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07--第七章 直线和圆的方程


十年高考分类解析与应试策略数学

第七章

直线和圆的方程

●考点阐释 解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科. 在建立坐标系后, 平面上的点 与有序实数对之间建立起对应关系,从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系; 使平面图形的某些性质(形状、位置、大小)可以用相应的数、式表示出来;使平面上某些 几

何问题可以转化为相应的代数问题来研究. 学习解析几何,要特别重视以下几方面: (1)熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用; (2)与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用. ●试题类编 一、选择题 1.(2003 北京春文 12,理 10)已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三 条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( ) A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2.(2003 北京春理,12)在直角坐标系 xOy 中,已知△AOB 三边所在直线的方程分别 为 x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB 内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数 是( ) A.95 B.91 C.88 D.75 3.(2002 京皖春文,8)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( ) A.x-y=0 B.x+y=0 C.|x|-y=0 D.|x|-|y|=0 4.(2002 京皖春理,8)圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ +y-1=0(θ ∈R,θ ≠

? 2

+kπ ,

k∈Z)的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 5.(2002 全国文)若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值为( A.1,-1 B.2,-2 C.1 D.-1 6.(2002 全国理)圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y=



3 x 的距离是( 3
D.



A.

1 2

B.

3 2

C.1

3

7.(2002 北京,2)在平面直角坐标系中,已知两点 A(cos80°,sin80°),B(cos20°, sin20°) ,则|AB|的值是( ) A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

8.(2002 北京文,6)若直线 l:y=kx ? 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( A. [ ) B. (

3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,

? ?

, ) 6 3 , ) 3 2

? ?

, ) 6 2

C. (

? ?

D. [

? ?

, ] 6 2
2 2

5 x2 y2 y2 2 9.(2002 北京理,6)给定四条曲线:①x +y = ,② =1,③x + =1, ? 2 4 9 4


x2 2 +y =1.其中与直线 x+y- 5 =0 仅有一个交点的曲线是( 4



A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 10.(2001 全国文,2)过点 A(1,-1) 、B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的 圆的方程是( ) 2 A.(x-3) +(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 11.(2001 上海春,14)若直线 x=1 的倾斜角为α ,则α ( ) A.等于 0 B.等于

? 4

C.等于

? 2

D.不存在

12.(2001 天津理,6)设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2 且|PA|=|PB|,若直 线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( ) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 13.(2001 京皖春,6)设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点.以 OP 为直角边,点 O 为直角顶点作等腰 Rt△OPQ,则动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线 14.(2000 京皖春,4)下列方程的曲线关于 x=y 对称的是( ) 2 2 2 2 A.x -x+y =1 B.x y+xy =1 C.x-y=1 D.x2-y2=1 15.(2000 京皖春,6)直线(

3 ? 2 )x+y=3 和直线 x+( 2 ? 3 )y=2 的位置关

系是( ) A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合 16.(2000 全国,10)过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切,若切点在第三象限, 则该直线的方程是( ) A.y=

3x

B.y=-

3x

C.y=

3 x 3

D.y=-

3 x 3

17.(2000 全国文,8)已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条 直线的夹角在(0,

? )内变动时,a 的取值范围是( 12
B.(



A.(0,1)

3 , 3) 3

C.(

3 ,1)∪(1, 3 ) 3

D.(1,

3)


18.(1999 全国文,6)曲线 x2+y2+2 A.直线 x=

2 x-2 2 y=0 关于(
B.直线 y=-x 轴对称 D.点(-

2 轴对称 2 )中心对称

C.点(-2,

2 ,0)中心对称

19.(1999 上海,13)直线 y= (x-2)2+y2=3 的位置关系是( A.直线过圆心 C.直线与圆相切 20. (1999 全国, 直线 9)

3 x 绕原点按逆时针方向旋转 30°后所得直线与圆 3
) B.直线与圆相交,但不过圆心 D.直线与圆没有公共点 )

( 3 x+y-2 3 =0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

21.(1998 全国,4)两条直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 ( ) A.A1A2+B1B2=0 B.A1A2-B1B2=0 C.

A1 A2 ? ?1 B1 B2

D.

B1 B2 =1 A1 A2

22.(1998 上海)设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx-sinB?y+sinC=0 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 23.(1998 全国文,3)已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么 a 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 24. (1997 全国, 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行, 2) 那么系数 a 等于 ( )

A.-3

B.-6

C.-

3 2

D.

2 3

25.(1997 全国文,9)如果直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且不通过第四象限,那 么直线 l 的斜率的取值范围是( ) A.[0,2] B.[0,1] C.[0,

1 ] 2

D.[0,

1 ) 2

26.(1995 上海,8)下列四个命题中的真命题是( ) A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2 、P ? -x1)=(x-x1) 2-y1)表示 (y C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b

D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 27.(1995 全国文,8)圆 x2+y2-2x=0 和 x2+y2+4y=0 的位置关系是( ) A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 28.(1995 全国,5)图 7—1 中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、 k2、k3,则( ) A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 29.(1994 全国文,3)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是( ) A.

5 2
3 2

B.

5
5 2

图 7—1

C.

