) 时,要注意函数的形式,如果是 (3 x) n 就不能利用该 公式了,因为它的底数是 3x ,不是 x ,是复合函数,不是初等函数。 【变式演练 2】求函数 f ( x) = cos 4

x x ? sin 4 的导数. 2 2

方法三

利用导数的四种运算法则解答

解题方法

直接套导数的四种运算法则。

f ′( x ) 。
方法四 利用复合函数的求导公式解答 函数 u = ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x′ = ? ′( x ) , 函数 y = f (u ) 在点 x 处的对应 解题方法 点 u 处有导数 yu′ = f ′(u ) ,则复合函数 y = f (? ( x )) 在点 x 处有导数,且

′ ′ ′ ′ ′ y′ x = yu ? u x ,或写作 f x (? ( x )) = f (u )? ( x )

例 4 已知 y = 1 ? x 2 ,求 y ′ .

【高考精选传真】
x 1.【2012 高考真题陕西理 7】设函数 f ( x) = xe ,则(



A. x = 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x = ?1 为 f ( x ) 的极大值点

B. x = 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x = ?1 为 f ( x ) 的极小值点

[学

2.【2012 高考真题辽宁理 12】若 x ∈ [0, +∞) ,则下列不等式恒成立的是 (A) e x?1 + x + x 2 (C) cos x?1 ?

(B)

1 1 1 < 1 ? x + x2 2 4 1+ x
1 2 x 8

1 2 x 2

(D) ln(1 + x)?x ?

【反馈训练】 1、下列结论不正确的是( A.若 y = 3 ,则 y ′ = 0

) B.若 y = 3 x ,则 y ′ |x =1 = 3

C.若 y = ? x ,则 y ′ = ?

1 2 x

D.若 y =

3 3 ,则 y ′ = ? x 2 x
)

2、若 f ′( x0 ) = 2 ,则 lim
k →0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =( 2k
D.2

A.0 B. 1 C. —1 3、 求下列函数的导数.

4、求下列函数的导数.

5、已知函数 f ( x ) =

2x ? b ,求导函数 f ′( x ) ,并确定 f ( x ) 的单调区间. ( x ? 1) 2

【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】 在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率就是 f (2) 和 f (6) 根据导数定义,
' '

f (2 + ?x) ? f ( x0 ) ?f = ?x ?x

=

(2 + ?x)2 ? 7(2 + ?x) + 15 ? (22 ? 7 × 2 + 15) = ?x ? 3 ?x
?f = lim (?x ? 3) = ?3 ? x → 0 ?x ?x → 0

所以 f ′(2) = lim

同理可得: f ′(6) = 5

【变式演练 3 详细解析】

f ′( x) = ( xe x ln x)′ = ( x)′e x ln x + x(e x )′ ln x + xe x (ln x)′
= e x ln x + xe x ln x + xe x ? 1 x

= e x (1 + ln x + x ln x) 。
【变式演练 4 详细解析】

x1 (sin 2 x) ? x(sin 2 x)1 (sin 2 x) ? x(sin 2 x)1 = x2 x2 设u = 2 x v = sin u ∴ u1 = 2 v1 = cos u = cos 2 x f 1 ( x) =
∴ (sin 2 x)1 = 2 cos 2 x (sin 2 x) ? xi2 cos 2 x (sin 2 x) ? xi2 cos 2 x ∴ f 1 ( x) = = x2 x2 sin 2 x ? 2 x cos 2 x = x2
【反馈训练详细解析】

5、 f ′( x) =

2( x ? 1) 2 ? ( 2 x ? b) ? 2( x ? 1) ?2 x + 2b ? 2 2[ x ? (b ? 1)] . = =? 4 3 ( x ? 1) ( x ? 1) ( x ? 1)3

令 f ′( x ) = 0 ,得 x = b ? 1 . 当 b ? 1 < 1 ,即 b < 2 时, f ′( x ) 的变化情况如下表:

x

(?∞,b ? 1)

b ?1

(b ? 11) ,

(1, + ∞)

f ′( x )

?

0

+

?

当 b ? 1 > 1 ,即 b > 2 时, f ′( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′( x )

( ?∞, 1)

(1,b ? 1)

b ?1
0

(b ? 1, + ∞)

?

+

?



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