D.

二、填空题 30.(2003 上海春,2)直线 y=1 与直线 y=

3 x+3 的夹角为_____.

31.(2003 上海春,7)若经过两点 A(-1,0) 、B(0,2)的直线 l 与圆(x-1)2+ (y-a)2=1 相切,则 a=_____. 32.(2002 北京文,16)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离 的最小值为 . 33.(2002 北京理,16)已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x -2y+1=0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值为 . 34.(2002 上海文,6)已知圆 x2+(y-1)2=1 的圆外一点 P(-2,0) ,过点 P 作圆 的切线,则两条切线夹角的正切值是 . 35.(2002 上海理,6)已知圆(x+1)2+y2=1 和圆外一点 P(0,2) ,过点 P 作圆的 切线,则两条切线夹角的正切值是 . 36.(2002 上海春,8)设曲线 C1 和 C2 的方程分别为 F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0,

则点 P(a,b)?C1∩C2 的一个充分条件为 . 2 2 37.(2001 上海,11)已知两个圆:x +y =1①与 x2+(y-3)2=1②,则由①式减去 ②式可得上述两圆的对称轴方程. 将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广, 即要求得到 一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例.推广的命题为: 38. (2001 上海春, 圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点 6) (1, 的圆的方程为 0) . 2 2 2 2 39.(2000 上海春,11)集合 A={ (x,y)|x +y =4} ,B={ (x,y)|(x-3) +(y-4) 2 =r } ,其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是_____. 40.(1997 上海)设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1) ,则直线 AB 的方程 是 . 41.(1994 上海)以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . 三、解答题 42.(2003 京春文,20)设 A(-c,0) ,B(c,0) (c>0)为两定点,动点 P 到 A 点的 距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a>0) ,求 P 点的轨迹. 43.(2003 京春理,22)已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (Ⅱ)设过点 P,且斜率为-

3 的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点.

(i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 44.(2002 全国文,21)已知点 P 到两个定点 M(-1,0) 、N(1,0)距离的比为

2,

点 N 到直线 PM 的距离为 1.求直线 PN 的方程. 45.(1997 全国文,25)已知圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3∶1;③圆心到直线 l:x-2y=0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

46.(1997 全国理,25)设圆满足: (1)截 y 轴所得弦长为 2; (2)被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1. 在满足条件(1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程. 、 47. 1997 全国文, ( 24) 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、 两点, B 分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一条直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 48. 1994 上海, ( 25) 在直角坐标系中, 设矩形 OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为 O (0, 0) ,P(1,t) ,Q(1-2t,2+t) ,R(-2t,2) ,其中 t∈(0,+∞). (1)求矩形 OPQR 在第一象限部分的面积 S(t). (2)确定函数 S(t)的单调区间,并加以证明. 49.(1994 全国文,24)已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1,动点 M 到 圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ (λ >0).求动点 M 的轨迹方程,说明它表示什么曲线. ●答案解析 1.答案:B 解析:圆心坐标为(0,0) ,半径为 1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得:

d=

|c| a ?b
2 2

=1,即 a2+b2=c2.所以,以|a|,|b|,|c|为边的三角形是直角三角形.

评述:要求利用直线与圆的基本知识,迅速找到 a、b、c 之间的关系,以确定三角形形 状. 2.答案:B 解析一:由 y=10-

2 2 x(0≤x≤15,x∈N)转化为求满足不等式 y≤10- x(0≤x≤ 3 3

15,x∈N)所有整数 y 的值.然后再求其总数.令 x=0,y 有 11 个整数,x=1,y 有 10 个,x=2 或 x=3 时,y 分别有 9 个,x=4 时,y 有 8 个,x=5 或 6 时,y 分别有 7 个,类推:x=13 时 y 有 2 个,x=14 或 15 时,y 分别有 1 个,共 91 个整点.故选 B. 解析二: x=0, 和 2x+3y=30 所围成的三角形补成一个矩形. 将 y=0 如图 7—2 所示. 对角线上共有 6 个整点,矩形中(包括边界)共有 16?11=176. 因此所求△AOB 内部和边上的整点共有

176 ? 6 =91(个) 2

图 7—2

评述:本题较好地考查了考生的数学素质,尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑, 通过不等式解等知识探索解题途径. 3.答案:D 解析:设到坐标轴距离相等的点为(x,y) ∴|x|=|y| ∴|x|-|y|=0 4.答案:C 解析:圆 2x2+2y2=1 的圆心为原点(0,0)半径 r 为

2 ,圆心到直线 xsinθ +y-1 2

=0 的距离为: d

?

|1| sin 2 ? ? 1

?

1 sin 2 ? ? 1

∵θ ∈R,θ ≠

? 2

+kπ ,k∈Z

∴0≤sin2θ <1 ∴d>

2 2

∴d>r

∴圆 2x2+2y2=1 与直线 xsinθ +y-1=0(θ ∈R,θ ≠

? 2

+kπ ,k∈Z)的位置关系

是相离. 5.答案:D 解析:将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式: (x-1)2+y2=1 ∴其圆心为(1,0) ,半径为 1,若直线(1+a)x+y+1=0 与该圆相切,则圆心到直 线的距离 d 等于圆的半径 r



|1 ? a ? 1| (1 ? a ) 2 ? 1

? 1 ∴a=-1

6.答案:A 解析:先解得圆心的坐标(1,0) ,再依据点到直线距离的公式求得 A 答案. 7.答案:D 解析:如图 7—3 所示,∠AOB=60°,又|OA|=|OB|=1 ∴|AB|=1 8.答案:B 方法一:求出交点坐标,再由交点在第一象限求得倾斜角的范围

? 3(2 ? 3 ) ?x ? ? y ? kx ? 3 ? 2 ? 3k ?? ? ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? y ? 6 k ? 2 3 ? 2 ? 3k ?
?x ? 0 ?y ? 0

图 7—3

∵交点在第一象限,∴ ?

? 3( 2 ? 3 ) ?0 ? ? 2 ? 3k ∴? ? 6k ? 2 3 ? 0 ? 2 ? 3k ?

∴k∈(

3 ,+∞) 3

∴倾斜角范围为(

? ?

, ) 6 2

方法二:如图 7—4,直线 2x+3y-6=0 过点 A(3,0) ,B(0,2) , 直线 l 必过点(0,- ,当直线过 A 点时,两直线的交点在 x 轴, 3)

当直线 l 绕 C 点逆时针旋转时,交点进入第一象限,从而得出结果. 评述:解法一利用曲线与方程的思想,利用点在象限的特征求得, 而解法二利用数形结合的思想,结合平面几何中角的求法,可迅速、 图 7—4 准确求得结果. 9.答案:D 解析:联立方程组,依次考查判别式,确定 D. 10.答案:C 解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A、C 满足条件,再把 A 点坐标(1,-1) 代入圆方程.A 不满足条件. ∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a. 由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4 评述:本题考查圆的方程的概念,解法一在解选择题中有广泛的应用,应引起重视. 11.答案:C 解析:直线 x=1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 12.答案:A 解析:由已知得点 A(-1,0) 、P(2,3) 、B(5,0) ,可得直线 PB 的方程是 x+y-5=0.

评述:本题考查直线方程的概念及直线的几何特征. 13.答案:B 解析一:设 P=1+bi,则 Q=P(±i) , ∴Q=(1+bi) (±i)=±b ? i,∴y=±1 解析二:设 P、Q 点坐标分别为(1,t)(x,y) , , ∵OP⊥OQ,∴ ?

t 1

y =-1,得 x+ty=0 x



∵|OP|=|OQ|,∴

1 ? t 2 ? x 2 ? y 2 ,得 x2+y2=t2+1



由①得 t=-

x 1 x2 ,将其代入②,得 x2+y2= 2 +1, 2+y2) (x (1- 2 )=0. y y y
1 =0,得 y=±1. y2

∵x2+y2≠0,∴1-

∴动点 Q 的轨迹为 y=±1,为两条平行线. 评述:本题考查动点轨迹的基本求法. 14.答案:B 解析:∵点(x,y)关于 x=y 对称的点为(y,x),可知 x2y+xy2=1 的曲线关于 x=y 对称. 15.答案:B 解析:直线( 斜率 k2=

3 ? 2 )x+y=3 的斜率 k1= 2 ? 3 ,直线 x+( 2 ? 3 )y=2 的

3 ? 2 ,∴k1?k2= ( 2 ? 3)( 3 ? 2 ) =-1.

16.答案:C 解析一:圆 x2+y2+4x+3=0 化为标准式(x+2)2+y2=1,圆心 C(-2,0) .设过原 点的直线方程为 y=kx,即 kx-y=0. 由

| ?2k | k 2 ?1

=1,解得 k=±

3 ,∵切点在第三象限, 3 3 x. 3

∴k>0,所求直线方程为 y=

解析二: T 为切点, 设 因为圆心 C (-2, , 0) 因此 CT=1, OC=2, △OCT 为 Rt△.如图 7—5,∴∠COT=30°,∴直线 OT 的方程为 y=

3 x. 3
图 7—5

评述: 本题考查直线与圆的位置关系, 解法二利用数与形的完美 结合,可迅速、准确得到结果. 17.答案:C 解析: 直线 l1 的倾斜角为

? 4

, 依题意 l2 的倾斜角的取值范围为 (

? 4



? ? , 12 4

)( ∪

? 4



? ? ? ? + ) ( , 即: 4 12 6 4

)( ∪

? ? 3 , ) ,从而 l2 的斜率 k2 的取值范围为: ( , ∪ 1) (1, 3 ) . 4 3 3

评述:本题考查直线的斜率和倾斜角,两直线的夹角的概念,以及分析问题、解决问题 的能力. 18.答案:B 解析:由方程(x+

2 )2+(y- 2 )2=4

如图 7—6 所示,故圆关于 y=-x 对称 故选 B. 评述:本题考查了圆方程,以及数形结合思想.应注意任何一条直 径都是圆的对称轴. 19.答案:C 解析:直线 y=

图 7—6

3 x 绕原点逆时针旋转 30°所得的直线方程为:y= 3 x.已知圆的圆心 3

(2,0)到 y=

3 x 的距离 d= 3 ,又因圆的半径 r= 3 ,故直线 y= 3 x 与已知圆相切.

评述:本题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系. 20.答案:C 解析:如图 7—7 所示, 由?

? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ?x 2 ? y 2 ? 4 ?
图 7—7

消 y 得:x2-3x+2=0 ∴x1=2,x2=1 ∴A(2,0) ,B(1, ∴|AB|=

3)

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3 ) 2 =2

又|OB|=|OA|=2 ∴△AOB 是等边三角形,∴∠AOB=

? 3

,故选 C.

评述: 本题考查直线与圆相交的基本知识, 及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形 结合思想, 同时也体现了数形结合思想的简捷性.如果注意到直线 AB 的倾斜角为 120°.则等 腰△OAB 的底角为 60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义. 21.答案:A 解法一:当两直线的斜率都存在时,-

A1 A ? ? 2 )=-1,A1A2+B1B2=0. ( B1 B2
? A1 ? 0 ? A2 ? 0 或? , ? B2 ? 0 ? B1 ? 0

当一直线的斜率不存在,一直线的斜率为 0 时, ?

同样适合 A1A2+B1B2=0,故选 A. 解法二:取特例验证排除. 如直线 x+y=0 与 x-y=0 垂直,A1A2=1,B1B2=-1,可排除 B、D. 直线 x=1 与 y=1 垂直,A1A2=0,B1B2=0,可排除 C,故选 A. 评述:本题重点考查两直线垂直的判定、直线方程的一般式等基本知识点,重点考查分 类讨论的思想及逻辑思维能力. 22.答案:C 解析:由题意知 a≠0,sinB≠0,两直线的斜率分别是 k1=-

sin A b ,k2= . a sin B

由正弦定理知 k1?k2=-

sin A b ? =-1,故两直线垂直. a sin B

评述:本题考查两直线垂直的条件及正弦定理. 23.答案:C 解析:方程(x-1)2+y2=4 表示以点(1,0)为圆心,2 为半径的圆,x=a 表示与 x 轴垂 直且与圆相切的直线,而此时的切线方程分别为 x=-1 和 x=3,由于 a>0,取 a=3.故选 C. 评述:本题考查圆的方程、圆的切线方程及图象.利用数形结合较快完成此题. 24.答案:B 解析一:若两直线平行,则

a 2 2 ? ? , 3 ?1 ? 2

解得 a=-6,故选 B. 解析二:利用代入法检验,也可判断 B 正确. 评述:本题重点考查两条直线平行的条件,考查计算能力. 25.答案:A 解析:圆的标准方程为: (x-1)2+(y-2)2=5.圆过坐标原点. 直线 l 将圆平分,也就是直线 l 过圆心 C(1,2) ,从图 7—8 看到: 当直线过圆心与 x 轴平行时, 或者直线同时过圆心与坐标原点时都不 通过第四象限, 并且当直线 l 在这两条直线之间变化时都不通过第四 象限. 图 7—8 当直线 l 过圆心与 x 轴平行时,k=0, 当直线 l 过圆心与原点时,k=2. ∴当 k∈[0,2]时,满足题意. 评述:本题考查圆的方程,直线的斜率以及逻辑推理能力,数形结合的思想方法. 26.答案:B 解析:A 中过点 P0(x0,y0)与 x 轴垂直的直线 x=x0 不能用 y-y0=k(x-x0)表示,因 为其斜率 k 不存在;C 中不过原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y=b(b≠0)或 x=a(a≠0) 不能用方程

x y ? =1 表示;D 中过 A(0,b)的直线 x=0 不能用方程 y=kx+b 表示. a b

评述:本题考查直线方程的知识,应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 27.答案:C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y-2)2=4,两圆圆心分别为

O1(1,0) 2(0,2) 1=1,r2=2,|O1O2|= ,O ,r

12 ? 22 ? 5 ,又

1=r2-r1<

5 <r1

+r2=3,故两圆相交,所以应选 C. 评述:本题考查了圆的一般方程、标准方程及圆的关系以及配方法. 28.答案:D 解析:直线 l1 的倾斜角α 1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角α 2、α 3 均为锐角, 且α 2>α 3,所以 k2>k3>0,因此 k2>k3>k1,故应选 D. 评述:本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系,考查数形结合的能力. 29.答案:B 解析:直线方程可化为 2x-y=0,d=

| ?5 | ? 5. 5

评述: 本题重点考查直线方程的一般式及点到直线的距离公式等基本知识点, 考查运算 能力. 30.答案:60° 解析: 因为直线 y= 而 所以 y=1 与 y= 3 x+3 3 x+3 的倾斜角为 60°, y=1 与 x 轴平行,

的夹角为 60°. 评述:考查直线方程的基本知识及几何知识,考查数形结合的数学思想. 31.答案:a=4±

5
| 2?a ? 2| =1,解得 a=4± 5 . 5

解析:因过 A(-1,0) 、B(0,2)的直线方程为:2x-y+2=0.圆的圆心坐标为 C(1, a) ,半径 r=1.又圆和直线相切,因此,有:d=

评述:本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识. 32.答案:2 解析:圆心到直线的距离 d=

|3? 4 ?8| =3 5

∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2 33.答案:2

2
3 x) 点坐标为(1,1) ,C , 4
图 7—9

解法一:∵点 P 在直线 3x+4y+8=0 上.如图 7—9. ∴设 P(x, ? 2 ? S 四边形 PACB=2S△PAC =2?

1 ?|AP|?|AC|=|AP|?|AC|=|AP| 2

∵|AP|2=|PC|2-|AC|2=|PC|2-1 ∴当|PC|最小时,|AP|最小,四边形 PACB 的面积最小.

∴|PC|2=(1-x)2+(1+2+

5 3 2 25 2 5 x ? x ? 10 ? ( x ? 1) 2 ? 9 x) = 4 16 2 4

∴|PC|min=3

∴四边形 PACB 面积的最小值为 2

2.

解法二:由法一知需求|PC|最小值,即求 C 到直线 3x+4y+8=0 的距离,∵C(1,1) , ∴|PC|=

|3? 4 ?8| =3,SPACD=2 2 . 5 4 3

34.答案:

解法一:圆的圆心为(0,1) 设切线的方程为 y=k(x+2).如图 7—10. ∴kx+2k-y=0 ∴圆心到直线的距离为

| 2k ? 1 | k ?1
2

=1

∴解得 k=

4 或 k=0, 3 4 . 3

图 7—10

∴两切线交角的正切值为

解法二:设两切线的交角为α

∵tan

?
2

?

1 2 ? 1 ? 4. ,∴tanα = ? 1 3 2 1 ? tan 2 1? 2 4

2 tan

?

35.答案:

4 3

解析:圆的圆心为(-1,0) ,如图 7—11. 当斜率存在时,设切线方程为 y=kx+2 ∴kx-y+2=0 ∴圆心到切线的距离为

图 7—11

| ?k ? 2 | k 2 ?1

=1 ∴k=

3 , 4

即 tanα =

3 4

当斜率不存在时,直线 x=0 是圆的切线 又∵两切线的夹角为∠α 的余角

∴两切线夹角的正切值为

4 3

36.答案:F1(a,b)≠0,或 F2(a,b)≠0,或 F1(a,b)≠0 且 F2(a,b)≠0 或 C1∩C2= ? 或 P ?C1 等 解析:点 P(a,b)?C1∩C2,则 可能点 P 不在曲线 C1 上; 可能点 P 不在曲线 C2 上; 可能点 P 既不在曲线 C1 上也不在曲线 C2 上; 可能曲线 C1 与曲线 C2 不存在交点. 37.答案:可得两圆对称轴的方程 2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0 解析:设圆方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ① (x-c)2+(y-d)2=r2 ② (a≠c 或 b≠d) ,则由①-②,得两圆的对称轴方程为: 2 (x-a) -(x-c)2+(y-b)2-(y-d)2=0, 即 2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0. 评述:本题考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念,考查抽象思维能力和推广数学命题 的能力. 38.答案: (x-1)2+(y-1)2=1 解析一:设所求圆心为(a,b) ,半径为 r. 由已知,得 a=b,r=|b|=|a|. ∴所求方程为(x-a)2+(y-a)2=a2 又知点(1,0)在所求圆上,∴有(1-a)2+a2=a2,∴a=b=r=1. 故所求圆的方程为: (x-1)2+(y-1)2=1. 解析二:因为直线 y=x 与 x 轴夹角为 45°. 又圆与 x 轴切于(1,0) ,因此圆心横坐标为 1,纵坐标为 1,r=1. 评述:本题考查圆的方程等基础知识,要注意利用几何图形的性质,迅速得到结果. 39.答案:3 或 7 解析:当两圆外切时,r=3,两圆内切时 r=7,所以 r 的值是 3 或 7. 评述:本题考查集合的知识和两圆的位置关系,要特别注意集合代表元素的意义. 40.答案:x+y-4=0 解析一:已知圆的方程为(x-2)2+y2=9,可知圆心 C 的坐标是(2,0) ,又知 AB 弦 的中点是 P(3,1) ,所以 kCP=

1? 0 =1,而 AB 垂直 CP,所以 kAB=-1.故直线 AB 的方程 3? 2

是 x+y-4=0. 解析二:设所求直线方程为 y-1=k(x-3).代入圆的方程,得关于 x 的二次方程:

6k 2 ? 2k ? 4 (1+k )x -(6k -2k+4)x+9k -6k-4=0,由韦达定理:x1+x2= =6,解 1? k 2
2 2 2 2

得 k=1. 解析三:设所求直线与圆交于 A、B 两点,其坐标分别为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 ① ②

?( x1 ? 2) 2 ? y1 2 ? 9 ? 有? ?( x2 ? 2) 2 ? y 2 2 ? 9 ?
②-①得(x2+x1-4) 2-x1)+(y2-y1) 2+y1)=0 (x (y 又 AB 的中点坐标为(3,1) ,∴x1+x2=6,y1+y2=2. ∴

y 2 ? y1 =-1,即 AB 的斜率为-1,故所求方程为 x+y-4=0. x2 ? x1

评述:本题考查直线的方程与圆的有关知识.要特别注意圆所特有的几何性质. 41.答案: (x+2)2+(y-3)2=4 解析:因为圆心为(-2,3) ,且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2.故所求圆的方程为 2 2 (x+2) +(y-3) =4. 42.解:设动点 P 的坐标为 P(x,y)

( x ? c) 2 ? y 2 | PA | 由 =a(a>0) ,得 =a,化简, | PB | ( x ? c) 2 ? y 2
得: (1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.

2c(1 ? a 2 ) 2 2 当 a≠1 时,得 x + x+c +y =0.整理, 1? a2
2

2ac 2 1? a2 得: (x- 2 c)2+y2=( 2 ) a ?1 a ?1
当 a=1 时,化简得 x=0. 所以当 a≠1 时,P 点的轨迹是以(

2ac a2 ?1 c,0)为圆心,| 2 |为半径的圆; 2 a ?1 a ?1

当 a=1 时,P 点的轨迹为 y 轴. 评述:本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题 的能力. 43.(Ⅰ)解法一,依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲 线 M 的方程为 y2=4x. 解法二:设 M(x,y) ,依题意有|MP|=|MN|, 所以|x+1|=

( x ? 1) 2 ? y 2 .化简得:y2=4x.

(Ⅱ) (i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- 由?

3 (x-1).

? y ? ? 3 ( x ? 1), ? 消 y 得 3x2-10x+3=0, 2 ? y ? 4 x. ?
1 ,x2=3. 3

图 7—12

解得 x1=

所以 A 点坐标为(

1 2 3 ) 点坐标为(3,-2 3 ) ,B , , 3 3

|AB|=x1+x2+2=

16 . 3

假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即

16 2 ? 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , ① ? ? ?( 1 ? 1) 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? (16 ) 2 . ② ? 3 3 3 ?
由①-②得 42+(y+2

4 2 3 2 ), 3 )2=( )2+(y- 3 3

解得 y=-

14 3 . 9

但 y=-

14 3 不符合①, 9

所以由①,②组成的方程组无解. 因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形. (ii) 解法一: C 设 (-1, 使△ABC 成钝角三角形, ? y) 由

? y ? ? 3 ( x ? 1), 得 y=2 3 , ? x ? ?1.

即当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,故 y≠2 3 .

又|AC|2=(-1-

1 2 2 3 2 28 4 3 y 2 ) +(y- )= +y , ? 3 3 9 3

|BC|2=(3+1)2+(y+2 |AB|2=(

3 )2=28+4 3 y+y2,

16 2 256 )= . 3 9

| AB |2 ? | AC |2 ? | BC |2 当∠CAB 为钝角时,cosA= <0. 2 | AB | ? | AC |
即|BC|2 >|AC|2+|AB|2,即

28 ? 4 3 y ? y 2 ?

28 4 3 256 ,即 ? y ? y2 ? 9 3 9

y>

2 3 时,∠CAB 为钝角. 9

当|AC|2>|BC|2+|AB|2,即

10 28 4 3 256 ,即 y<- 3 时,∠CBA 为钝角. ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 9 3 9 3
又|AB|2>|AC|2+|BC|2,即

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3

即y

2

?

4 4 2 2 3 y ? ? 0, ( y ? ) ? 0. 3 3 3

该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角. 因此,当△ABC 为钝角三角形时,点 C 的纵坐标 y 的取值范围是

y??

10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) . 3 9
5 2 2 8 3 )2=( )2. ) +(y+ 3 3 3

解法二:以 AB 为直径的圆的方程为(x-

圆心(

5 2 8 ,? 3 )到直线 l:x=-1 的距离为 , 3 3 3

所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,-

2 3 ). 3

当直线 l 上的 C 点与 G 重合时,∠ACB 为直角,当 C 与 G 点不重合,且 A、B、C 三 点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角. 因此,要使△ABC 为钝角三角形,只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为 y ?

2 3 3 1 ? (x ? ) . 3 3 3

令 x=-1 得 y=

2 3 . 9
3? 3 (x-3). 3

过点 B 且与 AB 垂直的直线方程为 y+2

令 x=-1 得 y=-

10 3. 3

又由 ?

? y ? ? 3 ( x ? 1), 解得 y=2 3 , x ? ?1. ?

所以,当点 C 的坐标为(-1,2

3 )时,A、B、C 三点共线,不构成三角形.
10 3 2 3 或 y> 3 9

因此, 当△ABC 为钝角三角形时, C 的纵坐标 y 的取值范围是 y<- 点

(y≠2

3 ).

评述:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注重学科 知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的 能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思 维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也 较高,有较好的区分度. 44.解:设点 P 的坐标为(x,y) ,由题设有

| PM | ? 2, | PN |



( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 .

整理得 x2+y2-6x+1=0. ① 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2, 所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为±

3 , 3

直线 PM 的方程为 y=±

3 (x+1) .② 3

将②式代入①式整理得 x2-4x+1=0. 解得 x=2+

3 ,x=2- 3 .
; 3 ,1+ 3 )或(2- 3 ,-1+ 3 )(2+ 3 ,

代入②式得点 P 的坐标为(2+ -1- . 3 )或(2- 3 ,1- 3 )

直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 45.解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 令 x=0,得 y2-2by+b2+a2-r2=0. |y1-y2|=

( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 2 r 2 ? a 2 =2,得 r2=a2+1 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 r 2 ? b 2 ? 2r ,得 r2=2b2



令 y=0,得 x2-2ax+a2+b2-r2=0, |x1-x2|= ②

由①、②,得 2b2-a2=1

又因为 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为

5 , 5

得 d=

| a ? 2b | 5 ,即 a-2b=±1. ? 5 5

?2b 2 ? a 2 ? 1, ?2b 2 ? a 2 ? 1 ? a ? ?1 ? a ? 1 综上可得 ? 或? 解得 ? 或? ?b ? ?1 ?b ? 1 ?a ? 2b ? 1; ?a ? 2b ? ?1
于是 r2=2b2=2. 所求圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=2 或(x-1)2+(y-1)2=2. 46.解:设所求圆的圆心为 P(a,b) ,半径为 r,则 P 到 x 轴、y 轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为 90°,圆 P 截 x 轴所得弦长为 r2=2b2, 又圆 P 截 y 轴所得弦长为 2,所以有 r2=a2+1, 从而有 2b2-a2=1 又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 距离为 d=

2 r,故

| a ? 2b | , 5

所以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1 当且仅当 a=b 时上式等号成立,此时 5d2=1,从而 d 取得最小值, 由此有 ?

?a ? b ?2b ? a ? 1
2 2

解方程得 ?

? a ? 1 ? a ? ?1 或? ?b ? 1 ?b ? ?1

由于 r2=2b2,知 r=

2,

于是所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 评述:本题考查了圆的方程,函数与方程,求最小值问题,进一步考查了待定系数法、 函数与方程思想.题中求圆的方程给出的三个条件比较新颖脱俗,灵活运用几何知识和代数 知识将条件恰当转化,推演,即合乎逻辑、说理充分、陈述严谨. 47. 1) ( 证明: A、 的横坐标分别为 x1, 2, 设 B x 由题设知 x1>1, 2>1, A 1, 8x1) x 点 (x log , B(x2,log8x2). 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log8 x1 log8 x2 , ? x1 x2

又点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)(x2,log2x2) , 由于 log2x1=

log8 x1 log 8 x2 =3log8x1,log2x2= =3log8x2, log8 2 log 8 2

所以 OC 的斜率和 OD 的斜率分别为

kOC ?

log 2 x1 3 log8 x1 log 2 x2 3 log8 x2 . ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一条直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,解得 x2=x13 将其代入

log8 x1 log8 x2 ,得 x13log8x1=3x1log8x1. ? x1 x2

由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x13=3x1,x1=

3 ,于是点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 ).

评述: 本小题主要考查对数函数图象、 对数换底公式、 对数方程、 指数方程等基础知识, 考查运算能力和分析问题的能力. 48.解: (1)当 1-2t>0 即 0<t<

1 时,如图 7—13,点 Q 在第一 2

象限时,此时 S(t)为四边形 OPQK 的面积,直线 QR 的方程为 y-2= t(x+2t).令 x=0,得 y=2t2+2,点 K 的坐标为(P,2t2+2).

1 S OPQK ? S OPQR ? S OKR ? 2( 1 ? t 2 ) 2 ? (2t 2 ? 2) ? 2t 2

图 7—13

? 2(1 ? t ? t 2 ? t 3 )
当-2t+1≤0,即 t≥

1 时,如图 7—14,点 Q 在 y 轴上或第二象 2

限,S(t)为△OPL的面积,直线 PQ 的方程为 y-t=- (x-1) , 图 7—14

1 t

1 1 1 1 令 x=0 得 y=t+ ,点 L 的坐标为(0,t+ ) △OPL= (t ? ) ? 1 ,S t t 2 t 1 1 ? (t ? ) 2 t

? 2 3 ?2(1 ? t ? t ? t ) ? 所以 S(t)= ? ? 1 (t ? 1) ?2 t ?
(2)当 0<t<

0?t ? t? 1 2

1 2

1 1 时,对于任何 0<t1<t2< ,有 S(t1)-S(t2)=2(t2-t1) [1-(t1 2 2

+t2)+(t12+t1t2+t22) ]>0,即 S(t1)> S(t2) ,所以 S(t)在区间(0,

1 )内是减函数. 2

当 t≥

1 1 1 1 时,对于任何 ≤t1≤t2,有 S(t1)-S(t2)= (t1-t2) (1- ) , 2 2 2 t1t 2
1 ≤t1≤t2≤1 时,S(t1)>S(t2) ;若 1≤t1≤t2 时,S(t1)<S(t2) ,所以 S(t) 2

所以若

在区间[

1 1 1 1 ,1]上是减函数,在区间[1,+∞ ) 内是增函数,由 2[1 +( )2-( )3] 2 2 2 2



5 1 1 5 =S( )以及上面的证明过程可得,对于任何 0<t1< ≤t2<1,S(t2)< ≤S(t1) , 4 2 2 4

于是 S(t)的单调区间分别为(0,1]及[1,+∞ ) ,且 S(t)在(0,1 ] 内是减函数,在 [1,+∞ ) 内是增函数. 49.解:如图 7—15,设直线 MN 切圆于 N,则动点 M 组成的集合 是:P={M||MN|=λ |MQ|}, >0 为常数) (λ 因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1. 设点 M 的坐标为(x,y) ,则

x 2 ? y 2 ? 1 ? ? ( x ? 2) 2 ? y 2
图 7—15

整理得(λ 2-1) 2+y2)-4λ 2x+(1+4λ 2)=0 (x

5 当λ =1 时,方程化为 x= ,它表示一条直线,该直线与 x 轴垂 4
直,交 x 轴于点(

5 ,0) ; 4

当λ ≠1 时,方程化为(x-

2?2 2 2 1 ? 3?2 2?2 ) +y = 2 它表示圆心在( 2 ,0) ,半径 ?2 ? 1 ? ?1 (? ? 1)



1 ? 3?2 的圆. | ?2 ? 1 |

评述: 本题考查曲线与方程的关系、 轨迹的概念等解析几何的基本思想以及综合运用知 识的能力. ●命题趋向与应试策略 在近十年的高考中,对本章内容的考查主要分两部分: (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质,此类题一般难度不大,但每年必考, 考查内容主要有以下几类: ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等)有关的问题; ②对称问题(包括关于点对称,关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的问题,其常规方法是研究圆心到直线的距离. (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系,此类题综合性比较强,难度也较大.

预计在今后一、二年内,高考对本章的考查会保持相对稳定,即在题型、题量、难度、 重点考查内容等方面不会有太大的变化. 本章内容在高考中处于比较稳定状态,复习时应注意以下几点: 1.抓好“三基” ,把握重点,重视低、中档题的复习,确保选择题的成功率 本章所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各 个部分,正是它们构成了解析几何问题的基础,又是解决这些问题的重要工具之一.这就要 求我们必须重视对“三基”的学习和掌握,重视基础知识之间的内在联系,注意基本方法的 相互配合,注意平面几何知识在解析几何中的应用,注重挖掘基础知识的能力因素,提高通 性通法的熟练程度,着眼于低、中档题的顺利解决. 2.在解答有关直线的问题时,应特别注意的几个方面 (1)在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次要注意倾角的 范围. (2)在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目 条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等” “截距互为相反数” “在一坐标轴上的截距是另 一坐标轴上的截距的 m 倍(m>0) ”等时,采用截距式就会出现“零截距” ,从而丢解.此时 最好采用点斜式或斜截式求解. (3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意防止由于“无斜率” ,从而造成丢解. 如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时, 或讨论两直线的 平行、垂直的位置关系时,一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论. (4)要学会变形使用两点间的距离公式 求直线 l 上两点(x1, 1) 2,y2)的距离时,一般使用 d= y , (x 当已知直线 l 的斜率 k 时,可以将上述公式变形为

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ;

d ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2 ? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? ?| x2 ? x1 || sec ? |?| y 2 ? y1 || csc ? |

1 | y 2 ? y1 | k2

(其中α 为直线 l 的倾斜角) 特别地,当求直线 l 被圆锥曲线所截得的弦长时,把直线的方程代入圆锥曲线的方程, 整理成关于 x 或 y 的一元二次方程时,一是要充分考虑到“Δ ≥0”的限制条件,二要注意 运用韦达定理的转化作用,充分体现“设而不求法”的妙用. (5)灵活运用定比分点公式、中点坐标公式,在解决有关分割问题、对称问题时可以 简化运算.掌握对称问题的四种基本类型的解法.即①点关于点对称②直线关于点对称③点关 于直线对称④直线关于直线对称. (6) 在由两直线的位置关系确定有关字母的值, 或讨论直线 Ax+By+C=0 中各系数间的 关系和直线所在直角坐标系中的象限等问题时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检 验等基本的数学方法和思想. (7)理解用二元一次不等式表示平面区域,掌握求线性目标函数在线性约束下的最值 问题,即线性规划问题,会求最优解,并注意在代数问题中的应用. 3.加强思想方法训练,培养综合能力 平面解析几何的核心是坐标法, 它需要运用运动变化的观点, 运用代数的方法研究几何 问题,因此解析几何问题无论从知识上还是研究方法上都要与函数、方程、不等式、三角及 平面几何内容相联系. 在对本章复习中, 应注意培养用坐标法分析问题观点, 养成自觉运用运动变化的观点解

决问题的能力.加强与正比例函数、一次函数等知识的联系,善于运用函数的观点方法处理 直线方程问题. 对本章知识的综合上,重点掌握直线方程的四种特殊形式与斜率、截距、已知点等特征 量之间的关系,知道了特征量就能准确地写出方程, 反之亦然.在平时要经常做这方面的训练.


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